Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3 , $ maka ....
(1). $ f $ selalu naik pada $ R $
(2). $ f $ tidak pernah turun
(3). $ f $ tidak memiliki maksimum relatif
(4). $ f $ minimum relatif pada $ x = \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). syarat fungsi $ y = f(x) $ naik atau turun :
syarat naik : $ f^\prime (x) > 0 $
syarat turun : $ f^\prime (x) < 0 $
*). Nilai maksimum atau minimum relatif dicapai saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
(turunan pertama = 0 )
*). Cek turunan kedua untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) > 0 \, $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) = 0 \, $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) < 0 \, $ , maka jenisnya maksimum
*). Rumus turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ f(x) = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3 $
*). Menentukan turunan pertama dan keduanya :
$\begin{align} f(x) & = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3 \\ f^\prime (x) & = 7(2x-3)^6.2 - 5(2x-3)^4.2 + 3(2x-3)^2.2 \\ & = 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 \\ f^{ \prime \prime } (x) & = 6.14(2x-3)^5.2 - 4.10(2x-3)^3.2 + 2.6(2x-3)^1.2 \\ & = 168(2x-3)^5 - 80(2x-3)^3 + 24(2x-3) \end{align} $

*). Kita cek keempat pernyataan :
(1). $ f $ selalu naik pada $ R $ ?
Syarat fungsi naik : $ f^\prime (x) > 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 & > 0 \end{align} $
Bentuk $ 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 > 0 $ ini terpenuhi untuk semua $ x $ di R, artinya fungsi $ f $ selalu naik untuk semua $ x $ di R. Pernyataan (1) BENAR.

(2). $ f $ tidak pernah turun ?
Dari pernyataan (1) di atas, maka fungsi $ f $ tidak pernah turun. Pernyataan (2) BENAR

(3). $ f $ tidak memiliki maksimum relatif ?
Syarat maksimum/minimum relatif : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 & = 0 \\ 2(2x-3)^2[7(2x-3)^4 - 5(2x-3)^2 + 3] & = 0 \end{align} $
$ (2x-3)^2 = 0 \rightarrow x = \frac{3}{2} $
$ 7(2x-3)^4 - 5(2x-3)^2 + 3 = 0 \rightarrow \, $ tidak mempunyai akar-akar.
-). Cek jenisnya untuk $ x = \frac{3}{2} $ ke turunan kedua :
$ f^{\prime \prime } (x) = 168(2x-3)^5 - 80(2x-3)^3 + 24(2x-3) $
$\begin{align} f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) & = 168(2.\frac{3}{2}-3)^5 - 80(2.\frac{3}{2}-3)^3 + 24(2.\frac{3}{2}-3) \\ f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) & = 0 - 0 + 0 \\ f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) & = 0 \end{align} $
Karena $ f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) = 0 $ , maka untuk $ x = \frac{3}{2} $ merupakan titik belok sehingga fungsi $ f $ tidak memiliki maksimum/minimum relatif. Pernyataan (3) BENAR.

(4). $ f $ minimum relatif pada $ x = \frac{3}{2} $ ?
Dari penjelasan pada pernyataan (3), maka fungsi $ f $ tidak memiliki minimum relatif. Pernyataan (4) SALAH.

Sehingga pernyataan (1), (2), dan (3) yang BENAR, jawabannya A.
Jadi, yang BENAR adalah (1), (2), dan (3) $ . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.