dunia informa: simak ui matdas 2009 kode 951

Tampilkan postingan dengan label simak ui matdas 2009 kode 951. Tampilkan semua postingan

Cara 2 Pembahasan Limit Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} = ..... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{48} \, $ C). $ \frac{1}{24} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan turunan pada limit (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \, \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $.
*). Turunan fungsi :
$ y = x^n \rightarrow y^\prime = nx^{n-1} $
$ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[g(x)]^{n-1}. g^\prime (x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Turunan fungsi :
$ y = x^\frac{1}{3} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} $
$ y = (2 + x^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} $
*). Menyelesaikan limitnya dengan turunan :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \, \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} }{1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{1}{2}.(2 + x^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.x^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + 8^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.8^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + (2^3)^\frac{1}{3})^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2^3)^{-\frac{2}{3}} \\ & = \frac{1}{2}.(2 + 2)^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.(2^2)^{-\frac{1}{2}} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.(2)^{-1} . \frac{1}{3}.(2)^{-2} \\ & = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} . \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{48} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{48} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

$ \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} = ..... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{48} \, $ C). $ \frac{1}{24} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu $( \frac{0}{0}) $ , salah satunya dengan kalika bentuk sekawannya.
*). Bentuk perkalian akar :
$ (\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b) = a - b^2 $
$ (x - y)(x^2 + xy + y^2) = (x^3 - y^3) $ sehingga :
misalkan $ x = \sqrt[3]{a} $ dan $ y = b $ , maka
$ (\sqrt[3]{a} - b)((\sqrt[3]{a})^2 + b\sqrt[3]{a} + b^2) = a - b^3 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} \times \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2}{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{2 + \sqrt[3]{x} - 4}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)} \times \frac{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2}{(\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{x - 2^3}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 2^2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{x - 8}{(x-8)(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{1}{(\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} + 2)((\sqrt[3]{x})^2 + 2\sqrt[3]{x} + 4)} \\ & = \frac{1}{(\sqrt{2 + \sqrt[3]{8}} + 2)((\sqrt[3]{8})^2 + 2\sqrt[3]{8} + 4)} \\ & = \frac{1}{(\sqrt{2 + 2} + 2)((2)^2 + 2.2 + 4)} \\ & = \frac{1}{( 2 + 2)(4 + 4 + 4)} \\ & = \frac{1}{(4)(12)} = \frac{1}{48} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{48} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ 1 + (1-\sqrt{2})\sin t - \sqrt{2}\sin ^2 t \leq 0 $ dengan $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $ adalah .....
A). $ \{ t \in R | \frac{\pi}{2} < t < \pi \} \, $
B). $ \{ t \in R | \frac{3\pi}{4} < t < \pi \} \, $
C). $ \{ t \in R | \frac{\pi}{2} < t \leq \frac{3\pi}{4} \} \, $
D). $ \{ t \in R | \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{4} \} \, $
E). $ \{ t \in R | \frac{3\pi}{4} \leq t < \pi \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar pertidaksamaannya :
$ \begin{align} 1 + (1-\sqrt{2})\sin t - \sqrt{2}\sin ^2 t & \leq 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ \sqrt{2}\sin ^2 t + (\sqrt{2}-1)\sin t - 1 & \geq 0 \\ (\sqrt{2}\sin t - 1)(\sin t + 1) & \geq 0 \\ \sin t = \frac{1}{\sqrt{2}} \vee \sin t & = -1 \\ \sin t = \frac{1}{2}\sqrt{2} \vee \sin t & = -1 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ \sin t = \frac{1}{2}\sqrt{2} \rightarrow t = \{ ..., \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4} , ... \} $
$ \sin t = -1 \rightarrow t = \{ ..., \frac{3\pi}{2} , ... \} $
Garis bilangannya :

Karena syaratnya $ \frac{\pi}{2} < t < \pi $ dan $ \geq 0 $ (positif),
maka solusinya : $ \{ \frac{\pi}{2} < t \leq \frac{3\pi}{4} \} $
Jadi, HP $ = \{ \frac{\pi}{2} < t \leq \frac{3\pi}{4} \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Jika diketahui $ A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right) $ , $ C = \left( \begin{matrix} 4 & -5 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) $ dan $ (B^{-1}AC)^{-1} = \left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) $, maka matriks $ B $ sama dengan .....
A). $ \left( \begin{matrix} 3 & -4 \\ -4 & 5 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} -5 & -4 \\ -4 & -3 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} -3 & -4 \\ -4 & -5 \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} 5 & -4 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat invers pada matriks :
(i). $ (A^{-1})^{-1} = A $
(ii). $ (A.B)^{-1} = B^{-1}.A^{-1} $
(iii). $ AB = C \rightarrow A = C. B^{-1} $
(iv). $ Y^{-1}.B = C \rightarrow B = Y.C $
(v). $ (A.B.C)^{-1} = C^{-1}. B^{-1}. A^{-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks B :
$ \begin{align} (B^{-1}AC)^{-1} & = \left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ C^{-1}.A^{-1}.(B^{-1})^{-1} & = \left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ C^{-1}.A^{-1}.B & = \left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ A^{-1}.B & = C.\left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ B & = A.C.\left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 4 & -5 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & -4 \\ 5 & -7 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 5 & 8 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, matriks $ A = \left( \begin{matrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Jumlah dari tiga bilangan yang membentuk deret aritmatika adalah 27. Jika bilangan terbesar ditambah 12 maka ketiga bilangan tersebut membentuk deret geometri. Bilangan terkecil dari ketiga bilangan tersebut adalah .....
A). $ -9 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 15 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmatika :
"mempunyai selisih yang sama"
*). Ciri-ciri barisan geometri :
"mempunyai perbandingan yang sama"

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan barisan aritmatikanya : $ a - b, a, a + b $
dengan $ a-b $ terkcil dan $ a + b $ terbesar , sehingga haruslah nilai $ b > 0 $ .
*). Jumlah ketiga bilangan = 27
$ \begin{align} (a - b) + a + (a + b) & = 27 \\ 3a & = 27 \\ a & = 9 \end{align} $
Sehingga barisan artimatikanya : $ 9-b, 9, 9 + b $
*). Bilangan terbesar ditambah 12, sehingga terbentuk barisan geometri, barisannya yaitu :
$ 9- b , 9 , 9 + b + 12 $
*). Ciri-ciri barisan geometri :
$ \begin{align} \frac{u_2}{u_1} & = \frac{u_3}{u_2} \\ u_1. u_3 & = (u_2)^2 \\ (9-b).(21 + b) & = 9^2 \\ 189 - 12 b + b^2 & = 81 \\ b^2 + 12b - 108 & = 0 \\ (b + 18)(b - 6) & = 0 \\ b = -18 \vee b & = 6 \end{align} $
karena $ b > 0 $ , yang memenuhi $ b = 6 $.
*). Menentukan tiga bilangan awal dengan nial $ b $ :
ketiga bilangan : $ 9-b, 9 , 9 + b $
$ \begin{align} b = 6 \rightarrow 3 , 9 , 15 \end{align} $
Sehingga bilangan terkecilnya adalah 3.
Jadi, bilangan terkecilnya adalah 3 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui $ \sqrt{\left(\frac{1}{8}\right)^{x+1}} = 2^{(y-3)} $, maka nilai maksimum dari $ 3xy + 6x -3 $ adalah ......
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{15}{8} \, $ C). $ \frac{21}{6} \, $ D). $ \frac{25}{8} \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Nilai maksimum fungsi $ y = f(x) $ dicapai untuk $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ .
*). Sifat eksponen :
$ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $ , $ (a^m)^n = a^{mn} $ , dan $ \sqrt{a^n} = a^\frac{n}{2} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan hubungan $ x $ dan $ y $ :
$ \begin{align} \sqrt{\left(\frac{1}{8}\right)^{x+1}} & = 2^{(y-3)} \\ \left(\frac{1}{2^3}\right)^\frac{x+1}{2} & = 2^{(y-3)} \\ \left(2^{-3}\right)^\frac{x+1}{2} & = 2^{(y-3)} \\ 2^\frac{-3x-3}{2} & = 2^{(y-3)} \\ \frac{-3x-3}{2} & = (y-3) \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ -3x-3 & = 2y - 6 \\ y & = \left( \frac{3-3x}{2} \right) \end{align} $
*). Substitusi $ y = \left( \frac{3-3x}{2} \right) $ ke fungsi $ 3xy + 6x -3 $
$ \begin{align} 3xy + 6x -3 & = 3x.\left( \frac{3-3x}{2} \right) + 6x -3 \\ f(x) & = \frac{9x-9x^2}{2} + 6x -3 \\ f(x) & = -\frac{9}{2}x^2 + \frac{21}{2}x - 3 \\ f^\prime (x) & = -9x + \frac{21}{2} \end{align} $
*). Menntukan nilai $ x $ dengan $ f^\prime (x) = 0 $ :
$ \begin{align} -9x + \frac{21}{2} & = 0 \\ x & = \frac{7}{6} \end{align} $
*). Menentukan nilai maksimum saat $ x = \frac{7}{6} $ .
$ \begin{align} f_{maks} & = f \left( \frac{7}{6} \right) \\ & = -\frac{9}{2}.\left( \frac{7}{6} \right)^2 + \frac{21}{2}. \left( \frac{7}{6} \right) - 3 \\ & = \frac{25}{8} \end{align} $
Jadi, nilai maksimum dari $ 3xy + 6x -3 $ adalah $ \frac{25}{8} . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Karena bentuk $ f(x) = -\frac{9}{2}x^2 + \frac{21}{2}x - 3 $ adalah berupa fungsi kuadrat, maka nilai maksimumnya bisa menggunakan :
$ f_{maks} = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} $ .

Cara 2 Pembahasan Garis Singgung Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $. Jika grafik fungsi tersebut melalui titik $ (2,21) $ dan mempunyai garis singgung yang sejajar dengan sumbu $ x $ pada $ (-2,-11) $ , maka nilai $ a + b + c $ adalah ......
A). $ 4 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 8 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun fungsi kuadrat diketahui titik puncak $ (x_p , y_p) $ :
$ y = a(x- x_p)^2 + y_p $
*). Garis singgung fungsi kuadrat di titik $ (a.b) $ sejajar dengan sumbu X, artinya titik $ (a,b) $ adalah titik puncak kurva parabola tersebut.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Garis singgung di titik $ (-2,-11) $ sejajar sumbu X (mendatar), artinya titik puncaknya adalah $ ( x_p,y_p) = (-2,-11) $
*). Menyusun fungsi kuadratnya :
$\begin{align} y & = a(x - x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x - (-2))^2 - 11 \\ y & = a(x + 2)^2 -11 \end{align} $
*). Substitusi titik yang dilalui yaitu $ (2,21) $ :
$\begin{align} y & = a(x + 2)^2 - 11 \\ 21 & = a(2 + 2)^2 - 11 \\ 32 & = 16a \\ a & = 2 \end{align} $
Sehingga FK menjadi :
$ y = a(x + 2)^2 - 11 \rightarrow y = 2(x + 2)^2 - 11 $
$ y = 2x^2 + 8x - 3 $
yang sama dengan $ f(x) = ax^2 + bx + c $
Artinya $ a = 2 , b = 8, $ dan $ c = -3 $
*). Menentukan nilai $ a + b + c $ :
$\begin{align} a + b + c & = 2 + 8 + (-3) = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b + c = 7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Garis Singgung Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Garis yang sejajar sumbu X memiliki gradien 0 ($ m = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $ melalui titik $ (2,21) $ dan $ (-2,-11) $. Substitusi kedua titik ke fungsinya :
$ (2,21) \rightarrow 21 = a.2^2 + b.2 + c \rightarrow 4a + 2b + c = 21 \, $ ....(i)
$ (-2,-11) \rightarrow -11 = a.(-2)^2 + b.(-2) + c \rightarrow 4a - 2b + c = -11 \, $ ....(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$ \begin{array}{cc} 4a + 2b + c = 21 & \\ 4a - 2b + c = -11 & - \\ \hline 4b = 32 & \\ b = 8 & \end{array} $
sehingga fungsinya menjadi :
$ f(x) = ax^2 + 8x + c \rightarrow f^\prime (x) = 2ax + 8 $
*). Garis singgung kurva di titik $ (x_1,y_1) = (-2,-11) $ sejajar dengan sumbu X, artinya $ m = 0 $.
$ \begin{align} m & = f^\prime (x_1) \\ 0 & = f^\prime (-2) \\ 0 & = 2a.(-2) + 8 \\ 4a & = 8 \\ a & = 2 \end{align} $
Pers(i) : $ 4a + 2b + c = 21 \rightarrow 4.2 + 2.8 + c = 21 \rightarrow c = -3 $
Sehingga fungsinya : $ f(x) = 2x^2 + 8x - 3 $
Nilai $ a + b + c = 2 + 8 + (-3) = 7 $
Jadi, nilai $ a + b + c = 7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Suatu kapal dapat mengangkut penumpang sebanyak 240 orang. Penumpang kelas utama boleh membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi sebanyak 20 kg. Kapal tersebut hanya dapat mengangkut bagasi seberat 7200 kg. Harga sebuah tiket kelas utama adalah Rp.100.000,00 dan kelas ekonomi Rp.75.000,00. Pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pengusaha kapal dari hasil penjualan tiket adalah ....... (dalam rupiah)
A). 18 juta B). 19,5 juta C). 21 juta
D). 21,5 juta E). 24 juta

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menentukan nilai optimum program linear :
(1). Menentukan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP)
(2). Menentukan titik pojok pada DHP
(3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya
(4). Tinggal kita pilih nilai minimum atau maksimumnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalan :
$ x = \, $ banyak penumpang kelas utama,
$ y = \, $ banyak penumpang kelas ekonomi,
*).Menentukan model matematikanya :
-). Fungsi kendala/batasan :
(I). $ x + y \leq 240 \rightarrow (0,240) $ dan $ (240,0) $
(II). $ 60x + 20y \leq 7200 $ disederhanakan menjadi
(II). $ 3x + y \leq 360 \rightarrow (0,360) $ dan $ (120,0) $
(III). $ x \geq 0 $ dan $ y \geq 0 $
-). Fungsi tujuannya :
$ z = 100.000x + 75.000y $
Sesuai dengan tanda ketaksamaan keempat garis tersebut, maka DHP nya :

*).Menentukan titik pojok pada DHPnya :
-). Titik A(120, 0) dan C(0, 240) :
-). Titik B , eliminasi pers(I) dan (II) :
$ \begin{array}{cc} 3x + y = 360 & \\ x + y = 240 & - \\ \hline 2x = 120 & \\ x = 60 & \end{array} $
Pers(i): $ x + y = 240 \rightarrow 60 + y = 240 \rightarrow y = 180 $
sehingga titik B(60, 180)
*).Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuan : $ z = 100.000x + 75.000y $ :
$\begin{align} A(120,0) \rightarrow z & = 100.000 \times 120 + 75.000 \times 0 = 12.000.000 \\ B(60,180) \rightarrow z & = 100.000 \times 60 + 75.000 \times 180 = 19.500.000 \\ C(0,240) \rightarrow z & = 100.000 \times 0 + 75.000 \times 240 = 18.000.000 \end{align} $
Sehingga nilai maksimumnya adalah Rp19.500.000,00
Jadi, pendapatan maksimumnya adalah 19,5 juta $. \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui $ a, b $ , dan $ c $ adalah bilangan real dimana $ \frac{a}{b} > 1 $ dan $ \frac{a}{c} < -1 $ . Pernyataan berikut yang BENAR adalah .....
A). $ a + b - c > 0 \, $
B). $ a > b \, $
C). $ (a-c)(b-c) > 0 \, $
D). $ a - b + c > 0 \, $
E). $ abc > 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat pertidaksamaan pecahan :
Misalkan terdapat bilangan real $ A $ dan $ B $ :
(i). Jika $ \frac{A}{B} > 0 $ , maka ($ A > 0 $ dan $ B > 0 $) atau ($A < 0 $ dan $ B < 0$).
(ii). Jika $ \frac{A}{B} < 0 $ , maka ($ A > 0 $ dan $ B < 0 $) atau ($A < 0 $ dan $ B > 0$).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Modifikasi yang diketahui :
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a}{b} > 1 \rightarrow \frac{a}{b} - 1 > 0 \rightarrow \frac{a-b}{b} > 0 $
-). Pertidaksamaan kedua :
$ \frac{a}{c} < -1 \rightarrow \frac{a}{c} + 1 < 0 \rightarrow \frac{a + c}{c} < 0 $
*). Kita analisa pertidaksamaannya dari bentuk yang pertama (boleh juga dari pertidaksamaan yang kedua), ada dua kemungkinan yaitu :

*). Kemungkinan pertama : untuk $ b < 0 $
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a-b}{b} > 0 \rightarrow a - b < 0 \rightarrow a < b $
artinya $ a $ dan $ b $ negatif dengan $ a < b $
-). Pertidaksamaan kedua dengan $ a < 0 $ yaitu $ \frac{a + c}{c} < 0 $
Jika $ c > 0 $ , maka $ a + c < 0 \rightarrow |a| > |c| $
Jika $ c < 0 $ , maka $ a + c > 0 $ (Salah karena $ a < 0 $ dan $ c < 0 $)
-). Dari kemungkinan pertama kita peroleh $ a < 0 $ , $ b < 0 $ , $ c > 0 $ , $ a < b $ , dan $ |a| > |c| $. Sehingga option yang memenuhi kemungkinan pertama ini hanya option (C). $ (a-c)(b-c) > 0 $ dan (E). $ abc > 0 $ .

*). Kemungkinan kedua : untuk $ b > 0 $
-). Pertidaksamaan pertama :
$ \frac{a-b}{b} > 0 \rightarrow a - b > 0 \rightarrow a > b $
artinya $ a $ dan $ b $ positif dengan $ a > b $
-). Pertidaksamaan kedua dengan $ a > 0 $ yaitu $ \frac{a + c}{c} < 0 $
Jika $ c > 0 $ , maka $ a + c < 0 $ (Salah karena $ a > 0 $ dan $ c > 0 $)
Jika $ c < 0 $ , maka $ a + c > 0 \rightarrow |a| > |c| $
-). Dari kemungkinan kedua kita peroleh $ a > 0 $ , $ b > 0 $ , $ c < 0 $ , $ a > b $ , dan $ |a| > |c| $. Sehingga option yang memenuhi kemungkinan kedua ini hanya option A, B, dan C.

*). Option yang memenuhi keduanya (semuanya) adalah option C yaitu $ (a-c)(b-c) > 0 $
Jadi, yang BENAR adalah (C). $ (a-c)(b-c) > 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Eksponen Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui $ x_0 $ dan $ y_0 $ adalah nilai-nilai yang memenuhi sistem persamaan : $ 2^{x+1} - 3^y = 7 $ dan $ -(2^{x-1}) - 3^{y+1} = -5 $ , maka $ x_0 + y_0 $ adalah ......
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, cukup kita gunakan metode eliminasi dan substitusi.
*). Persamaan eksponen :
$ a^m = a^n \rightarrow m = n $
*). Sifat eksponen :
$ a^{m+n} = a^m.a^n $ dan $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ A = 2^x $ dan $ B = 3^y $
*). Mengubah sistem persamaannya :
$\begin{align} 2^{x+1} - 3^y & = 7 \\ 2^1.2^x - 3^y & = 7 \\ 2A - B & = 7 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ -(2^{x-1}) - 3^{y+1} & = -5 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 2^{x-1} + 3^{y+1} & = 5 \\ \frac{2^x}{2^1} + 3^1.3^y & = 5 \\ \frac{A}{2 } + 3B & = 5 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$\begin{array}{c|c|cc} 2A - B = 7 & \times 1 & 2A - B = 7 & \\ \frac{A}{2 } + 3B = 5 & \times 4 & 2A + 12 B = 20 & - \\ \hline & & -13B = -13 & \\ & & B = 1 & \end{array} $
Pers(i): $ 2A - B = 7 \rightarrow 2A - 1 = 7 \rightarrow A = 4 $.
*). Menentuan nilai $ x $ dan $ y $ :
$\begin{align} A & = 2 \rightarrow 2^x = 4 \rightarrow x = x_0 = 2 \\ B & = 1 \rightarrow 3^y = 1 \rightarrow y = y_0 = 0 \end{align} $
Sehingga nilai $ x_0 + y_0 = 2 + 0 = 2 $.
Jadi, nilai $ x_0 + y_0 = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Jika fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ melalui titik $ (0,3) $ dan mencapai minimum di titik $ (-2,1) $ , maka $ a - b + c $ sama dengan .....
A). $ \frac{9}{2} \, $ B). $ \frac{5}{2} \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ \frac{2}{9} \, $ E). $ -\frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun fungsi kuadrat diketahui titik puncak $ (x_p , y_p) $ :
$ y = a(x- x_p)^2 + y_p $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik puncaknya : $ ( x_p,y_p) = (-2,1) $
*). Menyusun fungsi kuadratnya :
$\begin{align} y & = a(x - x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x - (-2))^2 + 1 \\ y & = a(x + 2)^2 + 1 \end{align} $
*). Substitusi titik yang dilalui yaitu $ (0,3) $ :
$\begin{align} y & = a(x + 2)^2 + 1 \\ 3 & = a(0 + 2)^2 + 1 \\ 2 & = 4a \\ a & = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align} $
Sehingga FK menjadi :
$ y = a(x + 2)^2 + 1 \rightarrow y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 + 1 $
$ y = \frac{1}{2}x^2 + 2x + 3 $
yang sama dengan $ f(x) = ax^2 + bx + c $
Artinya $ a = \frac{1}{2} , b = 2, $ dan $ c = 3 $
*). Menentukan nilai $ a - b + c $ :
$\begin{align} a - b + c & = \frac{1}{2} - 2 + 3 = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ a - b + c = \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Misalkan selisih akar-akar $ x^2 + 2x - a = 0 $ dan selisih akar-akar $ x^2-8x+(a-1)=0 $ bernilai sama, maka perkalian seluruh akar-akar kedua persamaan tersebut adalah .....
A). $ -56 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 56 \, $ E). $ 72 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat (PK) : $ ax^2 + bx + c = 0 $
memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
*). Operasi akar-akarnya :
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $ dan $ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memisalkan akar-akar dari masing-masing PK dan operasinya :
-). PK1 : $ x^2 + 2x - a = 0 $ akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $ .
$ x_1.x_2 = \frac{-a}{1} = -a $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{4 + 4a}}{1} = \sqrt{4 + 4a} $
-). PK2 : $ x^2 - 8x + (a-1) = 0 $ akar-akarnya $ x_3 $ dan $ x_4 $ .
$ x_3.x_4 = \frac{a-1}{1} = a-1 $
$ x_3 - x_4 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{64 - 4(a-1)}}{1} = \sqrt{68 - 4a} $
*). Selisih akar-akar kedua PK sama :
$\begin{align} x_1 - x_2 & = x_3 - x_4 \\ \sqrt{4 + 4a} & = \sqrt{68 - 4a} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 4 + 4a & = 68 - 4a \\ 8a & = 64 \\ a & = 8 \end{align} $
*). perkalian seluruh akar-akar kedua PK :
$\begin{align} (x_1.x_2) . (x_3.x_4) & = -a. (a-1) \\ x_1.x_2.x_3.x_4 & = -8 . (8-1) \\ & = -8.7 = -56 \end{align} $
Jadi, hasil perkalian seluruh akar-akar adalah $ -56 . \, \heartsuit $

Pembahasan eksponen Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ x + \frac{1}{x} = 5 $ , maka nilai dari $ x^3 + \frac{1}{x^3} = ..... $
A). $ 140 \, $ B). $ 125 \, $ C). $ 110 \, $ D). $ 75 \, $ E). $ 15 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Bentuk perpangkatan 3 :
$ (A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan dipangkatkan 3 :
$\begin{align} x + \frac{1}{x} & = 5 \\ \left( x + \frac{1}{x} \right)^3 & = 5^3 \\ x^3 + 3.x^2.\frac{1}{x} + 3.x.\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} & = 125 \\ x^3 + 3x + 3.\frac{1}{x } + \frac{1}{x^3} & = 125 \\ x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \left( x + \frac{1}{x } \right) & = 125 \\ x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 . 5 & = 125 \\ x^3 + \frac{1}{x^3} + 15 & = 125 \\ x^3 + \frac{1}{x^3} & = 125 - 15 \\ x^3 + \frac{1}{x^3} & = 110 \end{align} $
Jadi, nilai $ x^3 + \frac{1}{x^3} = 110 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

$ \frac{({}^4 \log 3)({}^4 \log 6)}{({}^4 \log 9)({}^8 \log 2) + ({}^4 \log 9)({}^8 \log 3)} $ sama dengan .....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{3}{4} \, $ C). $ \frac{4}{3} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat logaritma :
(i). $ \frac{1}{{}^a \log b} = {}^b \log a $
(ii). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log bc $
(iii). $ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
(iv). $ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \frac{({}^4 \log 3)({}^4 \log 6)}{({}^4 \log 9)({}^8 \log 2) + ({}^4 \log 9)({}^8 \log 3)} \\ & = \frac{({}^4 \log 3)({}^4 \log 6)}{({}^4 \log 9)({}^8 \log 2 + {}^8 \log 3)} \\ & = \frac{({}^4 \log 3)({}^4 \log 6)}{({}^4 \log 9)({}^8 \log 2.3)} \\ & = \frac{({}^4 \log 3)({}^4 \log 6)}{({}^4 \log 9)({}^8 \log 6)} \\ & = ({}^4 \log 3)({}^4 \log 6) ({}^9 \log 4)({}^6 \log 8) \\ & = ({}^9 \log 4 . {}^4 \log 3)({}^4 \log 6. {}^6 \log 8) \\ & = ({}^9 \log 3)({}^4 \log 8) \\ & = ({}^{3^2} \log 3)({}^{2^2} \log 2^3) \\ & = \frac{1}{2}. ({}^3 \log 3).\frac{3}{2} . ({}^2 \log 2) \\ & = \frac{1}{2}. 1.\frac{3}{2} . 1 = \frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{3}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Misalkan diberikan $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5 $ adalah lima suku pertama deret geometri. Jika $ \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5 \log 3 $ , maka $ u_3 $ sama dengan ......
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{1}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
*). Sifat logaritma :
$ \log a + \log b = \log ab $ dan $ n \log b = \log b^n $
*). Persamaan logaritma :
$ log a = \log b \rightarrow a = b $
*). Sifat eksponen :
$ a^n = b^n \rightarrow a = b $ dengan $ n $ ganjil.
$ a^m.a^n = a^{m+n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 & = 5 \log 3 \\ \log (u_1 u_2 u_3 u_4 u_5 ) & = \log 3^5 \\ u_1 u_2 u_3 u_4 u_5 & = 3^5 \\ a.ar.ar^2.ar^3.ar^4 & = 3^5 \\ a^5.r^{1+2+3+4} & = 3^5 \\ a^5.r^{10} & = 3^5 \\ (ar^2)^5 & = 3^5 \\ ar^2 & = 3 \\ u_3 & = 3 \end{align} $
Jadi, jadi nilai $ u_3 = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Data berikut adalah hasil ujian suatu kelas di SMU yang nilai rata-ratanya adalah $ \overline{x}$.
$ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline \text{Nilai} & 3& 4 &5 &6& 7& 8 \\ \hline \text{Frekuensi} & 2 &4 &8& 13& 16& 7 \\ \hline \end{array} $
Siswa dinyatakan lulus jika nilainya lebih besar atau sama dengan $ \overline{x} - 1$. Banyaknya siswa yang lulus dari ujian ini adalah ....
A). $ 50 \, $ B). $ 48 \, $ C). $ 44 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 23 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus rata-rata $ \overline{x} $ :
$\overline{x} = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{total frekuensi}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan rata-rata dari tabel :
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{2.3 + 4.4 + 8.5 + 13.6 + 16.7 + 7.8}{2 + 4 + 8 + 13 + 16 + 7} \\ & = \frac{6 + 16 + 40 + 78 + 112 + 56}{50} \\ & = \frac{308}{50} = 6,16 \end{align} $
*). Batas syarat lulus :
Lulus $ \geq \overline{x} - 1 = 6,16 - 1 = 5,16 $
*). Banyak siswa yang lulus :
$ = 13 + 16 + 7 = 36 $ .
Jadi, banyak yang lulus ada 36 siswa $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 951

Soal yang Akan Dibahas

Empat tahun yang lalu, jumlah umur kakak dan adiknya dalam sebuah keluarga adalah empat kali selisihnya. Sekarang umur kakak adalah $ \frac{9}{7} $ umur adiknya. Maka 10 tahun yang akan datang umur kakak dan adiknya adalah ....
A). 17 dan 19 B). 20 dan 18
C). 18 dan 20 D). 19 dan 17
E). 21 dan 19

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, cukup kita gunakan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Misalkan :
K = umur kakak yang sekarang
A = umur adik yang sekaran.
*). Menyusun persamaan :
-). Empat tahun yang lalu :
umur kakak = K - 4 dan umur adik = A - 4 .
kakak + adik = 4(kakak - adik)
$\begin{align} K - 4 + A - 4 & = 4[(K-4) - (A-4)] \\ -3K + 5A & = 8 \, \, \, \, \, \, ....(i) \end{align} $
-). Sekarang umur kakak = $ \frac{9}{7} $ adik :
$ K = \frac{9}{7}A \, $ .....(ii)
*). Substitusi (ii) ke (i) :
$ \begin{align} -3K + 5A & = 8 \\ -3. \frac{9}{7}A + 5A & = 8 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 7)} \\ -27A + 35A & = 56 \\ 8A & = 56 \\ A & = 7 \end{align} $
Pers(ii): $ K = \frac{9}{7}A = \frac{9}{7} \times 7 = 9 $
*). 10 tahun yang akan datang :
umur kakak = $ K + 10 = 9 + 10 = 19 $
umur adik = $ A + 10 = 7 + 10 = 17 $
Jadi, umurnya 19 dan 17 $ . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2009 Matematika Dasar Kode 951

Nomor 1

Nomor 2

Nomor 3

Misalkan diberikan $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5 $ adalah lima suku pertama deret geometri. Jika $ \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + \log u_4 + \log u_5 = 5\log 3 $ , maka $ u_3 $ sama dengan ......
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{1}{3} \, $

Nomor 4

Nomor 5

Jika $ x + \frac{1}{x} = 5 $ , maka nilai dari $ x^3 + \frac{1}{x^3} = ..... $
A). $ 140 \, $ B). $ 125 \, $ C). $ 110 \, $ D). $ 75 \, $ E). $ 15 \, $

Nomor 6

Nomor 7

Nomor 8

Nomor 9

Nomor 10

Nomor 11

Dari huruf S, I, M, A, dan K dapat dibuat 120 "kata". Jika "kata" ini disusun secara alfabetikal, maka kata "SIMAK" akan berada pada urutan ke- .....
A). $ 105 \, $ B). $ 106 \, $ C). $ 107 \, $ D). $ 115 \, $ E). $ 116 $

Nomor 12

Diketahui sistem persamaan :
$ \begin{align} y + \frac{2}{x+z} & = 4 \\ 5y + \frac{18}{2x+y+z} & = 18 \\ \frac{8}{x+z}-\frac{6}{2x+y+z} & = 3 \end{align} $
Nilai dari $ y + \sqrt{x^2-2xz+z^2} \, $ adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

Nomor 13

Nomor 14

Nomor 15

Nomor 16

Pada suatu hari dilakukan pengamatan terhadap virus-virus tertentu yang berkembang dengan membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat 2 virus. Pembelahan terjadi setiap 24 jam. Jika setiap 3 hari, seperempat dari virus dibunuh, maka banyaknya virus setelah satu minggu pertama adalah .....
A). $ 24 \, $ B). $ 36 \, $ C). $ 48 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 72 $

Nomor 17

Nomor 18

Nomor 19

$ \displaystyle \lim_{x \to 8 } \, \frac{\sqrt{2 + \sqrt[3]{x}} - 2}{x-8} = ..... $
A). $ \frac{1}{64} \, $ B). $ \frac{1}{48} \, $ C). $ \frac{1}{24} \, $ D). $ \frac{1}{16} \, $ E). $ \infty $

Nomor 20

Jika kurva $ y = (x^2-a)(2x+b)^3 $ turun pada interval $ -1 < x < \frac{2}{5} $ , maka nilai $ ab = ..... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

Pages - Menu