Tampilkan postingan dengan label simak ui matdas 2009 kode 961. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label simak ui matdas 2009 kode 961. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Aplikasi Turunan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 20.
Diberikan grafik fungsi $ f(x) = x + \frac{4}{x^2} $ , $ x \neq 0 $ , maka ...
(1). fungsi naik pada himpunan $ \{ x \in R | x < 0 \text{ atau } x > 2 \} $
(2). fungsi turun pada himpunan $ \{ x \in R | 0 < x < 2 \} $
(3). terjadi minimum lokal di titik (2,3)
(4). terjadi maksimum lokal di titik (0,0).

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat Fungsi Turun : $ f^\prime (x) < 0 $ .
*). Syarat Fungsi Naik : $ f^\prime (x) > 0 $ .
*). Syarat nilai maksimum/minimum :
$ f^\prime (x) = 0 \rightarrow x_1. x_2, .... $
*). Cek di turunan kedua :
$ f^{\prime \prime } (x_1) > 0 \rightarrow \, $ jenis minimum
$ f^{\prime \prime } (x_1) = 0 \rightarrow \, $ jenis titik belok
$ f^{\prime \prime } (x_1) < 0 \rightarrow \, $ jenis maksimum.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan pertama :
$ \begin{align} y & = x + \frac{4}{x^2} = x + 4x^{-2} \\ y^\prime & = 1 + (-2).4x^{-3} = 1 - \frac{8}{x^3} \\ y^\prime & = \frac{x^3 - 8}{x^3} \end{align} $
*). Menentukan interval naik/turun :
$ \begin{align} y^\prime & > 0 \\ \frac{x^3 - 8}{x^3} & > 0 \\ x^3 - 8 = 0 \vee x^3 & = 0 \\ x = 2 \vee x & = 0 \end{align} $
Garis bilangan :

-). Kita peroleh :
Interval naik : $ x < 0 \vee x > 2 $ (pernyataan 1 BENAR)
Interval turun : $ 0 < x < 2 $ (pernyataan 2 BENAR)
*). Menentukan Titik maksimum/minimum :
$ \begin{align} y^\prime & = 0 \\ \frac{x^3 - 8}{x^3} & = 0 \\ x^3 - 8 & = 0 \\ x & = 2 \\ f(2) & = 2 + \frac{4}{2^2} = 3 \end{align} $
-). Cek jenisnya di turunan ke dua :
$ \begin{align} y^\prime & = 1 + (-2).4x^{-3} \\ y^{\prime \prime } (x) & = (-3). (-2).4x^{-4} = \frac{24}{x^4} \\ f^{\prime \prime}(2) & = \frac{24}{2^4} = \frac{3}{2} > 0 \end{align} $
-). Karena $ f^{\prime \prime } (2) > 0 $ , maka titik (2,3) adalah minimum lokal (pernyataan 3 BENAR).
*). Dari bentuk $ f(x) = x + \frac{4}{x^2} $ , artinya $ x \neq 0 $ , sehingga titik (0,0) bukan merupakan titik maksimum lokal karena nilai $ x $ tidak boleh 0 (pernyataan 4 SALAH).
Pernyataan yang benar adalah (1), (2), dan (3).
Jadi, jawabannya A $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Logaritma Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Nilai dari
$ \log (\tan 2^\circ) + \log (\tan 3^\circ) + ... + \log (\tan 88^\circ) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 45 \, $ D). $ 89 \, $ E). $ 90 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ \log a + \log b = \log ab \, $ dan $ \log 1 = 0 $.
*). Sudut komplemen pada trigonometri :
$ \tan x = \cot (90^\circ - x ) = \frac{1}{\tan (90^\circ - x ) } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \log (\tan 2^\circ) + \log (\tan 3^\circ) + ... + \log (\tan 88^\circ) \\ & = \log (\tan 2^\circ. \tan 3^\circ ... \tan 45^\circ ... \tan 87^\circ \tan 88^\circ) \\ & = \log \left( \frac{1}{\tan (90^\circ -2^\circ)}. \frac{1}{\tan (90^\circ -3^\circ)} ... \tan 45^\circ ... \tan 87^\circ .\tan 88^\circ \right) \\ & = \log \left( \frac{1}{\tan 88^\circ }. \frac{1}{\tan 87^\circ } ... \tan 45^\circ ... \tan 87^\circ . \tan 88^\circ \right) \\ & = \log \left( \frac{1}{\tan 88^\circ }.\tan 88^\circ . \frac{1}{\tan 87^\circ } . \tan 87^\circ ... \tan 45^\circ \right) \\ & = \log \left( \underbrace{1.1.1...1.1}_{45 \text{kali}} . \tan 45^\circ \right) \\ & = \log \left( \underbrace{1.1.1...1.1}_{45 \text{kali}} . 1 \right) \\ & = \log 1 = 0 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Laju Perubahan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan luas sebuah segitiga sama sisi adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling segitiga adalah $ x $, maka laju perubahan luas terhadap kelilingnya sama dengan .....
A). $ \frac{\sqrt{2}}{36} x \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{36} x \, $ C). $ \frac{\sqrt{3}}{36} x^2 \, $ D). $ \frac{2\sqrt{3}}{36} x \, $ E). $ \frac{\sqrt{3}}{4} x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Laju perubahan luas adalah turunan dari rumus luasnya
*). Luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi $ a $ :
Luas segitiga $ = \frac{1}{2}a.a.\sin 60^\circ = \frac{1}{4}a^2\sqrt{3} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan sisi segitiganya $ a $
-). Keliling segitiga $ = 3a $ .
$ 3a = x \rightarrow a = \frac{x}{3} $
-). Luas segitiganya (L) : $ L = \frac{1}{4}a^2\sqrt{3} $
$\begin{align} L & = \frac{1}{4}a^2\sqrt{3} \\ & = \frac{1}{4} \left( \frac{x}{3} \right)^2\sqrt{3} \\ & = \frac{1}{4} \left( \frac{x^2}{9} \right) \sqrt{3} \\ & = \frac{x^2}{36} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 \end{align} $
*). Menentukan laju perubahan luas dengan turunan pertama luasnya :
$\begin{align} L & = \frac{\sqrt{3}}{36}x^2 \\ L^\prime & = 2. \frac{\sqrt{3}}{36}x \\ & = \frac{2\sqrt{3}}{36}x \\ \end{align} $
Jadi, laju perubahan luasnya adalah $ \frac{2\sqrt{3}}{36}x . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Grafik Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan grafik di atas adalah .....
A). $ y = -2 \cos 2x \, $ B). $ y = 2 \cos \frac{3}{2}x \, $
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \, $ D). $ y = 2 \sin \frac{3}{2}x \, $
E). $ y = -2 \sin \frac{3}{2}x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui suatu grafik, maka cara termudah untuk menentukan fungsinya adalah dengan substitusi titik yang dilalui oleh grafik ke opsionnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Grafik melalui titik $ (0,-2) $ artinya $ x = 0 $ dan $ y = -2 $ , substitusi ke fungsi pada optionnya :
A). $ y = -2 \cos 2x \rightarrow y = -2 \cos 2.0 = -2 \, $ (BENAR)
B). $ y = 2 \cos \frac{3}{2}x \rightarrow y = 2 \cos\frac{3}{2}. 0 = 2 \, $ (SALAH)
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \rightarrow y = -2 \cos \frac{3}{2} . 0 = -2 \, $ (BENAR)
D). $ y = 2 \sin \frac{3}{2}x \rightarrow y = 2 \sin \frac{3}{2}. 0 = 0 \, $ (SALAH)
E). $ y = -2 \sin \frac{3}{2}x \rightarrow y = -2 \sin \frac{3}{2} . 0 = 0 \, $ (SALAH)
Yang tersisa opsion A dan C.
*). Grafik melalui titik $ (\pi , 0) $ artinya $ x = \pi $ dan $ y = 0 $ , substitusi ke fungsi pada option A dan C :
A). $ y = -2 \cos 2x \rightarrow y = -2 \cos 2. \pi = -2 \, $ (SALAH)
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \rightarrow y = -2 \cos \frac{3}{2} . \pi = 0 \, $ (BENAR)
Yang tersisa opsion C, artinya fungsi $ y = -2\cos \frac{3}{2} x $ yang memenuhi.
Jadi, fungsinya adalah $ y = -2\cos \frac{3}{2} x . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Grafik Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan grafik di atas adalah .....
A). $ y = -2 \cos 2x \, $ B). $ y = 2 \cos \frac{3}{2}x \, $
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \, $ D). $ y = 2 \sin \frac{3}{2}x \, $
E). $ y = -2 \sin \frac{3}{2}x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Grafik fungsi trigonometri kosinus : $ y = a\cos kx $
-). Periode $ = \frac{2\pi}{k} $
-). 1 periode terdiri dari satu bukit dan 1 lembah.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan fungsinya : $ y = a\cos kx $
*). Grafik melalui titik $ (0,-2) $ , substitusi ke fungsinya :
$\begin{align} y & = a\cos kx \\ -2 & = a\cos k.0 \\ -2 & = a\cos 0 \\ -2 & = a. 1 \\ -2 & = a \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ y = -2\cos kx $
*). Grafik pada memotong sumbu X di $ \pi $ dimana dari $ 0 $ sampai $ \pi $ terbentuk $ \frac{3}{4} $ periode, sehingga $ \frac{3}{4} \text{periode } = \pi \rightarrow \text{periode } = \frac{4\pi}{3} $ .
*). Menentukan nilai $ k $ dengan periode $ \frac{4\pi}{3} $ .
$\begin{align} \text{periode } & = \frac{2\pi}{k} \\ \frac{4\pi}{3} & = \frac{2\pi}{k} \\ k & = \frac{3}{2} \end{align} $
Sehingga fungsinya : $ y = -2\cos \frac{3}{2} x $
Jadi, fungsinya adalah $ y = -2\cos \frac{3}{2} x . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Pertidaksamaan $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 < -6 -7x $ mempunyai penyelesaian .....
A). $ x \leq 0 \, $ atau $ x > 5 $
B). $ x \leq 0 \, $ atau $ x > 4 $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x \geq 5 $
D). $ -2 < x \leq 2 \, $ atau $ 4 < x \leq 5 $
E). $ 0 \leq x < 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Bentuk $ A \leq B < C $ kita selesaikan menjadi :
$ A \leq B \rightarrow $ HP1 dan $ B < C \rightarrow $ HP2,
solusi total : HP = HP1 $ \cap $ HP2 (irisan).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Soalnya : $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 < -6 -7x $
*). Penyelesaian pertama : $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 $
$\begin{align} 2+5x-3x^2 & \leq 2-5x-x^2 \\ -2x^2 + 10x & \leq 0 \\ x(-2x + 10) & \leq 0 \\ x = 0 \vee x & = 5 \end{align} $
garis bilangan pertama :
 
Hp1 $ \, = \{ x \leq 0 \vee x \geq 5 \} $
*). Penyelesaian kedua : $ 2-5x-x^2 < -6 -7x $
$\begin{align} 2-5x-x^2 & < -6 -7x \\ -x^2 + 2x + 8 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ x^2 - 2x - 8 & > 0 \\ (x +2)(x - 4) & > 0 \\ x = -2 \vee x & = 4 \end{align} $
garis bilangan kedua :
 
Hp2 $ \, = \{ x < -2 \vee x > 4 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ x \leq 0 \vee x \geq 5 \} \cap \{ x < -2 \vee x > 4 \} \\ & = \{ x < -2 \vee x \geq 5 \} \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ \{ x < -2 \vee x \geq 5 \} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat
$ \begin{align} 2y - x^2 & = 6 \\ \, \, \, \, \, \, 2x^2 + 3y^2 & = 20 \end{align} $
adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, cukup dengan substitusi atau eliminasi.
*). Bentuk $ A^2 $ (kuadrat dari bilangan) selalu positif.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Modifikasi persamaan (i) :
$ 2y - x^2 = 6 \rightarrow x^2 = 2y - 6 $.
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} 2x^2 + 3y^2 & = 20 \\ 2(2y - 6) + 3y^2 & = 20 \\ 3y^2 + 4y - 32 & = 0 \\ (3y - 8)(y + 4) & = 0 \\ y = \frac{8}{3} \vee y & = -4 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ y $ ke pers(i) :
(nilai $ x^2 $ selalu positif)
$\begin{align} y = \frac{8}{3} \rightarrow x^2 & = 2y - 6 \\ x^2 & = 2 \times \frac{8}{3} - 6 = - \frac{2}{3} \, \, \, \, \text{(TM)} \\ y = -4 \rightarrow x^2 & = 2y - 6 \\ x^2 & = 2 \times (-4) - 6 = -14 \, \, \, \, \text{(TM)} \end{align} $
Keterangan : TM = Tidak Memenuhi.
Sehingga tidak ada nilai $ x $ dan $ y $ bilangan real yang memenuhi, artinya ada 0 banyak penyelesaian.
Jadi, banyak penyelesaiannya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Persamaan Polinom Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a^3 - a - 1 = 0 $ , maka $ a^4 + a^3 - a^2 - 2a + 9 = ..... $
A). $ 4 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 28 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika kesulitan dalam mencari akar-akar suatu persamaannya, maka kita bisa memodifikasi persamaan yang diketahui sehingga sesuai dengan bentuk yang ditanyakan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ a^3 - a - 1 = 0 \, $ .....(i)
sulit difaktorkan dan sulit menentukan akar-akarnya, sehingga kita modifikasi.
*). kalikan $ a $ pada pers(i) agar kita peroleh $ a^4 $ sesuai yang ditanyakan :
$\begin{align} a^3 - a - 1 & = 0 \\ (a^3 - a - 1) . a & = 0. a \\ a^4 - a^2 - a & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{.....(ii)} \end{align} $
*). Jumlahkan pers(i) dan pers(ii) dan tambahkan 10:
$\begin{align} (a^4 - a^2 - a) + (a^3 - a - 1) & = 0 + 0 \\ a^4 + a^3 - a^2 - 2a - 1 & = 0 \\ a^4 + a^3 - a^2 - 2a - 1 + 10 & = 0 + 10 \\ a^4 + a^3 - a^2 - 2a + 9 & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^4 + a^3 - a^2 - 2a + 9 = 10 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Barisan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ k $ , $ l $ , dan $ m $ membentuk barisan geometri, maka $ \log k $ , $ \log l $ , $ \log m $ adalah .....
A). barisan geometri dengan rasio $ \log l - \log k $
B). barisan aritmatika dengan beda $ \log l - \log k $
C). barisan geometri dengan rasio $ \frac{l}{k} $
D). barisan aritmatika dengan beda $ \frac{l}{k} $
E). bukan barisan aritmatika maupun geometri

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3 $
*). Ciri-ciri barisan aritmetika :
Memiliki selisih yang sama yaitu : $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 $
beda ($b$) = $ u_2 - u_1 $ .
*). Ciri-ciri barisan geometri :
memiliki perbandingan sama yaitu : $ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} $
rasio ($r$) = $ \frac{u_2}{u_1} $
*). Sisfat logaritma : $ \log a - \log b = \log \frac{a}{b} $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). barisan $ k , l, m $ adalah barisan geometri :
sehingga : $ \frac{l}{k} = \frac{m}{l} \, $ ....(i)
*). Cek barisan : $ \log k , \log l , \log m $ :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = \log l - \log k = \log \frac{l}{k} \\ u_3 - u_ 2 & = \log m - \log l = \log \frac{m}{l} \end{align} $
dari pers(i) di atas, maka $ log \frac{l}{k} = \log \frac{m}{l} $
sehingga $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 $ yang merupakan ciri-ciri barisan aritmatika.
beda : $ b = u_2 - u_1 = \log l - \log k $
Jadi, termasuk barisan aritmatika dengan beda $ \log l - \log k . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Peluang Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Kotak A berisi 8 bola merah dan 2 bola putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Jika dari masing-masing kotak, diambil sebuah bola secara acak, maka peluang bahwa kedua bola berwarna sama adalah .....
A). $ \frac{3}{80} \, $ B). $ \frac{6}{80} \, $ C). $ \frac{1}{5} \, $ D). $ \frac{40}{80} \, $ E). $ \frac{46}{80} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin.

$\clubsuit $ Pembahasan
*).DIketahui pada soal :
Kotak A berisi 8M dan 2P, kotak B berisi 5M dan 3P, akan diambil pada masing-masing kotak satu bola dengan warnanya sama.
*). Ada dua kemungkinan, yaitu :
-). Pertama : masing-masing bola berwarna Merah :
kotak A : $ P(M_a) = \frac{8}{10} $
kotak B: $ P(M_b) = \frac{5}{8} $
$ P(M_a \cap M_b) = \frac{8}{10} \times \frac{5}{8} = \frac{40}{80} $
-). Kedua : masing-masing bola berwarna Putih :
kotak A : $ P(P_a) = \frac{2}{10} $
kotak B: $ P(P_b) = \frac{3}{8} $
$ P(P_a \cap P_b) = \frac{2}{10} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{80} $
*). Peluang keseluruhan (total) :
-). Peluang totalnya adalah bisa kejadian MM atau kejadian PP.
Peluang total $ = P(M_a \cap M_b) + P(P_a \cap P_b) = \frac{40}{80} + \frac{6}{80} =\frac{46}{80} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{46}{80} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \cos (3x + 15^\circ ) = \sin ( x + 25^\circ ) $ untuk $ 0 < x < 90^\circ $ adalah .....
A). $ 12,5^\circ \, $ B). $ 15^\circ \, $ C). $ 17,5^\circ \, $ D). $ 22,5^\circ \, $ E). $ 25^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sudut komplemen : $ \sin A = \cos ( 90^\circ - A ) $
*). Persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki solusi :
(i). $ f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
(ii). $ f(x) = - \theta + k \times 360^\circ $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Mengubah persamaannya :
$\begin{align} \cos (3x + 15^\circ ) & = \sin ( x + 25^\circ ) \\ \cos (3x + 15^\circ ) & = \cos [ 90^\circ - (x + 25^\circ ) ] \\ \cos \underbrace{(3x + 15^\circ )}_{f(x)} & = \cos \underbrace{( 65^\circ - x )}_{\theta} \end{align} $
sehingga kita peroleh :
$ f(x) = 3x + 15^\circ \, $ dan $ \theta = 65^\circ - x $
*). Menyelesaikan $ \cos (3x + 15^\circ ) = \cos ( 65^\circ - x ) $ untuk $ 0 < x < 90^\circ $ :
-). Pertama : $ f(x) = \theta + k \times 360^\circ $
$\begin{align} 3x + 15^\circ & = 65^\circ - x + k \times 360^\circ \\ 4x & = 50^\circ + k \times 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ x & = 12,5^\circ + k \times 90^\circ \end{align} $
$ x = 12,5^\circ \, $ saat $ k = 1 $.
-). Kedua : $ f(x) = -\theta + k \times 360^\circ $
$\begin{align} 3x + 15^\circ & = -(65^\circ - x) + k \times 360^\circ \\ 2x & = -80^\circ + k \times 360^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x & = -40^\circ + k \times 180^\circ \end{align} $
tidak ada $ x $ yang memenuhi untuk $ 0 < x < 90^\circ $.
Jadi, nilai $ x = 12,5^\circ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Deret Takhingga Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah $ a $ dan jumlahnya 10, maka .....
A). $ 0 < a < 10 \, $ B). $ 0 < a < 18 \, $
C). $ 0 < a < 20 \, $ D). $ 0 \leq a \leq 20 \, $
E). $ a < 0 \, $ atau $ a > 20 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah deret geometri takhingga :
$ \, \, \, \, \, S_\infty = \frac{a}{1 - r} $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.
*). Syarat deretnya konvergen : $ -1 < r < 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*).Pada soal diketahui : $ u_1 = a $ dan $ s_\infty = 10 $.
$ s_\infty = \frac{a}{1-r} \rightarrow 10 = \frac{a}{1-r} \rightarrow 1- r = \frac{a}{10} $
*).Menentukan interval nilai $ a $ :
$\begin{align} -1 < & r < 1 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1, ketaksamaan dibalik)} \\ 1 > & -r > -1 \, \, \, \, \, \, \text{(tambahkan 1)} \\ 1 + 1 > & 1-r > -1 + 1 \, \, \, \, \, \, \text{(ganti 1 - r)} \\ 2 > & \frac{a}{10} > 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 10)} \\ 20 > & a > 0 \end{align} $
Sehingga kita peroleh $ 20 > a > 0 $ atau $ 0 < a < 20 $.
Jadi, kita peroleh $ 0 < a < 20. \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Program Linear Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Suatu rombongan wisatawan yang terdiri dari 240 orang akan menyewa kamar hotel. Kamar yang tersedia adalah kamar untuk 2 orang (tipe I) dan 3 orang (tipe 2). Rombongan itu akan menyewa kamar sekurang-kurangnya 100 kamar. Tarif kamar untuk 2 orang adalah Rp60.000 dan untuk 3 orang Rp80.000. Banyaknya jenis kamar tipe 1 dan tipe 2 yang harus disewa agar rombongan tersebut mengeluarkan uang seminimal mungkin adalah .....
A). 20 dan 80 kamar
B). 30 dan 70 kamar
C). 40 dan 60 kamar
D). 60 dan 40 kamar
E). 70 dan 30 kamar

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menentukan nilai optimum program linear :
(1). Menentukan daerah himpunan penyelesaiannya (DHP)
(2). Menentukan titik pojok pada DHP
(3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya
(4). Tinggal kita pilih nilai minimum atau maksimumnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Permisalan :
$ x = \, $ banyak kamar tipe 1,
$ y = \, $ banyak kamar tipe 2,
*).Menentukan model matematikanya :
-). Fungsi kendala/batasan :
(I). $ x + y \geq 100 \rightarrow (0,100) $ dan $ (100,0) $
(II). $ 2x + 3y \geq 240 \rightarrow (0,80) $ dan $ (120,0) $
(III). $ x \geq 0 $ dan $ y \geq 0 $
-). Fungsi tujuannya :
$ z = 60.000x + 80.000y $
Sesuai dengan tanda ketaksamaan ketiga garis tersebut, maka DHP nya :
 
*).Menentukan titik pojok pada DHPnya :
-). Titik A(120, 0) dan C(0, 100) :
-). Titik B , eliminasi pers(I) dan (II) :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + y = 100 & \times 3 & 3x + 3y = 300 & \\ 2x + 3y = 240 & \times 1 & 2x + 3y = 240 & - \\ \hline & & x = 60 & \end{array} $
Pers(i): $ x + y = 100 \rightarrow 60 + y = 100 \rightarrow y = 40 $
sehingga titik B(60, 40)
*).Substitusi semua titik pojoknya ke fungsi tujuan : $ z = 60.000x + 80.000y $ :
$\begin{align} A(120,0) \rightarrow z & = 60.000 \times 120 + 80.000 \times 0 = 7.200.000 \\ B(60,40) \rightarrow z & = 60.000 \times 60 + 80.000 \times 40 = 6.800.000 \\ C(0,100) \rightarrow z & = 60.000 \times 0 + 80.000 \times 100 = 8.000.000 \end{align} $
Sehingga nilai minimumnya adalah Rp6.800.000,00 saat $ x = 60 $ dan $ y = 40 $.
Jadi, uang minimal saat banyak kamar (1 dan 2) 60 dan 40 $. \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Akar persamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah penyelesaian dari persamaan $ \sqrt{2x-1} = 1 + \sqrt{x-1} $ , maka $ x_1 + x_2 $ sama dengan ......
A). $ -6 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $.
Operasi penjumlahan : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kuadratkan persamaan :
$\begin{align} \sqrt{2x-1} & = 1 + \sqrt{x-1} \\ (\sqrt{2x-1})^2 & = (1 + \sqrt{x-1} )^2 \\ 2x-1 & = 1 + 2\sqrt{x-1} + (x-1) \\ x-1 & = 2\sqrt{x-1} \\ (x-1)^2 & = (2\sqrt{x-1} )^2 \\ x^2 - 2x + 1 & = 4(x-1) \\ x^2 - 6x + 5 & = 0 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-6)}{1} = 6 $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = 6 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Fungsi Kuadrat Simak UI 2009 Matdas 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika grafik dari suatu fungsi kuadrat $ f(x) $ dengan $ f(0) = -4 $ mempunyai sumbu simetri di $ x = \frac{1}{2} $ dan mencapai nilai maksimum $ - 3 $ , maka $ f(x) = ... $
A). $ -16x^2 + 8x - 4 \, $ B). $ -10x^2 + 10x - 4 \, $
C). $ -4x^2 + 4x - 4 \, $ D). $ x^2 - x - 4 \, $
E). $ 4x^2 - 4x - 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat : $ f(x) = ax^2 + bx + c $
*). Persamaan sumbu simetri fungsi kuadra : $ x = \frac{-b}{2a} $
*). Nilai maksimum $(y_p) $ : $ y_p = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan fungsi kuadratnya : $ f(x) = ax^2 + bx + c $
*). Nilai $ c $ dengan $ f(0) = -4 $ :
$\begin{align} f(x) & = ax^2 + bx + c \\ -4 & = a.0^2 + b.0 + c \\ -4 & = c \end{align} $
Sehingga $ f(x) = ax^2 + bx - 4 $
*). Sumbu simetri : $ x = \frac{1}{2} $
$ \frac{-b}{2a} = \frac{1}{2} \rightarrow b = -a \, $ .....(i)
*). Nilai maksimum : $ y_p = -3 $ dan $ c = -4 , b = -a $
$\begin{align} \frac{b^2-4ac}{-4a} & = -3 \\ \frac{(-a)^2-4a. (-4) }{-4a} & = -3 \\ \frac{a^2 + 16a }{-4a} & = -3 \\ \frac{a + 16 }{-4} & = -3 \\ a + 16 & = 12 \\ a & = -4 \end{align} $
Nilai $ b = -a = - (-4) = 4 $
Sehingga fungsi kuadratnya :
$ f(x) = ax^2 + bx - 4 \rightarrow f(x) = -4x^2 + 4x - 4 $
Jadi, fungsi kuadratnya : $ f(x) = -4 x^2 + 4x - 4 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Fungsi Kuadrat Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika grafik dari suatu fungsi kuadrat $ f(x) $ dengan $ f(0) = -4 $ mempunyai sumbu simetri di $ x = \frac{1}{2} $ dan mencapai nilai maksimum $ - 3 $ , maka $ f(x) = ... $
A). $ -16x^2 + 8x - 4 \, $ B). $ -10x^2 + 10x - 4 \, $
C). $ -4x^2 + 4x - 4 \, $ D). $ x^2 - x - 4 \, $
E). $ 4x^2 - 4x - 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun fungsi kuadrat diketahui titik puncak $ (x_p,y_p) $ :
$ y = a(x - x_p)^2 + y_p $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui sumbu simetri $ x = \frac{1}{2} $ dan nilai maksimum $ - 3 $ , artinya titik puncaknya adalah $ (x_p , y_p) = \left( \frac{1}{2} , -3 \right) $
*). Menyusun persamaan dan $ f(0) = -4 $ :
$\begin{align} y & = a(x - x_p)^2 + y_p \\ y & = a \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + (-3) \\ y & = a \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \\ -4 & = a \left(0 - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \\ -4 & = a . \frac{1}{4} - 3 \\ -1 & = a . \frac{1}{4} \\ a & = -4 \end{align} $
Sehingga fungsinya :
$\begin{align} y & = a \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \\ & = -4 \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 - 3 \\ & = -4 \left(x^2 - x + \frac{1}{4} \right) - 3 \\ & = -4 x^2 + 4x -1 - 3 \\ & = -4 x^2 + 4x - 4 \end{align} $
Jadi, fungsi kuadratnya : $ f(x) = -4 x^2 + 4x - 4 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Matriks Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika bilangan $ x $ , $ y $ , dan $ z $ memenuhi
$ \left( \begin{matrix} 4 & x-2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -6 & 8 \\ -11 & y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ z & 1 \end{matrix} \right) $ , maka $ x + y + z $ adalah .....
A). $ 10 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ -6 \, $ E). $ -10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi pada matriks :
-). Penjumlahan : jumlahkan entri yang seletak.
-). Perkalian : baris kali kolom
*). Dua matriks dikatakan sama jika entri-entri yang seletak nilainya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} 4 & x-2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -6 & 8 \\ -11 & y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ z & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -2 & x + 6 \\ -8 & y + 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 0 + z & 9 + 1 \\ 0 + 4z & -6 +4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -2 & x + 6 \\ -8 & y + 2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} z & 10 \\ 4z & -2 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Dari kesamaan matriks di atas, kita peroleh :
$ z = -2 $ , $ y + 2 = -2 \rightarrow y = -4 $
$ x + 6 = 10 \rightarrow x = 4 $.
Sehingga nilai :
$ x + y + z = -2 + (-4) + 4 = -2 $
Jadi, nilai $ x + y + z = -2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Logaritma Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 961

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ b = a^3 $ dengan $ a $ dan $ b $ bilangan bulat positif, maka nilai $ {}^a \log b + {}^b \log a = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{8}{3} \, $ D). $ \frac{10}{3} \, $ E). $ 6 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} \, {}^a \log b $
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan substitusi $ b = a^3 $ :
$\begin{align} {}^a \log b + {}^b \log a & = {}^a \log a^3 + {}^{a^3} \log a \\ & = 3. {}^a \log a + \frac{1}{3} . {}^{a} \log a \\ & = 3. 1 + \frac{1}{3} . 1 \\ & = 3 + \frac{1}{3} \\ & = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^a \log b + {}^b \log a = \frac{10}{3} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Soal dan Pembahasan Simak UI 2009 Matematika Dasar Kode 961


Nomor 1
Jika $ b = a^3 $ dengan $ a $ dan $ b $ bilangan bulat positif, maka nilai $ {}^a \log b + {}^b \log a = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{8}{3} \, $ D). $ \frac{10}{3} \, $ E). $ 6 \, $
Nomor 2
Dari huruf S, I, M, A, dan K dapat dibuat 120 "kata". Jika "kata" ini disusun secara alfabetikal, maka kata "SIMAK" akan berada pada urutan ke- .....
A). $ 105 \, $ B). $ 106 \, $ C). $ 107 \, $ D). $ 115 \, $ E). $ 116 $
Nomor 3
Jika bilangan $ x $ , $ y $ , dan $ z $ memenuhi
$ \left( \begin{matrix} 4 & x-2 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} -6 & 8 \\ -11 & y \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ -2 & 4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 3 \\ z & 1 \end{matrix} \right) $ , maka $ x + y + z $ adalah .....
A). $ 10 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ -6 \, $ E). $ -10 \, $
Nomor 4
Jika grafik dari suatu fungsi kuadrat $ f(x) $ dengan $ f(0) = -4 $ mempunyai sumbu simetri di $ x = \frac{1}{2} $ dan mencapai nilai maksimum $ - 3 $ , maka $ f(x) = ... $
A). $ -16x^2 + 8x - 4 \, $ B). $ -10x^2 + 10x - 4 \, $
C). $ -4x^2 + 4x - 4 \, $ D). $ x^2 - x - 4 \, $
E). $ 4x^2 - 4x - 4 \, $
Nomor 5
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah penyelesaian dari persamaan $ \sqrt{2x-1} = 1 + \sqrt{x-1} $ , maka $ x_1 + x_2 $ sama dengan ......
A). $ -6 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 \, $

Nomor 6
Diketahui sistem persamaan :
$ \begin{align} y + \frac{2}{x+z} & = 4 \\ 5y + \frac{18}{2x+y+z} & = 18 \\ \frac{8}{x+z}-\frac{6}{2x+y+z} & = 3 \end{align} $
Nilai dari $ y + \sqrt{x^2-2xz+z^2} \, $ adalah ....
A). $ 3 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $
Nomor 7
Suatu rombongan wisatawan yang terdiri dari 240 orang akan menyewa kamar hotel. Kamar yang tersedia adalah kamar untuk 2 orang (tipe I) dan 3 orang (tipe 2). Rombongan itu akan menyewa kamar sekurang-kurangnya 100 kamar. Tarif kamar untuk 2 orang adalah Rp60.000 dan untuk 3 orang Rp80.000. Banyaknya jenis kamar tipe 1 dan tipe 2 yang harus disewa agar rombongan tersebut mengeluarkan uang seminimal mungkin adalah .....
A). 20 dan 80 kamar
B). 30 dan 70 kamar
C). 40 dan 60 kamar
D). 60 dan 40 kamar
E). 70 dan 30 kamar
Nomor 8
Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah $ a $ dan jumlahnya 10, maka .....
A). $ 0 < a < 10 \, $ B). $ 0 < a < 18 \, $
C). $ 0 < a < 20 \, $ D). $ 0 \leq a \leq 20 \, $
E). $ a < 0 \, $ atau $ a > 20 $
Nomor 9
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \cos (3x + 15^\circ ) = \sin ( x + 25^\circ ) $ untuk $ 0 < x < 90^\circ $ adalah .....
A). $ 12,5^\circ \, $ B). $ 15^\circ \, $ C). $ 17,5^\circ \, $ D). $ 22,5^\circ \, $ E). $ 25^\circ $
Nomor 10
Kotak A berisi 8 bola merah dan 2 bola putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 3 bola putih. Jika dari masing-masing kotak, diambil sebuah bola secara acak, maka peluang bahwa kedua bola berwarna sama adalah .....
A). $ \frac{3}{80} \, $ B). $ \frac{6}{80} \, $ C). $ \frac{1}{5} \, $ D). $ \frac{40}{80} \, $ E). $ \frac{46}{80} $

Nomor 11
Pada suatu hari dilakukan pengamatan terhadap virus-virus tertentu yang berkembang dengan membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat 2 virus. Pembelahan terjadi setiap 24 jam. Jika setiap 3 hari, seperempat dari virus dibunuh, maka banyaknya virus setelah satu minggu pertama adalah .....
A). $ 24 \, $ B). $ 36 \, $ C). $ 48 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 72 $
Nomor 12
Jika $ k $ , $ l $ , dan $ m $ membentuk barisan geometri, maka $ \log k $ , $ \log l $ , $ \log m $ adalah .....
A). barisan geometri dengan rasio $ \log l - \log k $
B). barisan aritmatika dengan beda $ \log l - \log k $
C). barisan geometri dengan rasio $ \frac{l}{k} $
D). barisan aritmatika dengan beda $ \frac{l}{k} $
E). bukan barisan aritmatika maupun geometri
Nomor 13
Jika $ a^3 - a - 1 = 0 $ , maka $ a^4 + a^3 - a^2 - 2a + 9 = ..... $
A). $ 4 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 28 \, $
Nomor 14
Banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat
$ \begin{align} 2y - x^2 & = 6 \\ \, \, \, \, \, \, 2x^2 + 3y^2 & = 20 \end{align} $
adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 15
Pertidaksamaan $ 2+5x-3x^2 \leq 2-5x-x^2 < -6 -7x $ mempunyai penyelesaian .....
A). $ x \leq 0 \, $ atau $ x > 5 $
B). $ x \leq 0 \, $ atau $ x > 4 $
C). $ x < -2 \, $ atau $ x \geq 5 $
D). $ -2 < x \leq 2 \, $ atau $ 4 < x \leq 5 $
E). $ 0 \leq x < 4 $

Nomor 16
Persamaan grafik di atas adalah .....
A). $ y = -2 \cos 2x \, $ B). $ y = 2 \cos \frac{3}{2}x \, $
C). $ y = -2 \cos \frac{3}{2}x \, $ D). $ y = 2 \sin \frac{3}{2}x \, $
E). $ y = -2 \sin \frac{3}{2}x $
Nomor 17
Misalkan luas sebuah segitiga sama sisi adalah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling segitiga adalah $ x $, maka laju perubahan luas terhadap kelilingnya sama dengan .....
A). $ \frac{\sqrt{2}}{36} x \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{36} x \, $ C). $ \frac{\sqrt{3}}{36} x^2 \, $ D). $ \frac{2\sqrt{3}}{36} x \, $ E). $ \frac{\sqrt{3}}{4} x $
Nomor 18
Nilai dari
$ \log (\tan 2^\circ) + \log (\tan 3^\circ) + ... + \log (\tan 88^\circ) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 45 \, $ D). $ 89 \, $ E). $ 90 \, $
Nomor 19
Jika kurva $ y = (x^2-a)(2x+b)^3 $ turun pada interval $ -1 < x < \frac{2}{5} $ , maka nilai $ ab = ..... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 20
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 20.
Diberikan grafik fungsi $ f(x) = x + \frac{4}{x^2} $ , $ x \neq 0 $ , maka ...
(1). fungsi naik pada himpunan $ \{ x \in R | x < 0 \text{ atau } x > 2 \} $
(2). fungsi turun pada himpunan $ \{ x \in R | 0 < x < 2 \} $
(3). terjadi minimum lokal di titik (2,3)
(4). terjadi maksimum lokal di titik (0,0).

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)