dunia informa: matipa kode 452 tahun 2018

Tampilkan postingan dengan label matipa kode 452 tahun 2018. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Lingkaran SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui dua lingkaran $ x^2+y^2 = 2 $ dan $ x^2+y^2=4 $. Garis $ l_1 $ menyinggung lingkaran pertama di titik $ (1,-1) $. Garis $ l_2 $ menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis $ l_1 $. Titik potong garis $ l_1 $ dan $ l_2 $ adalah .....
A). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} - 1) \, $ B). $ ( 1-\sqrt{2} , \sqrt{2} - 1) \, $
C). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} + 1) \, $ D). $ ( 1-\sqrt{2} , \sqrt{2} - 2) \, $
E). $ ( 1+\sqrt{2} , \sqrt{2} + 2) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis $ y = ax + c $ adalah $ m = a $
*). Dua garis tegak lurus : $ m_1 . m_2 = -1 $
(perkalian gradiennya adalah $ -1$ )
*). Persamaan garis singgung (PGS) lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ di titik $ (x_1,y_1) $ adalah $ x_1.x + y_1.y = r^2 $
*). Persamaan garis singgung (PGS) lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ dengan gradien $ m $ adalah $ y = mx \pm r\sqrt{1+m^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya

*). PGS lingkaran $ x^2 + y^2 = 2 $ di titik $ (x_1,y_1)=(1,-1) $
$\begin{align} x_1.x + y_1.y & = r^2 \\ 1.x + (-1).y & = 2 \\ x - y & = 2 \\ y & = x - 2 \, \, \, \, \, \, \text{(sebagai } l_1 ) \\ m_1 & = 1 \end{align} $
*). Gradien garis yang tegak lurus dengan $ y = x - 2 $ :
$ m_1.m_2 = -1 \rightarrow 1. m_2 = -1 \rightarrow m_2 = -1 $
*). PGS lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 $ dengan $ m = -1 $ :
-). Lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 \rightarrow r = \sqrt{4} = 2 $
-). PGS nya :
$\begin{align} y & = mx \pm r\sqrt{1 + m^2} \\ y & = -1.x \pm 2\sqrt{1 + (-1)^2} \\ y & = -x \pm 2\sqrt{1 + 1} \\ y & = -x \pm 2\sqrt{2} \, \, \, \, \, \, \text{(sebagai } l_2 ) \end{align} $
*). Menentukan titik potong $ l_1 $ dan $ l_2 $ :
-). $ l_1 : y = x-2 $ dan $ l_2 : y = -x + 2 \sqrt{2} $
$\begin{align} y & = y \\ x - 2 & = -x + 2\sqrt{2} \\ 2x & = 2 + 2\sqrt{2} \\ x & = 1 + \sqrt{2} \end{align} $
Nilai $ y = x - 2 = (1 + \sqrt{2} ) - 2 = -1 + \sqrt{2} $
Sehingga titik potong pertama : $ (1+\sqrt{2} , -1 + \sqrt{2} ) $
-). $ l_1 : y = x-2 $ dan $ l_2 : y = -x - 2 \sqrt{2} $
$\begin{align} y & = y \\ x - 2 & = -x - 2\sqrt{2} \\ 2x & = 2 - 2\sqrt{2} \\ x & = 1 - \sqrt{2} \end{align} $
Nilai $ y = x - 2 = (1 - \sqrt{2} ) - 2 = -1 - \sqrt{2} $
Sehingga titik potong kedua : $ (1- \sqrt{2} , -1 - \sqrt{2} ) $
*). Yang ada di pilihan gandanya adalah $ (1+\sqrt{2} , -1 + \sqrt{2} ) $ atau dapat ditulis $ (1 + \sqrt{2} , \sqrt{2} - 1 ) $
Jadi, titik potongnya adalah $ (1 + \sqrt{2} , \sqrt{2} - 1 ) . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Eksponen SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui $ f(x)=2^{x^2+x-12} $ dan $ g(x)= 4^{2x-7} $ . Jika $ (a, b) $ adalah interval dengan grafik $ y = f(x) $ berada di bawah grafik $ y= g(x) $ , maka nilai $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 17 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ f(x) $ berada di bawah $ g(x) $ artinya $ f(x) < g(x) $
*). Sifat eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Pertidaksamaan eksponen :
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \, $ solusinya :
Jika $ a > 1 $ , maka $ f(x) < g(x) $ (ketaksamaan tetap)
Jika $ 0 < a < 1 $ , maka $ f(x) > g(x) $ (ketaksamaan dibalik)
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x) $ di bawah $ g(x) $ , artinya :
$\begin{align} f(x) & < g(x) \\ 2^{x^2+x-12} & < 4^{2x-7} \\ 2^{x^2+x-12} & < (2^2)^{2x-7} \\ 2^{x^2+x-12} & < 2^{4x-14} \, \, \, \, \, \text{(coret basisnya)} \\ x^2+x-12 & < 4x-14 \\ x^2-3x+2 & < 0 \\ (x-1)(x-2) & < 0 \\ x = 1 \vee x & = 2 \end{align} $
-). garis bilangannya :

