dunia informa: matipa kode 246 tahun 2016

Tampilkan postingan dengan label matipa kode 246 tahun 2016. Tampilkan semua postingan

Kode 246 Pembahasan Vektor SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Misalkan vektor $ p = \left( {}^2 \log x^c , \, 2, \, {}^2 \log x^{2c} \right) $ dan $ q = \left( {}^2 \log x, \, 2, \, {}^2 \log x^{2c^2} \right) $ dengan $ 0 < x < \infty $. Nilai $ c $ yang memenuhi syarat agar $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul berada pada interval .....
A). $ \left(0, \, \frac{4}{3} \right) \, $ B). $ \left(-\frac{4}{3}, \, 0 \right) \, $
C). $ \left(-\frac{4}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $ D). $ \left(-\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $
E). $ \left(\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Vektor
*). Misalkan ada dua vektor
$ p = (p_1, \, p_2, \, p_3) \, $ dan $ q = (q_1, \, q_2, \, q_3 ) $
*). Perkalian dot $ p $ dan $ q $ ($p.q$) :
$ p.q = p_1.q_1 + p_2.q_2 + p_3.q_3 $
juga berlaku :
$ p.q = |p|. |q| \cos \theta $
Sehingga $ \cos \theta = \frac{p.q}{|p|.|q|} $
*). Panjang vektor $ p $ ($|p|$) :
$ |p| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + p_3^2} $
*). Vektor $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul jika
$ -1 \leq \cos \theta \leq 0 \, $ atau $ -1 \leq \frac{p.q}{|p|.|q|} \leq 0 $

*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n {}^a \log b $
$ {}^a \log a = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Untuk memudahkan dalam penyelesaian, kita pilih $ x = 2 $ yang memenuhi interval $ 0 < x < \infty $ , sehingga vektor $ p $ dan $ q $ menjadi :
$\begin{align} p & = \left( {}^2 \log x^c , \, 2, \, {}^2 \log x^{2c} \right) \\ & = \left( {}^2 \log 2^c , \, 2, \, {}^2 \log 2^{2c} \right) \\ & = \left( c{}^2 \log 2 , \, 2, \, 2c {}^2 \log 2 \right) \\ & = \left( c , \, 2, \, 2c \right) \\ q & = \left( {}^2 \log x, \, 2, \, {}^2 \log x^{2c^2} \right) \\ & = \left( {}^2 \log 2, \, 2, \, {}^2 \log 2^{2c^2} \right) \\ & = \left( 1, \, 2, \, 2c^2 {}^2 \log 2 \right) \\ & = \left( 1, \, 2, \, 2c^2 \right) \end{align} $
*). Menentukan $ p.q $ dan panjangnya
$\begin{align} p.q & = \left( c , \, 2, \, 2c \right). \left( 1, \, 2, \, 2c^2 \right) \\ & = c.1 + 2.2 + 2c. 2c^2 \\ & = 4c^3 + c + 4 \\ |p| & = \sqrt{c^2 + 2^2 + (2c)^2 } = \sqrt{5c^2 + 4 } \\ |q| & = \sqrt{1^2 + 2^2 + (2c^2)^2} = \sqrt{4c^4 + 5} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c $ agar vektor $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul :
$\begin{align} -1 \leq & \frac{p.q}{|p|.|q|} \leq 0 \\ -1 \leq & \frac{4c^3 + c + 4}{\sqrt{5c^2 + 4 }.\sqrt{4c^4 + 5} } \leq 0 \end{align} $
Agar pertidaksamaan ini terpenuhi, maka :
Pertama,
$ 4c^3 + c + 4 \leq 0 \, $ yang akan terpenuhi untuk $ c < 0 $.
Kedua,
$\begin{align} 4c^3 + c + 4 & \geq -1 \\ 4c^3 + c + 5 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(faktorkan)} \\ (c+1)(4c^2 - 4c + 5) & \geq 0 \end{align} $
terpenuhi untuk $ c \geq -1 $.
*). Sehingga solusinya adalah irisan dari kedua nilai $ c $ yaitu $ c < 0 $ dan $ c \geq -1 $
$\begin{align} \text{HP } & = \{ c \geq -1 \} \cap \{ c < 0 \} \\ & = \{ -1 \leq c < 0 \} \end{align} $
Sehingga nilai $ c $ yang memenuhi adalah $ \{ -1 \leq c < 0 \} $ yang juga ada pada interval $ \left( -\frac{4}{3}, 0 \right) $.
Jadi, Nilai $ c $ agar sudut kedua vekor sudut tumpul yaitu $ \left( -\frac{4}{3}, 0 \right) $ atau $ \{ -\frac{4}{3} < c < 0 \} . \, \heartsuit $

