Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas

Gunakan petunjuk C.
Jika

$f(x) = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3 ,$ maka ....
(1).

$f$ selalu naik pada

$R$
(2).

$f$ tidak pernah turun
(3).

$f$ tidak memiliki maksimum relatif
(4).

$f$ minimum relatif pada

$x = \frac{3}{2}$

$\spadesuit$ Konsep Dasar
*). syarat fungsi

$y = f(x)$ naik atau turun :
syarat naik :

$f^\prime (x) > 0$
syarat turun :

$f^\prime (x) < 0$
*). Nilai maksimum atau minimum relatif dicapai saat

$x$ memenuhi

$f^\prime (x) = 0$
(turunan pertama = 0 )
*). Cek turunan kedua untuk

$x_1$ yang memenuhi

$f^\prime (x_1) = 0$
jika

$f^{\prime \prime } (x_1) > 0 \,$ , maka jenisnya minimum
jika

$f^{\prime \prime } (x_1) = 0 \,$ , maka jenisnya titik belok
jika

$f^{\prime \prime } (x_1) < 0 \,$ , maka jenisnya maksimum
*). Rumus turunan fungsi aljabar :

$y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1}$

$y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x)$

$\clubsuit$ Pembahasan
*). Diketahui fungsi

$f(x) = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3$
*). Menentukan turunan pertama dan keduanya :

$\begin{align} f(x) & = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3 \\ f^\prime (x) & = 7(2x-3)^6.2 - 5(2x-3)^4.2 + 3(2x-3)^2.2 \\ & = 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 \\ f^{ \prime \prime } (x) & = 6.14(2x-3)^5.2 - 4.10(2x-3)^3.2 + 2.6(2x-3)^1.2 \\ & = 168(2x-3)^5 - 80(2x-3)^3 + 24(2x-3) \end{align}$

*). Kita cek keempat pernyataan :
(1).

$f$ selalu naik pada

$R$ ?
Syarat fungsi naik :

$f^\prime (x) > 0$

$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 & > 0 \end{align}$
Bentuk

$14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 > 0$ ini terpenuhi untuk semua

$x$ di R, artinya fungsi

$f$ selalu naik untuk semua

$x$ di R. Pernyataan (1) BENAR.

(2).

$f$ tidak pernah turun ?
Dari pernyataan (1) di atas, maka fungsi

$f$ tidak pernah turun. Pernyataan (2) BENAR

(3).

$f$ tidak memiliki maksimum relatif ?
Syarat maksimum/minimum relatif :

$f^\prime (x) = 0$

$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 & = 0 \\ 2(2x-3)^2[7(2x-3)^4 - 5(2x-3)^2 + 3] & = 0 \end{align}$

$(2x-3)^2 = 0 \rightarrow x = \frac{3}{2}$

$7(2x-3)^4 - 5(2x-3)^2 + 3 = 0 \rightarrow \,$ tidak mempunyai akar-akar.
-). Cek jenisnya untuk

$x = \frac{3}{2}$ ke turunan kedua :

$f^{\prime \prime } (x) = 168(2x-3)^5 - 80(2x-3)^3 + 24(2x-3)$

$\begin{align} f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) & = 168(2.\frac{3}{2}-3)^5 - 80(2.\frac{3}{2}-3)^3 + 24(2.\frac{3}{2}-3) \\ f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) & = 0 - 0 + 0 \\ f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) & = 0 \end{align}$
Karena

$f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) = 0$ , maka untuk

$x = \frac{3}{2}$ merupakan titik belok sehingga fungsi

$f$ tidak memiliki maksimum/minimum relatif. Pernyataan (3) BENAR.

(4).

$f$ minimum relatif pada

$x = \frac{3}{2}$ ?
Dari penjelasan pada pernyataan (3), maka fungsi

$f$ tidak memiliki minimum relatif. Pernyataan (4) SALAH.

Sehingga pernyataan (1), (2), dan (3) yang BENAR, jawabannya A.
Jadi, yang BENAR adalah (1), (2), dan (3)

$. \, \heartsuit$