-). kita peroleh HP $ = \{ 1 < x < 2 \} $ yang dapat kita tulis menjadi $ (1, 2) $ dimana bentuknya sama dengan $ (a,b) $ , sehingga $ a = 1 $ dan $ b = 2 $.
*). Menentukan $ a^2 + b^2 $ :
$\begin{align} a^2 + b^2 & = 1^2 + 2^2 = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2 + b^2 = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Trigonometri SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Himpunan semua bilangan real $ x $ pada selang $ \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right) $ yang memenuhi $ \sec x ( 1 + \tan x) < 0 $ berbentuk $ ( a,b) $. Nilai $ a + b $ adalah ....
A). $ \frac{5\pi}{4} \, $ B). $ \frac{7\pi}{4}\, $ C). $ 2\pi \, $ D). $ \frac{9\pi}{4} \, $ E). $ \frac{11\pi}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sec x = \frac{1}{\cos x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Syarat letak nilai $ x $ dari soal :
$ x $ pada selang $ \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right) $ atau $ 90^\circ < x < 270^\circ $
*). Menentukan akar-akarnya :
$\begin{align} \sec x ( 1 + \tan x) & < 0 \\ \sec x = 0 \vee 1 + \tan x & = 0 \end{align} $
-). $ \sec x = 0 \rightarrow \frac{1}{\cos x} = 0 \rightarrow \cos x = \infty $
(tidak nilai $ x $ yang memenuhi)
-). $ 1 + \tan x = 0 \rightarrow \tan x = -1 \rightarrow x = 135^\circ , x = 315^\circ $
*). Garis bilangannya :