Catatan :
Jika $ x $ tidak diganti dengan nilai tertentu, akan sulit bagi kita untuk menyelesaikan soalnya. Namun teman-teman boleh mencoba tanpa menggantikan nilai $ x $ nya terlebih dahulu, tentu langkah-langkah pengerjaannya sama dengan cara di atas. Selamat mencoba.

Cara 2 : Kode 246 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Luas daerah di antar kurva $ y = -3a+4 $ dan kurva $ y = x^2-3a $ selalu bernilai konstan, yaitu $ k$. Nilai $ k $ adalah ....
A). $ \frac{34}{3} \, $ B). $ \frac{32}{3} \, $ C). $ \frac{28}{3} \, $ D). $ \frac{16}{3} \, $ E). $ \frac{8}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral Tanpa Menggambar
Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva yaitu parabola dan parabola atau parabola dan garis adalah :
Luas $ = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Rumus Langsung
*). Samakan kedua fungsi
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 3a & = -3a + 4 \\ x^2 & = 4 \\ x^2 - 4 & = 0 \\ a = 1, \, b = 0 , \, c & = -4 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = 0^2 - 4. 1 . (-4) \\ & = 16 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ k $ :
$\begin{align} \text{Luas } & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \\ k & =\frac{16\sqrt{16}}{6. 1^2} \\ & = \frac{32}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ k = \frac{32}{3} . \, \heartsuit $

Catatan :
Luas selalu bernilai konstan, artinya berapapun kita gantikan nilai $ a $, luas akan selalu sama yaitu sebesar $ k = \frac{32}{3} $.

Kode 246 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :

Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Konsep Luas Menggunakan Integral
*). Ilustrasi Gambar :

*). Titik Potong Kedua Kurva
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 3a & = -3a + 4 \\ x^2 & = 4 \\ x & = \pm 2 \end{align} $
*). Luas daerah yang diarsir adalah $ k $ :
$\begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_{-2}^2 [ (-3a + 4) - (x^2 - 3a) ] dx \\ k & = \int \limits_{-2}^2 ( 4 - x^2) \\ & = [4x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^2 \\ & = ( 4.2 - \frac{1}{3}.2^3) - ( 4.(-2) - \frac{1}{3}.(-2)^3) \\ & = ( 8 - \frac{8}{3}) - ( -8 + \frac{8}{3}) \\ & = \frac{32}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ k = \frac{32}{3} . \, \heartsuit $

Catatan :
Luas selalu bernilai konstan, artinya berapapun kita gantikan nilai $ a $, luas akan selalu sama yaitu sebesar $ k = \frac{32}{3} $.

