Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 146

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah solusi dari $ \csc ^2x+3\csc x - 10 = 0 $ , dengan $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ , maka $ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} = ...... $
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar Trigonometri :
$ \csc x = \frac{1}{\sin x } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} \csc ^2x+3\csc x - 10 & = 0 \\ \frac{1}{\sin ^2 x}+3. \frac{1}{\sin x} - 10 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali }\sin ^2 x) \\ 1+3 \sin x - 10\sin ^2 x & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 10\sin ^2 x - 3\sin x - 1 & = 0 \\ (5\sin x + 1)(2\sin x - 1) & = 0 \\ \sin x = -\frac{1}{5} \vee \sin x & = \frac{1}{2} \\ \sin x_1 = -\frac{1}{5} \vee \sin x_2 & = \frac{1}{2} \\ \end{align} $
Sehingga nilai :
$ \begin{align} \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} & = \frac{-\frac{1}{5} + \frac{1}{2} }{-\frac{1}{5} . \frac{1}{2} } \\ & = \frac{-\frac{1}{5} + \frac{1}{2} }{-\frac{1}{10}} \times \frac{10}{10} \\ & = \frac{-2 + 5}{-1} = -3 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} = -3 . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Kita juga bisa menggunakan rumus operasi akar pada persamaan kuadrat yaitu $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Bentuk $ 10\sin ^2 x - 3\sin x - 1 = 0 $
$ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} = \frac{\frac{-(-3)}{10}}{\frac{-1}{10}} = -3 $
*). Alternatif lainnya langsung dari persamaan : $ \csc ^2x+3\csc x - 10 = 0 $
$ \begin{align} \csc x_1 + \csc x_2 & = \frac{-3}{1} \\ \frac{1}{\sin x_1} + \frac{1}{\sin x_2} & = -3 \\ \frac{\sin x_1 + \sin x_2}{\sin x_1 . \sin x_2} & = -3 \end{align} $

2 komentar:

  1. Izin Pak Putu.

    Mungkin lebih simple seperti ini juga bisa Pak

    csc^2 x+ 3cscx-10=0

    Konsep persamaan kuadrat : x1 + x2 = - b/a

    maka :

    csc x1+ cscx2=-3

    (1/sinx1)+ (1/sinx2)=-3

    (sinx1 + sin x2)/(sinx1.sinx2) = -3

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Bobbi,

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.

      Terimakasih juga untuk masukannya untuk alternatif pembahasannya.

      Jadi sementara ini ada tiga alternatif penyelesaian soal ini, tinggal pembaca lebih suka cara yang mana sesuai dengan kemampuan masing-masing.

      Jika ada alternatif solusi lainnya atau koreksi lainnya mohon untuk share di kolom komentar ya.

      Semoga terus bisa bermanfaat.

      Hapus