-). Karena pada soal yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya adalah daerah negatif yaitu :
$ HP_1 = 135^\circ < x < 315^\circ $
*). Solusi total adalah irisan dengan solusi syaratnya :
$\begin{align} HP & = \{ 135^\circ < x < 315^\circ \} \cap \{ 90^\circ < x < 270^\circ \} \\ & = 135^\circ < x < 270^\circ \end{align} $
-). Sehingga solusinya adalah $ 135^\circ < x < 270^\circ $ atau dapat ditulis $ \frac{3\pi}{4} < x < \frac{6\pi}{4} $ yang dapat juga kita tulis dalam selang $ \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{6\pi}{4} \right) $. Bentuk $ \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{6\pi}{4} \right) $ sama dengan $ (a,b) $ sehingga $ a = \frac{3\pi}{4} $ dan $ b = \frac{6\pi}{4} $.
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a+ b & = \frac{3\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = \frac{9\pi}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Himpunan SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui $ (a_n) $ dan $ (b_n) $ adalah dua barisan aritmetika dengan $ a_1=5 $ , $ a_2 = 8 $ , $ b_1 = 3 $ , dan $ b_2 = 7 $. Jika $ A = \{ a_1, a_2, ...,a_{100} \} $ dan $ B = \{ b_1, b_2 , ... , b_{100} \} $ , maka banyaknya anggota $ A \cap B $ adalah .....
A). $ 20 \, $ B). $ 21 \, $ C). $ 22 \, $ D). $ 23 \, $ E). $ 24 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, \, U_n = a + (n-1)b $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda
*). Irisan dua himpunan hasilnya adalah anggota yang sama (ambil anggota yang sama saja).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Rumus suku ke-$n$ barisan $ a_n $ :
$ a_1 = 5 $ dan $ a_2 = 8 $, beda : $ b = 8-5=3 $
suku pertama : $ a = 5 $
-). Rumus $ a_n $ :
$\begin{align} a_n & = a + (n-1)b \\ & = 5 + (n-1).3 \\ a_n & = 3n + 2 \\ a_{100} & = 3 \times 100 + 2 = 302 \end{align} $
-). Barisan $ a_n $ nya yaitu :
$ A = \{ a_1, a_2, ...,a_{100} \} $
$ A = \{ 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, ..., 302 \} $
*). Rumus suku ke-$n$ barisan $ b_n $ :
$ b_1 = 3 $ dan $ b_2 = 7 $, beda : $ b = 7-3=4 $
suku pertama : $ a = 3 $
-). Rumus $ b_n $ :
$\begin{align} b_n & = a + (n-1)b \\ & = 3 + (n-1).4 \\ b_n & = 4n -1 \\ b_{100} & = 4 \times 100 -1 = 399 \end{align} $
-). Barisan $ b_n $ nya yaitu :
$ B = \{ b_1, b_2 , ... , b_{100} \} $
$ B = \{ 3,7,11,15,19,23,27,...,399 \} $
*). Menentukan irisan A dan B
$\begin{align} A \cap B & = \{ 11, 23, 35, 47, ..... \} \end{align} $
*). Rumus suku ke-$n$ barisan : 11, 23, 35,...
$ b = 23-11=12 $, dan $ a = 11 $
-). Rumus $ u_n $ :
$\begin{align} u_n & = a + (n-1)b \\ & = 11 + (n-1).12 \\ u_n & = 12n - 1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ n $ :
Sebelumnya kita peroleh $ a_{100} = 302 $ dan $ b_{100}= 399 $ , artinya $ a_{100} < b_{100} $ sehingga nilai $ u_n= 12n-1 $ paling besar sama dengan $ a_{100} $.
$\begin{align} u_n & \leq a_{100} \\ 12n - 1 & \leq 302 \\ 12n & \leq 303 \\ n & \leq \frac{303}{12} \\ n & \leq 25, 25 \end{align} $
Artinya nilai terbesar $ n $ adalah $ n = 25 $.
Sehingga dapat kita simpulkan bahwa banyaknya anggota $ A \cap B $ ada 25 anggota. Berikut rincian lengkapnya :
$ A \cap B = $ { 11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, 119, 131, 143, 155, 167, 179, 191, 203, 215, 227, 239, 251, 263, 275, 287, 299 } .
Jadi, banyaknya anggota $ A \cap B $ adalah 25 (tidak ada jawaban) $ . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Integral SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Nilai $ \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar integral :
$ \int k(ax+b)^n dx = \frac{1}{a}.\frac{k}{n+1}(ax+b)^{n+1} + c $
*). Salah satu teknik integral adalah integral parsial atau Tanzalin.
*). Teknik Tanzalin adalah salah satu fungsi diturunkan dan satunya lagi diintegralkan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Soal : $ \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx $
*). Teknik Tanzalin :
$ \begin{array}{c|c} \text{Turunan} & \text{integral} \\ (+) 15x & \sqrt{1-x} = (1-x)^\frac{1}{2} \\ (-) 15 & \frac{1}{-1}. \frac{2}{3} (1-x)^\frac{3}{2} = -\frac{2}{3} (1-x)^\frac{3}{2} \\ 0 & - \frac{2}{3} . \frac{1}{-1} . \frac{2}{5} (1-x)^\frac{5}{2} = \frac{4}{15} (1-x)^\frac{5}{2} \end{array} $
*). Hasil integralnya :
$ = 15x. -\frac{2}{3} (1-x)^\frac{3}{2} + (-15). \frac{4}{15} (1-x)^\frac{5}{2} $
$ = -10x (1-x)^\frac{3}{2} -4 (1-x)^\frac{5}{2} $
*). Substitusi batas-batasnya :
$\begin{align} & \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx \\ & = \left[ -10x (1-x)^\frac{3}{2} -4 (1-x)^\frac{5}{2} \right]_0^1 \\ & = \left[ -10.1 (1-1)^\frac{3}{2} -4 (1-1)^\frac{5}{2} \right] - \left[ -10.0 (1-0)^\frac{3}{2} -4 (1-0)^\frac{5}{2} \right] \\ & = \left[ 0 \right] - \left[ 0 - 4 \right] = 4 \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Nilai $ \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar integral :
$ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
*). Salah satu teknik integral adalah integral subsitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Soal : $ \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx $
*). Teknik substitusi :
Misalkan : $ 1 - x = u \rightarrow x = 1 - u $
turunannya : $ \frac{du}{dx} = -1 \rightarrow dx = -du $
*). Menentukan integral dengan teknik substitusi :
$\begin{align} & \int \limits_0^1 15x \sqrt{1-x} dx \\ & = \int 15 (1-u) \sqrt{u} . (-du) \\ & = -15 \int (u^\frac{1}{2} - u^\frac{3}{2} ) du \\ & = -15 (\frac{2}{3} u^\frac{3}{2} - \frac{2}{5} u^\frac{5}{2} ) + C \\ & = -15 \left[ \frac{2}{3} (1-x)^\frac{3}{2} - \frac{2}{5} (1-x)^\frac{5}{2}\right]_0^1 \\ & = -15 \left[ \left( \frac{2}{3} (1-1)^\frac{3}{2} - \frac{2}{5} (1-1)^\frac{5}{2} \right) - \left( \frac{2}{3} (1-0)^\frac{3}{2} - \frac{2}{5} (1-0)^\frac{5}{2} \right)\right] \\ & = -15 \left[ \left( 0 - 0 \right) - \left( \frac{2}{3} - \frac{2}{5} \right)\right] \\ & = -15 \left[ - \frac{2}{3} + \frac{2}{5} \right] \\ & = 10 - 6 = 4 \end{align} $
Jadi, hasil integralnya adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan PGS Kurva SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Segitiga yang dibatasi oleh sumbu $ x $ , sumbu $ y $ , dan garis singgung pada kurva $ y = \frac{1}{3}x^3 + 1 $ di titik $ P(a,b) $ pada kuadran II, berbentuk segitiga sama kaki. Nilai $ ab $ adalah .....
A). $ -\frac{2}{3} \, $ B). $ -\frac{23}{48} \, $ C). $ -\frac{86}{243} \, $ D). $ -\frac{191}{768} \, $ E). $ -\frac{374}{1875} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung kurva (PGSV) $ y = f(x) $ di titik singgung $ (x_1,y_1) $ :
$ \, \, \, \, \, \, \, y-y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $
*). Gradien ( $ m $) adalah kemiringan garis dengan $ m = \tan \theta $
dimana $ \theta $ = sudut yang dibentuk oleh garis.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan garis singgung di titik $ P(a,b) $ :
Kurva : $ y = \frac{1}{3}x^3 + 1 \rightarrow f^\prime (x) = x^2 $
Karena $ P(a,b) $ ada di kuadran II, maka $ a < 0 $ (negatif).
*). Substitusi titik $ P(a,b) $ ke kurva :
$ x = a \rightarrow b = \frac{1}{3}a^3 + 1 $
*). Gradien garis singgung :
$ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (a) = a^2 $
*). Ilustrasi gambar.

*). Karena $ \Delta MNO $ sama kaki, maka MO = NO
sehingga $ \tan \theta = \frac{de}{sa} = \frac{NO}{MO} \rightarrow \tan \theta = 1 $.
*). Menentukan nilai $ a $ dari gradien :
$ m = \tan \theta \rightarrow a^2 = 1 \rightarrow a = \pm 1 $
Karena $ a < 0 $ , maka yang memenuhi $ a = -1 $.
sehingga nilai $ b $ :
$ b = \frac{1}{3}a^3 + 1 = \frac{1}{3}.(-1)^3 + 1 = \frac{2}{3} $
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = -1. \frac{2}{3} = - \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = -\frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan PGS Kurva SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung kurva (PGSV) $ y = f(x) $ di titik singgung $ (x_1,y_1) $ :
$ \, \, \, \, \, \, \, y-y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis singgung di titik $ P(a,b) $ :
Kurva : $ y = \frac{1}{3}x^3 + 1 \rightarrow f^\prime (x) = x^2 $
Karena $ P(a,b) $ ada di kuadran II, maka $ a < 0 $ (negatif).
-). Menentukan titik singgungnya :
$ x = a \rightarrow b = \frac{1}{3}a^3 + 1 $
sehingga titik singgungnya :
$ (x_1,y_1) = (a,b) = \left( a, \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) $
-). Menentukan gradien garis singgungnya :
$ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (a) = a^2 $
-). Menentukan persamaan garis singgungnya :
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(x-a) \end{align} $
*). Menentukan titik potong (tipot) garis singgung terhadap sumbu-sumbu koordinat:
-). Tipot sumbu X : substitusi $ y = 0 $
$\begin{align} y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(x-a) \\ 0 - \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(x-a) \\ -\frac{1}{3}a^3 - 1 & = a^2x-a^3 \\ a^2x & = \frac{2}{3}a^3 - 1 \\ x & = \frac{\frac{2}{3}a^3 - 1}{a^2} \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu X : $ M\left(\frac{\frac{2}{3}a^3 - 1}{a^2} ,0 \right) $
-). Tipot sumbu Y : substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(x-a) \\ y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2(0-a) \\ y- \left( \frac{1}{3}a^3 + 1 \right) & = -a^3 \\ y & = -\frac{2}{3}a^3 + 1 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu Y : $ N\left(0,-\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) $
*). Ilustrasi gambar.

*). Karena $ \Delta MNO $ sama kaku, maka MO = NO :
$\begin{align} MO & = NO \\ 0 - \left(\frac{\frac{2}{3}a^3 - 1}{a^2} \right) & = \left( -\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) - 0 \\ \left(\frac{-\frac{2}{3}a^3 + 1}{a^2} \right) & = \left( -\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) - 0 \\ \left( -\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) & = a^2 \left( -\frac{2}{3}a^3 + 1 \right) \\ 1 & = a^2 \\ a & = \pm 1 \end{align} $
Karena $ a < 0 $ , maka yang memenuhi $ a = -1 $.
sehingga nilai $ b $ :
$ b = \frac{1}{3}a^3 + 1 = \frac{1}{3}.(-1)^3 + 1 = \frac{2}{3} $
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = -1. \frac{2}{3} = - \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = -\frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Sisa pembagian $ p(x)=x^3+Ax^2+Bx+C $ oleh $ x + 3 $ adalah 2. Jika $ p(x) $ habis dibagi oleh $ x+1 $ dan $ x-1 $, maka $ A + 2B - 3C = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Konsep pembagian :
Suku banyak $ P(x) $ dibagi $ (x-a) $ berisa $ b $,
dapat kita tulis : $ P(a) = b $.
(substitusi $ x $ dengan akar pembaginya)
*). Habis dibagi artinya sisa = 0.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui suku banyak : $ p(x)=x^3+Ax^2+Bx+C $
*). $ p(x) : (x + 3) \, $ bersisa 2 , artinya :
$\begin{align} p(-3) & = 2 \\ (-3)^3+A(-3)^2+B.(-3)+C & = 2 \\ -27+9A-3B+C & = 2 \\ 9A-3B+C & = 29 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). $ p(x) $ habis dibagi $ (x+1) $, artinya :
$\begin{align} p(-1) & = 0 \\ (-1)^3+A(-1)^2+B.(-1)+C & = 0 \\ -1+A-B+C & = 0 \\ A-B+C & = 1 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). $ p(x) $ habis dibagi $ (x-1) $, artinya :
$\begin{align} p(1) & = 0 \\ (1)^3+A(1)^2+B.(1)+C & = 0 \\ 1+A+B+C & = 0 \\ A+B+C & = -1 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(ii) dan (iii) :
$\begin{array}{cc} A-B+C = 1 & \\ A+B+C = -1 & - \\ \hline -2B = 2 & \\ B = -1 & \end{array} $
Pers(iii): $ A+B+C = -1 $
$ \rightarrow A+(-1)+C = -1 \rightarrow C = -A $
Pers(i) : dengan $ B = -1 $ dan $ C = -A $
$\begin{align} 9A-3B+C & = 29 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ 9A-3.(-1)+ (-A) & = 29 \\ 9A+ 3 - A & = 29 \\ 8A & = 26 \\ A & = \frac{26}{8} = \frac{13}{4} \end{align} $
Sehingga $ C = -A = - \frac{13}{4} $
*). Menentukan nilai $ A + 2B - 3C $ :
$\begin{align} A + 2B - 3C & = \frac{13}{4} + 2(-1) - 3 \left( - \frac{13}{4} \right) \\ & = \frac{13}{4} -2 + \frac{39}{4} \\ & = \frac{52}{4} -2 = 13-2 = 11 \end{align} $
Jadi, nilai $A + 2B - 3C = 11 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Jika lingkaran $ x^2 + y^2 -ax - ay + a = 0 $ mempunyai panjang jari-jari $ \frac{1}{2}a $, maka nilai $ a $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran :
$ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Jari-jarinya : $ r = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} -C} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui persamaan lingkaran :
$ x^2 + y^2 -ax - ay + a = 0 \rightarrow A = -a , B = -a , C = a $
dengan jari-jari : $ r = \frac{1}{2}a $
dimana $ a \neq 0 $, sebab jika $ a = 0 $ maka tidak terbentuk lingkaran.
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} r & = \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} -C} \\ \frac{1}{2}a & = \sqrt{\frac{(-a)^2}{4} + \frac{(-a)^2}{4} -a} \\ \frac{1}{2}a & = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} -a} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{a^2}{4} & = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} -a \\ 0 & = \frac{a^2}{4} -a \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 0 & = a^2 -4a \\ 0 & = a(a-4) \\ a& = 0 \vee a = 4 \end{align} $
yang memenuhi $ a = 4 $.
Jadi, nilai $ a = 4. \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Peluang SBMPTN 2018 Matipa kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang. Banyaknya cara membuat barisan, dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah .....
A). $ 7 \times 8! \, $ B). $ 6 \times 8! \, $
C). $ 7 \times 8! \, $ D). $ 7 \times 7! \, $
E). $ 6 \times 7! $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Banyak cara penempatan $ n $ orang pada $ n $ tempat secara berbarisan adalah $ n! $.
*). Banya cara penempatan $ r $ orang pada $ n $ tempat adalah $ P_r^n $
dengan $ P $ = permutasi dan $ P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $
*). Misalkan kejadian I ada $ p $ cara dan kejadian II ada $ q $ cara, maka total cara kejadian I dan II adalah $ p \times q $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan susunan duduk berikut ini :

*). Kejadian I : Kita pilih 7 orang (selain Ari dan Ira) yang kita tempatkan pada posisi tempat yang berwarna biru. Artinya kita menyusun 7 orang pada 7 tempat dengan banyak cara $ 7! $.
*). Kejadian II : Dua orang yang tersisa (Ari dan Ira) bisa kita tempatkan pada kotak warna hijau ( satu kotak satu orang sehingga dijamin Ari dan Ira tidak berdampingan). Artinya kita menyusun 2 orang pada 8 tempat dengan banyak cara $ P_2^8 $.

Sehingga total Cara :
$ = P_2^8 \times 7! = \frac{8!}{6!} \times 7! = \frac{8!}{6!} \times (7 \times 6!) = 7 \times 8! $.
Jadi, total susunan adalah $ 7 \times 8!. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Peluang SBMPTN 2018 Matipa kode 452

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Banyak cara penempatan $ n $ orang pada $ n $ tempat secara berbarisan adalah $ n! $.
*). Misalkan kejadian I ada $ p $ cara dan kejadian II ada $ q $ cara, maka total cara kejadian I dan II adalah $ p \times q $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perhatikan susunan duduk berikut ini :

*). Kejadian I : Kita pilih 8 orang (salah satunya Ari atau Ira) yang kita tempatkan pada posisi tempat yang berwarna biru. Artinya kita menyusun 8 orang pada 8 tempat dengan banyak cara $ 8! $.
*). Kejadian II : Satu orang yang tersisa (Ari atau Ira) bisa kita tempatkan pada posisi warna hijau. Kenapa tidak kita tempatkan di posisi warna merah? karena kita misalkan jika warna biru 1 ditempati oleh Ari atau ira , sehingga salah satu dari mereka tidak bisa kita tempatkan di warna merah karena mereka akan berdampingan sementara di soal tidak boleh berdampingan. Pada kejadian II ini ada 7 cara (7 posisi kemungkinan warna hijau yang bisa ditempati oleh satu orang yaitu Ari atau Ira).
Sehingga total Cara $ = 7 \times 8! $.
Jadi, total susunan adalah $ 7 \times 8!. \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Banyak cara penempatan $ n $ orang pada $ n $ tempat secara berbarisan adalah $ n! $.
*). Kejadian komplemen (berlawanan) :
-). Kasus I : Semua kemungkinan kejadian
-). Kasus II : Kejadian A dan B berdampingan
-). Banyaknya kejadian A dan B tidak berdampingan adalah
$ \, \, \, \, \, \, \, = $ Kasus I $ - $ Kasus II.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan banyaknya susunan yang mungkin :
*). Kasus I : Misalkan Ari dan Ira bebas posisinya, artinya ada 9 orang berbaris dengan banyak cara
Kasus I = $ 9! $.
*). Kasus II : Misalkan susunan barisnya dimana Ari dan Ira selalu berdampingan. Agar Ari dan Ira selalu berdampingan, maka kita blok mereka berdua (anggap jadi satu orang) sehingga sekarang ada 8 orang totalnya dengan banyak cara $ 8! $. Posisi Ari dan Ira yang kita blok tadi bisa diacak lagi menjadi 2 cara, sehingga :
Kasus II $ = 2 \times 8! $.
*). Banyak cara agar Ari dan Ira tidak berdampingan :
$\begin{align} \text{total cara } & = \text{Kasus I } - \text{ Kasus II} \\ & = 9! - 2 \times 8! \\ & = 9 \times 8! - 2 \times 8! \\ & = (9 - 2 ) \times 8! \\ & = 7 \times 8! \end{align} $
Jadi, total susunan adalah $ 7 \times 8!. \, \heartsuit $

Pembahasan Volume integral SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Daerah R dibatasi oleh $ y= \sqrt{x} $ , $ y = -x + 6 $ , dan sumbu $ x $. Volume benda padat yang didapat dengan memutar R terhadap sumbu $ x $ adalah ....
A). $ \frac{8\pi}{3} \, $ B). $ \frac{16\pi}{3} \, $ C). $ \frac{24\pi}{3} \, $ D). $ \frac{32\pi}{3} \, $ E). $ \frac{40\pi}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus volume benda putar menggunakan integral :
Misalkan terdapat suatu daerah R yang dibatasi oleh fungsi $ y = f(x) $ untuk $ a \leq x \leq b $ , volume daerah R yang diputar terhadap sumbu X yaitu :
$ V_x = \pi \int \limits_a^b [f(x)]^2 dx $
*). Rumus Integral :
1). $ \int kx^n dx = \frac{k}{n+1}x^{n+1} + c $
2). $ \int k(ax+b)^n dx = \frac{1}{a}.\frac{k}{n+1}(ax+b)^{n+1} + c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :

Volume arsiran kita bagi menjadi dua yaitu $ V_A $ dan $ V_B $.
*). Langkah-langkah menggambar grafik :
-). garis lurus $ y = -x + 6 $
Titik potong sumbu X dan sumbu Y adalah :
$ (0,6) $ dan $ (6,0) $.
-). grafik $ y = \sqrt{x} $ bisa diubah $ x = y^2 $ dengan $ x \geq 0 $ dan $ y \geq 0 $.
Sehingga bentuk $ x = y^2 $ adalah parabola yang menghadap ke X positif.
*). Titik potong kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ (-x+6) & = \sqrt{x} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ x^2 - 12x + 36 & = x \\ x^2 - 13x + 36 & = 0 \\ (x-4)(x-9) & = 0 \\ x = 4 \vee x & = 9 \end{align} $
*). Menentukan volume benda putar :
$\begin{align} V_x & = V_A + V_B \\ & = \pi \int \limits_0^4 (\sqrt{x})^2 dx + \pi \int \limits_4^6 (-x+6)^2 dx \\ & = \pi \int \limits_0^4 x dx + \pi \int \limits_4^6 (-x+6)^2 dx \\ & = \pi . \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_0^4 + \pi \left[ \frac{1}{-1}. \frac{1}{3} (-x+6)^3 \right]_4^6 \\ & = \pi . \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_0^4 - \frac{\pi}{3} \left[ (-x+6)^3 \right]_4^6 \\ & = \pi . \left[ \frac{1}{2} 4^2 - 0 \right] - \frac{\pi}{3} \left[ (0)^3 - (2)^3 \right] \\ & = \pi . 8 - \frac{\pi}{3} \left[ 0 - 8 \right] \\ & = 8\pi - \frac{\pi}{3} \left[ -8 \right] \\ & = 8\pi + \frac{8\pi}{3} = \frac{32\pi}{3} \end{align} $
Jadi, volumenya adalah $ \frac{32\pi}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan barisan geometri $ u_n $, dengan $ u_3+u_4 = 4(u_1+u_2) $ dan $ u_1u_4=4u_2 $. Jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 15 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus $ u_n $ dan $ s_n $ barisan geometri :
$ u_n = a.r^{n-1} $ dan $ s_n = \frac{a(r^n - a)}{r-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama :
$\begin{align} u_3 + u_4 & = 4(u_1+u_2) \\ ar^2 + ar^3 & = 4(a + ar) \\ r^2(a + ar) & = 4(a+ar) \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ r^2 & = 4 \\ r & = \pm 2 \end{align} $
-). Persamaan kedua :
$\begin{align} u_1.u_4 & =4u_2 \\ a.ar^3 & = 4 ar \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ ar^2 & = 4 \\ a. 4 & = 4 \\ a & = 1 \end{align} $
*). Menentukan $ s_4 $ :
-). Untuk $ a = 1 $ dan $ r = 2 $
$\begin{align} s_4 & = \frac{a(r^4 - 1)}{r-1} \\ & = \frac{1.(2^4 - 1)}{2-1} = 15 \end{align} $
-). Untuk $ a = 1 $ dan $ r = -2 $
$\begin{align} s_4 & = \frac{a(r^4 - 1)}{r-1} \\ & = \frac{1.((-2)^4 - 1)}{-2-1} \\ & = \frac{15}{-3} = -5 \end{align} $
Yang ada dioption adalah $ s_4 = 15 $.
Jadi, jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah $ 15. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penggunaan turunan pada limit (L'Hospital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $ .
*). Turunan fungsi :
1). $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
2). $ y = \sin f(x) \rightarrow y^\prime = f^\prime (x) . \cos f(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Merasionalkan penyebutnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{2\cos (2x-6)}{\frac{-1}{2\sqrt{4-x}}} \\ & = \frac{2\cos 0}{\frac{-1}{2\sqrt{4-3}}} = \frac{2}{\frac{-1}{2}} = -4 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -4. \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} = .... $
A). $ 4 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin af(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} $ dengan syarat $ f(k)=0 $.
*). Limit bentuk tak tentu $ \left( \frac{0}{0} \right) $ bisa diselesaikan dengan cara pemfaktoran, merasionalkan , dan turunan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Merasionalkan penyebutnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6)}{\sqrt{4-x} -1} \times \frac{\sqrt{4-x} +1}{\sqrt{4-x} +1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin (2x-6) . \left( \sqrt{4-x} +1 \right) }{(4-x) -1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin 2(x-3) . \left( \sqrt{4-x} +1 \right) }{3-x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sin 2(x-3) }{-(x-3)} . \left( \sqrt{4-x} +1 \right) \\ & = \frac{2 }{-1} . \left( \sqrt{4-3} +1 \right) \\ & = -2 . \left( 2 \right) = -4 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -4. \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ 2\sqrt{2} $ cm. Jika titik P di tengah-tengah AB dan titik Q di tengah-tengah BC, maka jarak antara titik H dengan garis PQ adalah ..... cm.
A). $ \sqrt{15} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \sqrt{17} \, $ D). $ 3\sqrt{2} \, $ E). $ \sqrt{19} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jarak titik ke garis adalah jarak terdekat titik tersebut dengan garis yang dimaksud. Agar jaraknya terdekat, maka tarik garis dari titik ke garis sehingga berpotongan tegak lurus.
*). Jarak titik A ke garis PQ, buat garis dari A ke PQ yang berptongan di titik B dan tegak lurus. Jarak terdekatnya adalah panjang garis AB. Untuk memudahkan, silahkan buat segitiga dengan menghubungkan titik A dan ujung-ujung garis PQ sehingga terbentuk segitiga APQ.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :

*). Jarak H ke PQ = jarak H ke R. Karena $ HP = HQ $ , maka segitiga HPQ sama kaki sehingga R ditengah-tengah PQ dan HR tegak lurus PQ.
*). Menentukan panjang masing-masing :
Panjang rusuk kubus : $ s = 2 \sqrt{2} $
$ AP = PB = BQ = \frac{1}{2}s = \sqrt{2} $
$ HA = s\sqrt{2} = 2\sqrt{2}. \sqrt{2} = 4 $
$ PQ = \sqrt{PB^2+BQ^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{4} = 2 $
$ PR = RQ = \frac{1}{2}PQ = 1 $
Segitiga HAP :
$ HP=\sqrt{HA^2+AP^2} = \sqrt{4^2+(\sqrt{2})^2} = \sqrt{18} $
*). Menentukan panjang HR pada $ \Delta HPR $ :
$\begin{align} HR& = \sqrt{HP^2 - PR^2} \\ & = \sqrt{(\sqrt{18})^2 - 1^2} \\ & = \sqrt{17} \end{align} $
Artinya jarak H ke PQ = HR = $ \sqrt{17} $
Jadi, jarak H ke PQ adalah $ \sqrt{17} . \, \heartsuit $

Pembahasan Transformasi SBMPTN 2018 Matematika IPA kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Pencerminan titik $ P(-2,b) $ terhadap garis $ x = a $ dan dilanjutkan dengan pergeseran sejauh 6 satuan ke kiri dan 3 satuan ke atas, mengakibatkan bayangannya menjadi $ P^\prime (-4,7) $ . Nilai $ a + b $ adalah .....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pencerminan terhadap garis $ x = k $ :
Titik awal : $ A(m,n) $ ,
Bayangannya : $ A^\prime (2k - m, n) $.
*). Translasi/pergeseran dengan matriks $ T\left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ :
Titik awal : $ A(m,n) $ ,
Bayangannya : $ A^\prime (m + a, n + b) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Transformasi pertama :
-). Titik $ (-2,b) $ dicerminkan terhadap $ x = a $ :
Titik bayangannya $( x^\prime , y^\prime ) $ yaitu
$\begin{align} ( x^\prime , y^\prime ) & = (2a- (-2) , b) \\ ( x^\prime , y^\prime ) & = (2a+ 2 , b) \end{align} $
*). Dilanjutkan transformasi kedua :
-). Translasi 6 satuan ke kiri dan 3 satuan ke atas,
matriks translasinya : $ T\left( \begin{matrix} -6 \\ 3 \end{matrix} \right) $
-). Titik $ ( x^\prime , y^\prime ) = (2a+ 2 , b) $ ditranslasi oleh $ T\left( \begin{matrix} -6 \\ 3 \end{matrix} \right) $
Bayangannya yaitu :
$\begin{align} ( x^{\prime \prime } , y^{\prime \prime} ) & = ( x^\prime +(-6) , y^\prime + 3 ) \\ & = ( 2a + 2 - 6 , b + 3 ) \\ & = ( 2a - 4 , b + 3 ) \end{align} $
*). Bayangan akhir yaitu titik $ (2a-4 , b+3 ) $ harus sama dengan titik $ (-4,7) $ , artinya kita peroleh :
$\begin{align} 2a - 4 & = -4 \rightarrow a = 0 \\ b + 3 & = 7 \rightarrow b = 4 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = 0 + 4 = 4 $.
Jadi, nilai $ a + b = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Trigonometri SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 452

Soal yang Akan Dibahas

Jika nilai maksimum dan minimum fungsi $ f(x) = k\sin (x) + c $ berturut-turut adalah 7 dan 3, maka nilai maksimum fungsi $ g(x) = 2k \cos (x) + 5c $ adalah .....
A). $ 7 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 14 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 29 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan terdapat fungsi trigonometri :
$ f(x) = A \sin g(x) + B $ atau $ f(x) = A \cos h(x) + B $
*). Nilai maksimum/minimumnya yaitu :
$ f_{maks} = B + |A| $
$ f_{min} = B - |A| $
dengan $ |A| $ adalah nilai mutlak dari $ A $ dan $ A, B \in R $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi : $ f(x) = k \sin x + c $
dengan $ f_{maks} = 7 $ dan $ f_{min} = 3 $.
dan $ A = k $ , serta $ B = c $.
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} f_{maks} = 7 \rightarrow B + |A| & = 7 \\ c + |k| & = 7 \, \, \, \, \, ....(i) \\ f_{min} = 3 \rightarrow B - |A| & = 3 \\ c - |k| & = 3 \, \, \, \, \, ....(ii) \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c $ dan $ k $ dengan eliminasi kedua persamaan :
$\begin{array}{cc} c + |k| = 7 & \\ c - |k| = 3 & + \\ \hline 2c = 10 & \\ c = 5 & \end{array} $
Pers(i): $ c + |k| = 7 \rightarrow 5 + |k| = 7 \rightarrow |k| = 2 $
Dari bentuk $ |k|=2 $ , artinya $ k = 2 $ atau $ k = -2 $ (pilih salah satu).
Kita pilih nilai $ k = 2 $.
*). Fungsi $ f(x) = 2k\cos x + 5c $ menjadi :
$ f(x) = 2.2 \cos x + 5.5 = 4\cos x + 25 $.
*). Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(x) = 4\cos x + 25 $ :
$\begin{align} f_{maks} & = B + |A| \\ & = 25 + |4| \\ & = 25 + 4 = 29 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum fungsinya adalah $ 29 . \, \heartsuit $

Pages - Menu