Pembahasan Volume integral SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas
Daerah R dibatasi oleh $ y= \sqrt{x} $ , $ y = -x + 6 $ , dan sumbu $ x $. Volume benda padat yang didapat dengan memutar R terhadap sumbu $ x $ adalah ....
A). $ \frac{8\pi}{3} \, $ B). $ \frac{16\pi}{3} \, $ C). $ \frac{24\pi}{3} \, $ D). $ \frac{32\pi}{3} \, $ E). $ \frac{40\pi}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus volume benda putar menggunakan integral :
Misalkan terdapat suatu daerah R yang dibatasi oleh fungsi $ y = f(x) $ untuk $ a \leq x \leq b $ , volume daerah R yang diputar terhadap sumbu X yaitu :
$ V_x = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 dx $
*). Rumus Integral :
1). $ \int kx^n dx = \frac{k}{n+1}x^{n+1} + c $
2). $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{1}{a}.\frac{k}{n+1}(ax+b)^{n+1} + c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Volume arsiran kita bagi menjadi dua yaitu $ V_A $ dan $ V_B $.
*). Langkah-langkah menggambar grafik :
-). garis lurus $ y = -x + 6 $
Titik potong sumbu X dan sumbu Y adalah :
$ (0,6) $ dan $ (6,0) $.
-). grafik $ y = \sqrt{x} $ bisa diubah $ x = y^2 $ dengan $ x \geq 0 $ dan $ y \geq 0 $.
Sehingga bentuk $ x = y^2 $ adalah parabola yang menghadap ke X positif.
*). Titik potong kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ (-x+6) & = \sqrt{x} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ x^2 - 12x + 36 & = x \\ x^2 - 13x + 36 & = 0 \\ (x-4)(x-9) & = 0 \\ x = 4 \vee x & = 9 \end{align} $
*). Menentukan volume benda putar :
$\begin{align} V_x & = V_A + V_B \\ & = \pi \int \limits_0^4 (\sqrt{x})^2 dx + \pi \int \limits_4^6 (-x+6)^2 dx \\ & = \pi \int \limits_0^4 x dx + \pi \int \limits_4^6 (-x+6)^2 dx \\ & = \pi . \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_0^4 + \pi \left[ \frac{1}{-1}. \frac{1}{3} (-x+6)^3 \right]_4^6 \\ & = \pi . \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_0^4 - \frac{\pi}{3} \left[ (-x+6)^3 \right]_4^6 \\ & = \pi . \left[ \frac{1}{2} 4^2 - 0 \right] - \frac{\pi}{3} \left[ (0)^3 - (2)^3 \right] \\ & = \pi . 8 - \frac{\pi}{3} \left[ 0 - 8 \right] \\ & = 8\pi - \frac{\pi}{3} \left[ -8 \right] \\ & = 8\pi + \frac{8\pi}{3} = \frac{32\pi}{3} \end{align} $
Jadi, volumenya adalah $ \frac{32\pi}{3} . \, \heartsuit $

3 komentar:

  1. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

    BalasHapus
  2. hallo Pak Putu. Pak saya mau tanya, itu kan kalo dipanjangin parabolanya ketemu juga sama garis y=-x+6 di titik (9,-3) nah itu kenapa yang dicari hanya yang diatas sumbu x ya Pak? sedangkan di bawah sumbu x juga ada luasannya dan di soal ga di syartkan luasnya harus di kuadran I . Mohon pencerahannya Pak, terimakasih banyak

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @bobbi,

      terimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia informa ini.

      perhatikan fungsi $ y = \sqrt{x} $, grafiknya kalau kita gambar hanya bagian atas saja karena $ \sqrt{x} $ nilainya selalu positif (nilai positif itu di atasnya sumbu X).

      Seperti itu penjelasannya.

      semoga bisa membantu.

      Hapus