Pembahasan Deret UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Jika bilangan 2001 ditulis dalam bentuk $ 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n $ maka jumlahan digit-digit dari bilangan $ n $ sama dengan ...
A). $ 5 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Rumus $ S_k $ deret aritmetika :
$ \, \, \, \, \, S_k = \frac{k}{2} (U_1 + U_k) $
Keterangan :
$ S_k = \, $ jumlah $ k $ suku pertama
$ U_1 = \, $ suku pertama
$ U_k = \, $ suku terakhir.
*). Rumus suku ke-$n$ :
$ \, \, \, \, \, \, U_n = a + (n-1)b $
Keterangan :
$ U_n = \, $ suku ke-$n$ :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \,$ beda $ = U_2 - U_1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan jumlahan deret berikut :
*). Deret pertama : $ 1 + 3 + 5 + ... + n $
$ a = U_1 = 1 , \, U_k = n, \, b = 3 - 1 = 2 $
-). Banyak sukunya :
$\begin{align} U_k & = n \\ a + (k-1)b & = n \\ 1 + (k-1)2 & = n \\ 2k & = n + 1 \\ k & = \frac{n+1}{2} \end{align} $
-). Jumlah $ k $ suku pertama ($S_k$) :
$\begin{align} 1 + 3 + 5 + ... + n & = \frac{k}{2}(U_1 + U_k) \\ & = \frac{\frac{n+1}{2} }{2}(1 + n) \\ & = \frac{n+1}{4}(1 + n) \\ & = \frac{(n+1)^2}{4} \end{align} $
*). Deret kedua : $ 2 + 4 + 6 + ... + (n-1) $
$ a = U_1 = 2 , \, U_k = n-1, \, b = 4 - 2 = 2 $
-). Banyak sukunya :
$\begin{align} U_k & = n-1 \\ a + (k-1)b & = n-1 \\ 2 + (k-1)2 & = n-1 \\ 2k & = n - 1 \\ k & = \frac{n-1}{2} \end{align} $
-). Jumlah $ k $ suku pertama ($S_k$) :
$\begin{align} 2 + 4 + 6 + ... + (n-1) & = \frac{k}{2}(U_1 + U_k) \\ & = \frac{\frac{n-1}{2} }{2}(2 + (n-1)) \\ & = \frac{n-1}{4}(n+1) \\ & = \frac{n^2-1}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ n $ :
$\begin{align} 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n & = 2001 \\ (1+3+5+...+n)-(2+4+6+...+(n-1)) & = 2001 \\ \frac{(n+1)^2}{4} - \frac{n^2-1}{4} & = 2001 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (n^2 + 2n + 1) - ( n^2 -1) & = 8004 \\ 2n + 2 & = 8004 \\ 2n & = 8002 \\ n & = 4001 \end{align} $
Artinya kita peroleh nilai $ n = 4001 $.
Jumlah digit-digit dari $ n = 4001 $ yaitu :
Jumlah digit $ = 4 + 0 + 0 + 1 = 5 $
Jadi, jumlah digit-digit dari $ n $ adalah $ 5 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar