Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^3 - 64}{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}} = ... $
A). $ 18 \, $ B). $ 48 \, $ C). $ 128 \, $ D). $ 248 \, $ E). $ 768 \, $
A). $ 18 \, $ B). $ 48 \, $ C). $ 128 \, $ D). $ 248 \, $ E). $ 768 \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu, bisa dengan merasionalkan.
*). Limit bentuk tak tentu adalah limit yang hasilnya $ \frac{0}{0} $
*). Perkalian bentuk akar pada merasionalkan :
$ (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b $
*). Pemfaktoran : $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu, bisa dengan merasionalkan.
*). Limit bentuk tak tentu adalah limit yang hasilnya $ \frac{0}{0} $
*). Perkalian bentuk akar pada merasionalkan :
$ (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b $
*). Pemfaktoran : $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pemfaktoran bentuk $ x^3 - 64 $ :
$ \begin{align} x^3 - 64 & = x^3 - 4^3 \\ & = (x-4)(x^2 + x.4 + 4^2) \\ & = (x-4)(x^2 + 4x + 16) \\ & = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(x^2 + 4x + 16) \end{align} $
*). Menyelesaikan limit dengan merasionalkan :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^3 - 64}{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^3 - 64}{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \times \frac{\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(x^3 - 64)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{x - (3\sqrt{x}-2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(x^3 - 64)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{x - 3\sqrt{x} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(x^2 + 4x + 16) (\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{(\sqrt{x} -2)(\sqrt{x} -1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} + 2)(x^2 + 4x + 16) (\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{(\sqrt{x} -1)} \\ & = \frac{(\sqrt{4} + 2)(4^2 + 4.4 + 16) (\sqrt{4} + \sqrt{3\sqrt{4}-2})}{(\sqrt{4} -1)} \\ & = \frac{(2 + 2)(16 + 16 + 16) (2 + 2}{(2 -1)} \\ & = \frac{(4)(48) (4}{1} = \frac{768}{1} = 768 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 768 . \, \heartsuit $
*). Pemfaktoran bentuk $ x^3 - 64 $ :
$ \begin{align} x^3 - 64 & = x^3 - 4^3 \\ & = (x-4)(x^2 + x.4 + 4^2) \\ & = (x-4)(x^2 + 4x + 16) \\ & = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(x^2 + 4x + 16) \end{align} $
*). Menyelesaikan limit dengan merasionalkan :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^3 - 64}{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x^3 - 64}{\sqrt{x} - \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \times \frac{\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2}}{\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(x^3 - 64)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{x - (3\sqrt{x}-2)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(x^3 - 64)(\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{x - 3\sqrt{x} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(x^2 + 4x + 16) (\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{(\sqrt{x} -2)(\sqrt{x} -1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} + 2)(x^2 + 4x + 16) (\sqrt{x} + \sqrt{3\sqrt{x}-2})}{(\sqrt{x} -1)} \\ & = \frac{(\sqrt{4} + 2)(4^2 + 4.4 + 16) (\sqrt{4} + \sqrt{3\sqrt{4}-2})}{(\sqrt{4} -1)} \\ & = \frac{(2 + 2)(16 + 16 + 16) (2 + 2}{(2 -1)} \\ & = \frac{(4)(48) (4}{1} = \frac{768}{1} = 768 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 768 . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.