Kode 246 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Misalkan $ f(x) = x^3 + 2x^2 + a $ dan $ g(x) = x + a $ berpotongan di sumbu-x, dengan $ a $ bilangan bulat. Nilai minimum dari $ f(x) $ di interval $ -1\leq x \leq 2 $ adalah ....
A). $ -\frac{4}{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Nilai minimum suatu fungsi $ f(x) $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ dan untuk $ x $ pada interval batas yang diinginkan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ :
*). Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ berpotongan di sumbu X dengan $ a $ bilangan bulat, artinya $ f(x) $ dan $ g(x) $ memotong sumbu X di $ x $ yang sama.
*). $ g(x) $ memotong sumbu X, substitusi $ y = 0 $ :
$\begin{align} y = 0 \rightarrow g(x) & = x + a \\ 0 & = x + a \\ x & = -a \end{align} $
Artinya $ f(x) $ juga memotong sumbu X di $ x = -a $, substitusi $ x = -a $ ke $ f(x) $ :
$\begin{align} x = -a , \, y = 0 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 + a \\ (-a)^3 + 2(-a)^2 + a & = 0 \\ -a^3 + 2a^2 + a & = 0 \\ a^3 - 2a^2 - a & = 0 \\ a(a^2 - 2a - 1) & = 0 \\ a = 0 \vee a^2 - 2a - 1 & = 0 \end{align} $
Bentuk $ a^2 - 2a - 1 = 0 $ tidak bisa difaktorkan langsung sehingga kita harus menggunakan rumus ABC, ini artinya nilai $ a $ nya tidak bulat lagi. Sehingga nilai $ a $ yang bulat yang memenuhi adalah $ a = 0 $ .
*). Fungsi $ f(x) $ nya menjadi :
$ f(x) = x^3 + 2x^2 + a = x^3 + 2x^2 + 0 \rightarrow f(x) = x^3 + 2x^2 $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ dan syarat nilai minimum $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f(x) & = x^3 + 2x^2 \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x \\ \text{syarat } : \, f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 + 4x & = 0 \\ x ( 3x + 4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = - \frac{4}{3} \end{align} $
Karena interval yang diminta $ -1 \leq x \leq 2 $ , maka $ x = 0 \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ f(x) $ untuk $ x = 0 $ , batas interval yaitu $ x = -1 $ dan $ x = 2 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow f(0) & = 0^3 + 2 . 0^2 \\ & = 0 \\ x = -1 \rightarrow f(-1) & = (-1)^3 + 2 . (-1)^2 \\ & = 1 \\ x = 2 \rightarrow f(2) & = (2)^3 + 2 . (2)^2 \\ & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai minimum $ f(x) $ pada interval $ -1 \leq x \leq 2 $ adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Kode 246 Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika $ \frac{u_1+u_2}{u_3+u_4}=\frac{1}{9} \, $ maka $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3}= .... $
A). $ \frac{10}{9} \, $ B). $ 3 \, $ C). $ \frac{10}{3} \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri dan Eksponen
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $
*). Sifat eksponen :
$ a^2 = b \rightarrow a = \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai rasio ($r$) :
$\begin{align} \frac{u_1+u_2}{u_3+u_4} & = \frac{1}{9} \\ \frac{a+ar}{ar^2+ar^3} & = \frac{1}{9} \\ \frac{a(1+r)}{ar^2( 1 +r)} & = \frac{1}{9} \\ \frac{1}{r^2} & = \frac{1}{9} \\ r^2 & = 9 \\ r & = 3 \end{align} $
*). Menentukan Hasilnya :
$\begin{align} \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3} & = \frac{a + ar+ar^2+ar^3}{ar+ar^2} \\ & = \frac{a (1 + r+r^2+r^3)}{a(r+r^2)} \\ & = \frac{1 + r+r^2+r^3}{r+r^2} \\ & = \frac{1 + 3+3^2+3^3}{3+3^2} \\ & = \frac{1 + 3+9+27}{3+9} \\ & = \frac{40}{12} \\ & = \frac{10}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3} = \frac{10}{3} . \, \heartsuit $

Kode 246 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) \sqrt{x}}{x^\frac{3}{2}} = .... $
A). $ - \infty \, $ B). $ -\frac{7}{2} \, $ C). $ -\frac{5}{2} \, $ D). $ -\frac{3}{2} \, $ E). $ -\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin x}{x} = 1 $
*). Sifat-sifat Eksponen :
$ a^{m+n} = a^m . a^n $
$ a^\frac{1}{2} = \sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) \sqrt{x}}{x^\frac{3}{2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) . x^\frac{1}{2}}{x^{ 1 + \frac{1}{2}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^\frac{3}{2} .x^ \frac{1}{2} \sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) . x^\frac{1}{2}}{x^1 .x^ \frac{1}{2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^ \frac{1}{2} \sin (x)[ x^\frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)]}{x .x^ \frac{1}{2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)[ x^\frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)]}{x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x } \times [ x^\frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)] \\ & = 1 \times [ 0^\frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)] \\ & = 1 \times [ 0- \left(\frac{1}{2}\right)] \\ & = 1 \times [ - \frac{1}{2}] \\ & = - \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ - \frac{1}{2}. \, \heartsuit $

Kode 246 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui sisa pembagian suku banyak $ f(x)-g(x) $ oleh $ x^2 + x - 2 $ adalah $ x $ dan sisa pembagian $ f(x) + g(x) $ oleh $ x^2 - 3x + 2 $ adalah $ x+1$, maka sisa pembagian $ \left(f(x)\right)^2 - \left(g(x)\right)^2 $ oleh $ x- 1 $ adalah .....
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{3}{4} \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). $ f(x) - g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + x - 2 $ dengan sisa $ s(x) = x $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) - g(x) = (x^2 + x - 2).h_1(x) + (x) $
$ f(x) - g(x) = (x-1)(x+2).h_1(x) + (x) $ ....(i)
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x-2)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = 2 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) - g(x) & = (x-1)(x+2).h_1(x) + (x) \\ f(1) - g(1) & = (1-1)(1+2).h_1(1) + (1) \\ f(1) - g(1) & = (0).(3).h_1(1) + (1) \\ f(1) - g(1) & = 1 \\ x = -2 \rightarrow f(x) - g(x) & = (x-1)(x+2).h_1(x) + (x) \\ f(-2) - g(-2) & = (-2-1)(-2+2).h_1(-2) + (-2) \\ f(-2) - g(-2) & = (-3).(0).h_1(-2) + (-2) \\ f(-2) - g(-2) & = -2 \end{align} $
*). $ f(x) + g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 - 3x + 2 $ dengan sisa $ s(x) = x + 1 $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ f(x) + g(x) = (x^2 - 3x + 2).h_2(x) + (x + 1) $
$ f(x) + g(x) = (x-1)(x-2).h_2(x) + (x + 1) $ ....(i)
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x-1)(x-2)=0 \rightarrow x = 1 \vee x = 2 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) + g(x) & = (x-1)(x-2).h_2(x) + (x+1) \\ f(1) + g(1) & = (1-1)(1-2).h_2(1) + (1 + 1) \\ f(1) + g(1) & = (0).(-1).h_2(1) + (2) \\ f(1) + g(1) & = 2 \\ x = 2 \rightarrow f(x) + g(x) & = (x-1)(x-2).h_2(x) + (x+1) \\ f(2) + g(2) & = (2-1)(2-2).h_2(2) + (2 + 1) \\ f(2) + g(2) & = (1).(0).h_2(2) + (3) \\ f(2) + g(2) & = 3 \end{align} $
*). Menyelesaikan soalnya :
$ \left(f(x)\right)^2 - \left(g(x)\right)^2 \, $ dibagi dengan $ p(x) = x - 1 $ dengan sisa $ s(x) $ dan hasil bagi $ h_3(x) $ :
$\begin{align} \left(f(x)\right)^2 - \left(g(x)\right)^2 & = (x-1).h_3(x) + s(x) \\ [f(x)+g(x)][f(x)-g(x)] & = (x-1).h_3(x) + s(x) \\ \text{substitusi } x & = 1 \\ [f(1)+g(1)][f(1)-g(1)] & = (1-1).h_3(1) + s(1) \\ [2]\times [1] & = (0).h_3(1) + s(1) \\ 2 & = s(1) \\ \end{align} $
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk mngerjakan soal ini bisa juga menggunakan teorema sisa.

Kode 246 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui kubus ABCD.EFGH, titik P adalah titik potong diagonal AH dan DE, titik Q adalah titik potong diagonal BG dan CF. Nilai $ \sin \angle BPQ $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{3}}{3} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{2} \, $ C). $ \frac{\sqrt{3}}{6} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ E). $ \frac{\sqrt{2}}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar

Panjang $ BD = \frac{1}{2}BG = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} = \sqrt{2} $
Panjang BP :
$ BP = \sqrt{ BQ^2 + PQ^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{6} $
*). Menentukan nilai $ \sin \angle BPQ $ :
$\begin{align} \sin \angle BPQ & = \frac{BQ}{BP} \\ & = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ & = \frac{1}{3} \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \angle BPQ = \frac{1}{3} \sqrt{3} . \, \heartsuit $

Kode 246 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Jika pencerminan titik $P(s,t)$ terhadap garis $ x = a $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = b $ menghasilkan dilatasi sebesar 3 kali, maka $ ab = .... $
A). $st \, $ B). $ 2st \, $ C). $ 3st \, $ D). $ 4st \, $ E). $ 5st \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Transformasi
*). Pencerminan garis vertikal dan horizontal
Titik $A(x,y)$ dicerminakan terhadap garis $ x = a $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = b $ akan menghasilkan bayangan $a^\prime (x^\prime , y^\prime ) $, yaitu :
$ (x^\prime , y^\prime ) = (2a - x, 2b - y )$
atau bisa ditulis : $ A(x,y) \rightarrow A^\prime (2a - x, 2b - y )$
*). Dilatasi dengan faktor skala $ k $ :
Titik $A(x,y)$ didilatasi dengan faktor skala $ k$ akan menghasilkan bayangan $ A^\prime (x^\prime , y^\prime ) $, yaitu :
$ (x^\prime , y^\prime ) = (kx, ky) $.
atau bisa ditulis : $ A(x,y) \rightarrow A^\prime (kx, ky )$

