Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2003 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui limas segitiga P.ABC. Titik K, L, M berturut-turut adalah titik tengah-titik tengah PA, PB, PC. Dibuat bidang pengiris KLM dan bidang pengiris KBM. Jika :
$ \, \, \, V_1 = \, $ volume bidang empat B.KLM,
$ \, \, \, V_2 = \, $ volume limas terpancung ABC.KLM,
maka $ \frac{V_2}{V_1} = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Volume limas $ = \, \frac{1}{3} \times \text{ luas alas } \times \text{ tinggi} $
*). Dua bangun ruang sebangun memiliki perbandingan sisi yang sama.
Misalkan perbandingan sisinya $ = 1 : n $ ,
maka perbandingan volumenya $ = 1 : n^3 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). ILustrasi gambar limas P.ABC


$ V_1 \, $ adalah berbentuk limas segitiga.
$ V_2 \, $ adalah bangun datar terpancung bagian bawah.
*). Karena K, L, dan M terletak ditengah-tengah PA, PB, dan PC, maka limas P.KLM sebangun dengan limas P.ABC dengan perbandingan sisi $ PK : PA = 1 : 2 $. Sehingga perbandingan volumenya :
$ \begin{align} \frac{V_{P.KLM}}{V_{P.ABC}} & = \frac{1}{2^3} \\ \frac{V_{P.KLM}}{V_{P.ABC}} & = \frac{1}{8} \\ V_{P.ABC} & = 8V_{P.KLM} \end{align} $
*). $ V_2 $ adalah volume KLM.ABC dengan besar :
$ \begin{align} V_2 & = V_{P.ABC} - V_{P.KLM} \\ & = 8V_{P.KLM} - V_{P.KLM} \\ & = 7V_{P.KLM} \end{align} $
*). Perhatikan limas P.KLM dan limas B.KLM, volume mereka sama karena memiliki alas yang sama yaitu segitiga KLM dan tinggi yang sama yaitu $ PG = GE $. Sehingga $ V_1 = V_{P.KLM} $.
*). Menentukan nilai $ \frac{V_2}{V_1} $ .
$ \begin{align} \frac{V_2}{V_1} & = \frac{7V_{P.KLM}}{V_{P.KLM}} = \frac{7}{1} = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{V_2}{V_1} = 7 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar