Soal yang Akan Dibahas
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & x \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] $ adalah
matriks yang mempunyai invers, rata-rata dari nilai-nilai $ x $ yang memenuhi
$ det\left( - \frac{1}{3}A \right) = det( 3 A^{-1}) $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 $
A). $ 1 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 10 $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Determinan dan invers matriks $ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] $
Determinan : $ det(A) = ad - bc $
Invers : $ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] $
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki penyelesaian $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi penjumlahan : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
*). Rata-rata $ = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $
*). Determinan dan invers matriks $ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] $
Determinan : $ det(A) = ad - bc $
Invers : $ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] $
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki penyelesaian $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi penjumlahan : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
*). Rata-rata $ = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & x \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] $ :
$ det(A) = 1.4 - 1.x = 4 - x $
*). Menentukan invers matriks A :
$\begin{align} A^{-1} & = \frac{1}{4-x} \left[ \begin{matrix} 4 & -x \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} \frac{4}{4-x} & \frac{-x}{4-x} \\ \frac{-1}{4-x} & \frac{1}{4-x} \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} det\left( - \frac{1}{3}A \right) & = det( 3 A^{-1}) \\ det\left( - \frac{1}{3} \left[ \begin{matrix} 1 & x \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \right) & = det \left( 3 \left[ \begin{matrix} \frac{4}{4-x} & \frac{-x}{4-x} \\ \frac{-1}{4-x} & \frac{1}{4-x} \end{matrix} \right] \right) \\ det\left( \left[ \begin{matrix} - \frac{1}{3} & - \frac{x}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} \end{matrix} \right] \right) & = det \left( \left[ \begin{matrix} \frac{12}{4-x} & \frac{-3x}{4-x} \\ \frac{-3}{4-x} & \frac{3}{4-x} \end{matrix} \right] \right) \\ (- \frac{1}{3} .- \frac{4}{3} ) - (- \frac{1}{3} .- \frac{x}{3} ) & = \frac{12}{4-x} . \frac{3}{4-x} - (\frac{-3}{4-x} . \frac{-3x}{4-x} ) \\ \frac{4}{9} - \frac{x}{9} & = \frac{36}{(4-x)^2} - \frac{9x}{(4-x)^2} \\ \frac{4}{9} - \frac{x}{9} & = \frac{36}{(4-x)^2} - \frac{9x}{(4-x)^2} \\ \frac{4-x}{9} & = \frac{36 - 9x}{(4-x)^2} \\ \frac{4-x}{9} & = \frac{9(4 - x)}{(4-x)^2} \\ \frac{4-x}{9} & = \frac{9 }{(4-x) } \\ (4-x)^2 & = 81 \\ x^2 - 8x + 16 & = 81 \\ x^2 - 8x - 65 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-8)}{1} = 8 \end{align} $
*). Menentukan rata-rata nilai $ x $ :
$\begin{align} \text{rata-rata } & = \frac{x_1+x_2}{2} \\ & = \frac{8}{2} = 4 \end{align} $
Jadi, rata-rata nilai $ x $ adalah $ 4 . \, \heartsuit $
*). Diketahui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & x \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] $ :
$ det(A) = 1.4 - 1.x = 4 - x $
*). Menentukan invers matriks A :
$\begin{align} A^{-1} & = \frac{1}{4-x} \left[ \begin{matrix} 4 & -x \\ -1 & 1 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} \frac{4}{4-x} & \frac{-x}{4-x} \\ \frac{-1}{4-x} & \frac{1}{4-x} \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} det\left( - \frac{1}{3}A \right) & = det( 3 A^{-1}) \\ det\left( - \frac{1}{3} \left[ \begin{matrix} 1 & x \\ 1 & 4 \end{matrix} \right] \right) & = det \left( 3 \left[ \begin{matrix} \frac{4}{4-x} & \frac{-x}{4-x} \\ \frac{-1}{4-x} & \frac{1}{4-x} \end{matrix} \right] \right) \\ det\left( \left[ \begin{matrix} - \frac{1}{3} & - \frac{x}{3} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} \end{matrix} \right] \right) & = det \left( \left[ \begin{matrix} \frac{12}{4-x} & \frac{-3x}{4-x} \\ \frac{-3}{4-x} & \frac{3}{4-x} \end{matrix} \right] \right) \\ (- \frac{1}{3} .- \frac{4}{3} ) - (- \frac{1}{3} .- \frac{x}{3} ) & = \frac{12}{4-x} . \frac{3}{4-x} - (\frac{-3}{4-x} . \frac{-3x}{4-x} ) \\ \frac{4}{9} - \frac{x}{9} & = \frac{36}{(4-x)^2} - \frac{9x}{(4-x)^2} \\ \frac{4}{9} - \frac{x}{9} & = \frac{36}{(4-x)^2} - \frac{9x}{(4-x)^2} \\ \frac{4-x}{9} & = \frac{36 - 9x}{(4-x)^2} \\ \frac{4-x}{9} & = \frac{9(4 - x)}{(4-x)^2} \\ \frac{4-x}{9} & = \frac{9 }{(4-x) } \\ (4-x)^2 & = 81 \\ x^2 - 8x + 16 & = 81 \\ x^2 - 8x - 65 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-8)}{1} = 8 \end{align} $
*). Menentukan rata-rata nilai $ x $ :
$\begin{align} \text{rata-rata } & = \frac{x_1+x_2}{2} \\ & = \frac{8}{2} = 4 \end{align} $
Jadi, rata-rata nilai $ x $ adalah $ 4 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.