Catatan :
dalam penghitungan transformasinya kita tidak menggunakan bentuk matriks transformasi karena hasilnya akan sama juga.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan bayangan titik $P(s,t)$ jika dicerminkan terhadap garis $ x = a $ dan dilanjutkan $ y = b $ :
$ P(s,t) \rightarrow P^\prime (2a - s , 2b - t ) $
bayangannya adalah : $ P^\prime (2a - s , 2b - t ) $
*). Menentukan bayangan titik $P(s,t)$ jika didilatasi dengan faktor skala $ k = 3 $ :
$ P(s,t) \rightarrow P^\prime (3s , 3t ) $
bayangannya adalah : $ P^\prime (3s,3t ) $
*). Dari pernyataan pada soal, kedua bentuk trasformasi di atas menghasilkan bayangan yang sama, sehingga :
$ P^\prime (2a - s , 2b - t ) = P^\prime (3s,3t ) $
Artinya :
$ 2a - s = 3s \rightarrow a = 2s $
$ 2b - t = 3t \rightarrow b = 2t $
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$ ab = (2s) \times (2t) = 4st $.
Jadi, kita peroleh $ ab = 4st . \, \heartsuit $

Kode 246 Pembahasan Persamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Banyaknya nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $(\cos 3x + \tan 3x)(\cos 3x - \tan 3x) = 1 $ untuk $0 \leq x \leq 2\pi, \, x \neq \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \, $ dan $ k $ bilangan asli, adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus Dasar pada Trigonometri
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \, $ (identitas trigonometri).
*). Persamaan Trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki solusi :
$ f(x) = \theta + k 2\pi $ dan $ f(x) = -\theta + k2\pi $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soal :
$\begin{align} (\cos 3x + \tan 3x)(\cos 3x - \tan 3x) & = 1 \\ (\cos 3x + \frac{\sin 3x}{\cos 3x})(\cos 3x - \frac{\sin 3x}{\cos 3x}) & = 1 \\ \frac{(\cos ^2 3x + \sin 3x)}{\cos 3x}\frac{(\cos ^2 3x - \sin 3x)}{\cos 3x} & = 1 \\ \frac{(\cos ^4 3x - \sin ^2 3x)}{\cos ^2 3x} & = 1 \\ \cos ^4 3x - \sin ^2 3x & = \cos ^2 3x \\ \cos ^4 3x & = \sin ^2 3x + \cos ^2 3x \\ \cos ^4 3x & = 1 \\ \cos 3x & = \pm \sqrt[4]{1} \\ \cos 3x & = \pm 1 \\ \cos 3x = 1 \vee \cos 3x & = -1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ dengan persamaan trigonometri dengan $ k $ adalah bilangan asli :
Pertama untuk $ \cos 3x = 1 \rightarrow \cos 3x = \cos 0^\circ $ ,
Memiliki solusi :
$ \begin{align} \text{(i)) } \, f(x) & = \theta + k2\pi \\ 3x & = 0 + k . 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = k . 120^\circ \\ k = 1 \rightarrow x & = 1 \times 120^\circ = 120^\circ \\ k = 2 \rightarrow x & = 2 \times 120^\circ = 240^\circ \\ k = 3 \rightarrow x & = 2]3 \times 120^\circ = 360^\circ \end{align} $
Untuk nilai $ k $ lainnya tidak memenuhi $0 \leq x \leq 2\pi $.
$ \begin{align} \text{(ii)) } \, f(x) & = -\theta + k2\pi \\ 3x & = -0 + k . 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = k . 120^\circ \end{align} $
Hasilnya akan sama dengan yang diatasnya.

Kedua Pertama untuk $ \cos 3x = -1 \rightarrow \cos 3x = \cos 180^\circ $ ,
Memiliki solusi :
$ \begin{align} \text{(i)) } \, f(x) & = \theta + k2\pi \\ 3x & = 180^\circ + k . 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = 60^\circ + k . 120^\circ \\ k = 1 \rightarrow x & = 60^\circ + 1 \times 120^\circ = 180^\circ \\ k = 2 \rightarrow x & = 60^\circ + 2 \times 120^\circ = 300^\circ \end{align} $
Untuk nilai $ k $ lainnya tidak memenuhi $0 \leq x \leq 2\pi $.
$ \begin{align} \text{(ii)) } \, f(x) & = -\theta + k2\pi \\ 3x & = -180^\circ + k . 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = -60^\circ + k . 120^\circ \\ k = 1 \rightarrow x & = -60^\circ + 1 \times 120^\circ = 60^\circ \\ k = 2 \rightarrow x & = -60^\circ + 2 \times 120^\circ = 180^\circ \\ k = 3 \rightarrow x & = -60^\circ + 3 \times 120^\circ = 300^\circ \end{align} $
Untuk nilai $ k $ lainnya tidak memenuhi $0 \leq x \leq 2\pi $.
Sehingga solusinya adalah :
$ x = \{ 60^\circ, \, 120^\circ, \, 180^\circ, \, 240^\circ, \, 300^\circ, \, 360^\circ \} $
Jadi, ada 6 nilai $ x $ yang memenuhi persamaan . $\, \heartsuit $

Kode 246 Pembahasan Aturan Cosinus SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahi $\Delta ABC$, titik D pada AC, dengan AB = 8, BC = 10, AC = 12 dan $ \angle ACB = \angle CBD$. Panjang BD = .....
A). $\frac{16}{3} \, $ B). $\frac{17}{3} \, $ C). $\frac{18}{3} \, $ D). $ \frac{19}{3} \, $ E). $ \frac{20}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus

Pada segitiga ABC di atas, berlaku aturan cosinus :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2 }{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos A \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2 }{2ba} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.

Karena $\angle ACB = \angle CBD$ , maka $\Delta$CBD sama kaki yaitu $ DB = DC = x $.
*). Menentukan nilai $ x $ :
Nilai cos B pada segitiga CBD sama dengan nilai cos B pada segitiga ABC karena besar sudutnya sama.
$\begin{align} \cos B \, (\Delta CBD) & = \cos B \, (\Delta ABC) \\ \frac{CD^2+CB^2 - BD^2}{2 . CB.CD} & = \frac{AC^2+BC^2 - AB^2}{2.AC.BC} \\ \frac{x^2 + 10^2 - x^2}{2 . x.10} & = \frac{12^2 + 10^2 - 8^2}{2.12.10} \, \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{100}{20x} & = \frac{180}{240} \\ \frac{5}{x} & = \frac{3}{4} \\ 3x & = 20 \\ x & = \frac{20}{3} \end{align} $
Jadi, panjang $ BD = x = \frac{20}{3} . \, \heartsuit $

Kode 246 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui lingkaran menyinggung sisi-sisi persebi panjang dengan ukuran $ 12 \times 15$, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran. Panjang DE = ....
A). $ 4 \, $ B). $ 3\sqrt{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 4\sqrt{3} \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran

garis AB dan CB menyinggung lingkaran dimana panjangnya sama yaitu AB = BC.

$\clubsuit $ Pembahasan

Dari gambar di atas dan sesuai dengan konsep di atas, kita peroleh :
garis CH dan CG menyinggung lingkaran, artinya CH = CG = 9 .
garis HE dan EF menyinggung lingkaran, artinya HE = EF.
*). Misalkan panjang $ HE = x $ , maka $ HE = EH = x $
sehingga $ DE = DF - EF = 9 - x $.
dan $ CE = CH + HE = 9 + x $.
*). Menentukan nilai $ x $ dari $\Delta$CDE dengan pythagoras :
$\begin{align} EC^2 & = ED^2 + DC^2 \\ (9+x)^2 & = (9-x)^2 + 12^2 \\ 81 + 16x + x^2 & = 81 - 16x + x^2 + 144 \\ 36x & = 144 \\ x & = 4 \end{align} $
sehingga panjang $ DE = 9 - x = 9 - 4 = 5 $
Jadi, panjang $ DE = 5 \, $ cm $ . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 246 Matematika IPA tahun 2016

Nomor 1

Nomor 2

Nomor 3

Nomor 4

Nomor 5

Nomor 6

Nomor 7

Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

Nomor 8

Nomor 9

Nomor 10

Nomor 11

Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

Nomor 12

Nomor 13

Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $
E). $ 72 $

Nomor 14

Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $

Nomor 15

Catatan :
Pembahasannya akan dilengkapi secara bertahap. Terima kasih.

Pages - Menu