Pembahasan PK Barisan Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ x_1 $ dan $ x_2 $ bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2-(2k+4)x+(3k+4)=0 $. Jika $ x_1, k , x_2 $ merupakan tiga suku pertama dari suatu deret geometri, maka rumus suku ke-$n$ deret tersebut adalah .....
A). $ 1 - (-1)^n \, $ B). $ 1 + (-1)^n \, $ C). $ -(-1)^n \, $
D). $ 2(-1)^n \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) : $ ax^2 + bx + c = 0 $
Operasi akar-akar : $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Barisan Geometri :
Ciri-ciri : Perbandingan dua suku berdekatan sama.
Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = ar^{n-1} $.
$ a = \, $ suku pertama,
$ r = \, $ rasio, $ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = .... $
*). Sifat eksponen : $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2-(2k+4)x+(3k+4)=0 $, akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $
$ x_1. x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = \frac{3k+4}{1} = 3k+4 $
dengan $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah bilangan bulat.
*). Barisan geometri : $ x_1, k, x_2 $
Perbandingan sama :
$\begin{align} \frac{k}{x_1} & = \frac{x_2}{k} \\ k^2 & = x_1.x_2 \\ k^2 & = 3k + 4 \\ k^2 - 3k - 4 & = 0 \\ (k-4)(k+1) & = 0 \\ k=4 \vee k & = -1 \end{align} $
*). Menentukan PK dengan masing-masing nilai $ k $ :
$\begin{align} k = 4 \rightarrow x^2-(2k+4)x+(3k+4)& =0 \\ x^2-(2.4+4)x+(3.4+4) & =0 \\ x^2-12x+16 & =0 \\ \text{(akar tidak bulat)} & \\ k = -1 \rightarrow x^2-(2k+4)x+(3k+4)& =0 \\ x^2-(2.(-1)+4)x+(3.(-1)+4) & =0 \\ x^2 - 2x+ 1 & =0 \\ (x-1)(x-1) & =0 \\ x_1 = 1 \vee x_2 & = 1 \end{align} $
Sehingga barisannya :
$ x_1, k, x_2 \rightarrow 1, -1, 1 $
$ a = 1 $ dan $ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{-1}{1} = -1 $
*). Menyusun Rumus suku ke-$n$ :
$\begin{align} U_n & = ar^{n-1} \\ & = 1. (-1)^{n-1} = (-1)^{n-1} \\ & = \frac{(-1)^n}{(-1)^1} = \frac{(-1)^n}{-1} \\ & = -(-1)^n \end{align} $
Jadi, rumus $ U_n = -(-1)^n . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar