Tampilkan postingan dengan label simak ui matipa 2018 kode 412. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label simak ui matipa 2018 kode 412. Tampilkan semua postingan

Cara 2 Pembahasan Limit Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^3+27} = -\frac{1}{3^5} $ , maka nilai $ a + b $ untuk $ a $ dan $ b $ bulat positif adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit, wajib substitusi nilai variabelnya.
*). Limit bentuk tak tentu adalah limit yang hasilnya $ \frac{0}{0} $.
Agar suatu bentuk limit bisa diselesaikan, maka kita anggap hasilnya bentuk tak tentu.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^3+27} & = -\frac{1}{3^5} \\ \frac{\frac{1}{a.(-3)}+\frac{1}{3}}{b.(-3)^3+27} & = -\frac{1}{3^5} \\ \frac{\frac{1}{-3a}+\frac{1}{3}}{-27b+27} & = -\frac{1}{3^5} \\ \frac{\frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{a} \right) }{-27( b - 1) } & = -\frac{1}{3^5} \end{align} $
*). Agar bisa diselesaikan limitnya, kita anggap bentuknya tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ , sehingga kita peroleh :
$ \frac{\frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{a} \right) }{-27( b - 1) } = \frac{0}{0} $
Persamaannya :
$ \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{a} \right) = 0 \rightarrow 1 = \frac{1}{a} \rightarrow a = 1 $
$ -27( b - 1) = 0 \rightarrow b = 1 $
Sehingga nilai $ a + b = 1 + 1 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Trigonometri Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \alpha = \frac{5\pi}{12} $ , maka ....
(1). $ \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $
(2). $ \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha = \frac{15}{32}\sqrt{3} \, $
(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{3}{4}\sqrt{3} \, $
(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
*). Rumus sudut rangkap :
$ \cos ^2 x = \frac{1}{2}(1 + \cos 2x ) $
$ \sin ^2 x = \frac{1}{2}(1 - \cos 2x ) $
$ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x $
$ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $
*). Sifat eksponen :
$ a^4 - b^4 = (a^2 - b^2 )(a^ + b^2 ) $
$ a^6 - b^6 = (a^4 - b^4)(a^2 + b^2) + (ab)^2(a^2 - b^2) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \alpha = \frac{5\pi}{12} $ dengan $ \pi = 180^\circ $
*). Menentukan beberapa nilai :
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = \cos 2 . \frac{5\pi}{12} = \cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \sin 2 \alpha & = \sin 2 . \frac{5\pi}{12} = \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \\ (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) & = -(\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha) \\ & = -\cos 2 \alpha = - (-\frac{1}{2}\sqrt{3} ) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $

*). Kita cek keempat pernyataan :
(1). $ \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha & = (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha)(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha) \\ & = (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha)(1) \\ & = (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) = \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (1) SALAH.

(2). $ \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha = \frac{15}{32}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} & \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha \\ & = (\sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha )(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha ) +(\sin x \cos x)^2 (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) \\ & = (\sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha )(\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha ) +(\frac{1}{2}\sin 2 \alpha)^2 (\sin ^2 \alpha - \cos ^2 \alpha) \\ & = (\frac{1}{2}\sqrt{3} )(1) +(\frac{1}{2} . \frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2}\sqrt{3} ) \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{16} . \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{32} \sqrt{3} \\ & = \frac{16}{32}\sqrt{3} + \frac{1}{32} \sqrt{3} \\ & = \frac{17}{32}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (2) SALAH.

(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{3}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \cos ^4 \alpha & = \cos ^2 \alpha . \cos ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 + \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 + \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 -\frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} - \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (3) SALAH.

(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \, $ ?
$ \begin{align} \sin ^4 \alpha & = \sin ^2 \alpha . \sin ^2 \alpha \\ & = \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) . \frac{1}{2}(1 - \cos 2 \alpha ) \\ & = \frac{1}{4}(1 - \cos 2 \alpha )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 -(-\frac{1}{2}\sqrt{3}) )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \frac{1}{2}\sqrt{3} )^2 \\ & = \frac{1}{4}(1 + \sqrt{3} + \frac{3}{4} ) \\ & = \frac{1}{4}(\frac{7}{4} + \sqrt{3} ) \\ & = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \end{align} $
Pernyataan (4) BENAR.

Sehingga pernyataan (4) yang BENAR, jawabannya D.
Jadi, yang BENAR adalah pernyataan (4) $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Turunan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3 , $ maka ....
(1). $ f $ selalu naik pada $ R $
(2). $ f $ tidak pernah turun
(3). $ f $ tidak memiliki maksimum relatif
(4). $ f $ minimum relatif pada $ x = \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). syarat fungsi $ y = f(x) $ naik atau turun :
syarat naik : $ f^\prime (x) > 0 $
syarat turun : $ f^\prime (x) < 0 $
*). Nilai maksimum atau minimum relatif dicapai saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
(turunan pertama = 0 )
*). Cek turunan kedua untuk $ x_1 $ yang memenuhi $ f^\prime (x_1) = 0 $
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) > 0 \, $ , maka jenisnya minimum
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) = 0 \, $ , maka jenisnya titik belok
jika $ f^{\prime \prime } (x_1) < 0 \, $ , maka jenisnya maksimum
*). Rumus turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1} . f^\prime (x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ f(x) = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3 $
*). Menentukan turunan pertama dan keduanya :
$\begin{align} f(x) & = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3 \\ f^\prime (x) & = 7(2x-3)^6.2 - 5(2x-3)^4.2 + 3(2x-3)^2.2 \\ & = 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 \\ f^{ \prime \prime } (x) & = 6.14(2x-3)^5.2 - 4.10(2x-3)^3.2 + 2.6(2x-3)^1.2 \\ & = 168(2x-3)^5 - 80(2x-3)^3 + 24(2x-3) \end{align} $

*). Kita cek keempat pernyataan :
(1). $ f $ selalu naik pada $ R $ ?
Syarat fungsi naik : $ f^\prime (x) > 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 & > 0 \end{align} $
Bentuk $ 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 > 0 $ ini terpenuhi untuk semua $ x $ di R, artinya fungsi $ f $ selalu naik untuk semua $ x $ di R. Pernyataan (1) BENAR.

(2). $ f $ tidak pernah turun ?
Dari pernyataan (1) di atas, maka fungsi $ f $ tidak pernah turun. Pernyataan (2) BENAR

(3). $ f $ tidak memiliki maksimum relatif ?
Syarat maksimum/minimum relatif : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 14(2x-3)^6 - 10(2x-3)^4 + 6(2x-3)^2 & = 0 \\ 2(2x-3)^2[7(2x-3)^4 - 5(2x-3)^2 + 3] & = 0 \end{align} $
$ (2x-3)^2 = 0 \rightarrow x = \frac{3}{2} $
$ 7(2x-3)^4 - 5(2x-3)^2 + 3 = 0 \rightarrow \, $ tidak mempunyai akar-akar.
-). Cek jenisnya untuk $ x = \frac{3}{2} $ ke turunan kedua :
$ f^{\prime \prime } (x) = 168(2x-3)^5 - 80(2x-3)^3 + 24(2x-3) $
$\begin{align} f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) & = 168(2.\frac{3}{2}-3)^5 - 80(2.\frac{3}{2}-3)^3 + 24(2.\frac{3}{2}-3) \\ f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) & = 0 - 0 + 0 \\ f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) & = 0 \end{align} $
Karena $ f^{\prime \prime } (\frac{3}{2}) = 0 $ , maka untuk $ x = \frac{3}{2} $ merupakan titik belok sehingga fungsi $ f $ tidak memiliki maksimum/minimum relatif. Pernyataan (3) BENAR.

(4). $ f $ minimum relatif pada $ x = \frac{3}{2} $ ?
Dari penjelasan pada pernyataan (3), maka fungsi $ f $ tidak memiliki minimum relatif. Pernyataan (4) SALAH.

Sehingga pernyataan (1), (2), dan (3) yang BENAR, jawabannya A.
Jadi, yang BENAR adalah (1), (2), dan (3) $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Vektor Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{a} = (3, -2, -5) $ , $ \vec{b} = (1,4,-4) $ , dan $ \vec{c} = (0, 3, 2) $, maka ....
(1). $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ membentuk jajaran genjang
(2). $ \vec{a}.(\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{b} \times \vec{c}).\vec{a} $
(3). volume jajaran genjang = 49
(4). $ \vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a} ) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat perkalian dot dan perkalian cross (silang) :
i). $ \vec{a} . \vec{b} = \vec{b} . \vec{a} $
ii). $ \vec{a} \times \vec{b} = -( \vec{b} \times \vec{a} ) $
iii). $ \vec{a} . ( \vec{b} \times \vec{c} ) = ( \vec{b} \times \vec{c} ) . \vec{a} $
*). Tiga vektor $ \vec{a} , \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ membentuk sebuah bangun ruang bersisi 6 yang sisi-sisi sejajarnya kongruen dan masing-masing sisi-sisi berbentuk jajaran genjang (biasa disebut Paralel Epipedum). Berikut ilustrasi gambarnya.

*). Rumus volume Paralel Epipedum yang dibentuk oleh tiga vektor $ \vec{a}, \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ :
Volume $ = |\vec{a} . (\vec{b} \times \vec{c})| $ (selalu positif).
*). RUmus perkalian dot (titik) dan perkalian silang :
Misalkan terdapat vektor :
$ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ , $ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) $ , dan $ \vec{c} = (c_1, c_2, c_3) $
-). Rumus $ \vec{a} . \vec{b} $
$ \vec{a} . \vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
-). Rumus perkalian silang : (determinan Sarrus)
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\ & = (a_2b_3i + a_3b_1j+a_1b_2k) - (a_3b_2i+a_1b_3j+a_2b_1k) \end{align} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mari kita cek setiap pernyataan :
(1). $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ membentuk jajaran genjang ?
Pernyataan (1) ini maksudnya adalah ketiga vektor membentuk bangun ruang dimana sisi-sisinya berbentuk jajaran genjang yang biasa disebut Paralel Epipedum
Pernyataan (1) BENAR.

(2). $ \vec{a}.(\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{b} \times \vec{c}).\vec{a} $ ?
Sesuai dengan sifat perkalian dot, pernyataan (2) ini BENAR.

(3). volume jajaran genjang = 49 ?
Ketiga vektor membentuk Paralel Epipedum, dengan ketiga vektornya yaitu $ \vec{a} = (3, -2, -5) $ , $ \vec{b} = (1,4,-4) $ , dan $ \vec{c} = (0, 3, 2) $.
-). Menentukan $ \vec{b} \times \vec{c} $ :
$ \begin{align} \vec{b} \times \vec{c} & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 4 & -4 \\ 0 & 3 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (8i + 0+ 3k) - (-12i + 2j + 0) \\ & = 20i - 2j + 3k \\ & = ( 20, -2, 3) \end{align} $
-). Volumenya :
$ \begin{align} \text{volume } & = | \vec{a} . (\vec{b} \times \vec{c}) | \\ & = | (3, -2, -5) . ( 20, -2, 3) | \\ & = | 3.20 + (-2). (-2) + (-5). 3 | \\ & = | 60 + 4 - 15| = 49 \end{align} $
Sehingga volumenya adalah 49.
Pernyataan (3) BENAR.

(4). $ \vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a} ) $ ?
Berdasarkan sifat perkalian cross, pernyataan (4) BENAR.

Semua pernyataan BENAR, jawabannya E.
Jadi, semua pernyataan BENAR $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{12}} \, $ C). $ \frac{3}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{3}{2^{12}} \, $ E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap barisan memiliki pola atau rumus tersendiri.
*). Sifat eksponen :
untuk $ n \, $ ganjil, $ (-1)^n = -1 $
untuk $ n \, $ genap, $ (-1)^n = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ :
-). Penjabaran setiap sukunya :
$ u_1 = -\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1} - \frac{1}{2^0} = \frac{1}{2^1} + (-1)^1 . \frac{1}{2^(1-1)} $
$ u_2 = \frac{3}{4} = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2^2} + (-1)^2 . \frac{1}{2^{2-1}} $
$ u_3 = -\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} - \frac{1}{2^2} = \frac{1}{2^3} + (-1)^3 . \frac{1}{2^{3-1}} $
$ u_4 = \frac{3}{16} = \frac{1}{2^4} + \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2^4} + (-1)^4 . \frac{1}{2^{4-1}} $
......
$ u_n = \frac{1}{2^n} + (-1)^n . \frac{1}{2^{n-1}} $
-). Sehingga rumus umum suku ke-$n$ nya yaitu :
$ u_n = \frac{1}{2^n} + (-1)^n . \frac{1}{2^{n-1}} $
*). Menentukan suku ke-12 :
$\begin{align} u_n & = \frac{1}{2^n} + (-1)^n . \frac{1}{2^{n-1}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{12}} + (-1)^{12} . \frac{1}{2^{12-1}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{12}} + 1 . \frac{1}{2^{11}} \\ u_{12} & = \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{2^{11}} \\ u_{12} & = \frac{1 + 2}{2^{12}} \\ u_{12} & = \frac{3}{2^{12}} \end{align} $
Jadi, suku ke-12 adalah $ \frac{3}{2^{12}} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{12}} \, $ C). $ \frac{3}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{3}{2^{12}} \, $ E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Setiap barisan memiliki pola atau rumus tersendiri.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ :
dapat ditulis menjadi : $ -\frac{1}{2^1}, \frac{3}{2^2}, -\frac{1}{2^3}, \frac{3}{2^4} , .... $
$ u_1 = -\frac{1}{2^1} $
$ u_2 = \frac{3}{2^2} $
$ u_3 = -\frac{1}{2^3} $
$ u_4 = \frac{3}{2^4} $
-). dapat kita perumum rumus barisannya menjadi :
untuk $ n $ ganjil : $ u_n = -\frac{1}{2^n} $
untuk $ n $ genap : $ u_n = \frac{3}{2^n} $
*). Menentukan suku ke-12 :
$ n = 12 \, $ (genap) sehingga rumusnya : $ u_n = \frac{3}{2^n} $
$\begin{align} u_n & = \frac{3}{2^n} \\ u_{12} & = \frac{3}{2^{12}} \end{align} $
Jadi, suku ke-12 adalah $ \frac{3}{2^{12}} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika diberikan $ 2a-b+3c = 8 $ , $ a^2 - 2b^2 = 15 $ , dan $ 7b^2+12ac=16b $ , maka nilai $ c $ adalah ....
A). $ -\frac{5}{3} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa dengan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui sistem persamaan :
$ 2a-b+3c = 8 \, $ ......(i)
$ a^2 - 2b^2 = 15 \, $ .....(ii)
$ 7b^2+12ac=16b \, $ .......(iii)
*). kuadratkan pers(i) :
$\begin{align} 2a-b+3c & = 8 \\ 2a +3c & = b + 8 \\ (2a +3c)^2 & = (b + 8)^2 \\ 4a^2 + 12ac + 9c^2 & = b^2 + 16b + 64 \\ 12ac = b^2 + 16b + & 64 - 4a^2 - 9c^2 \, \, \, \, \, \text{.....(iv)} \end{align} $
*). Substitusi pers(iv) ke pers(iii) :
$\begin{align} 7b^2+12ac & = 16b \\ 7b^2+(b^2 + 16b + 64 - 4a^2 - 9c^2) & = 16b \\ 8b^2 - 4a^2 - 9c^2 + 64 & = 0 \\ -4(a^2 - 2b^2) - 9c^2 + 64 & = 0 \, \, \, \, \, \text{.....(v)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(v) :
$\begin{align} -4(a^2 - 2b^2) - 9c^2 + 64 & = 0 \, \, \, \, \, \text{.....(v)} \\ -4(15) - 9c^2 + 64 & = 0 \\ -60 - 9c^2 + 64 & = 0 \\ - 9c^2 + 4 & = 0 \\ 9c^2 & = 4 \\ c^2 & = \frac{4}{9} \\ c & = \pm \sqrt{\frac{4}{9} } \\ c & = \pm \frac{2}{3} \end{align} $
Artinya nilai $ c = \frac{2}{3} \, $ dan $ c = -\frac{2}{3} $
Yang ada di optionnya adalah $ c = \frac{2}{3} $
Jadi, nilai $ c = \frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Definit Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika kurva $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $ selalu berada di atas sumbu X, bilangan bulat terkecil $ a - 2 $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat $ y = ax^2 + bx + c $
-). Syarat definiti :
Definit positif syaratnya : $ D < 0 $ dan $ a > 0 $
Definit negatif syaratnya : $ D < 0 $ dan $ a < 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
-). Fungsi kuadrat selalu di atas sumbu X, artinya memenuhi definit positif.
*). RUmus ABC : $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Tentukan akar-akarnya
2). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya
3). Arsir daerahnya,
jika $ > 0 $ , maka arsir yang $ + $ (daerah positif)
jika $ < 0 $ , maka arsir yang $ - $ (daerah negatif)
4). BUat himpunannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $
untuk memudahkan, kita ganti $ a $ dengan $ k $, sehingga
kurvanya menjadi $ y = (k-2)x^2+ \sqrt{3}(1-k)x + (k-2) $
Nilai $ a = k - 2 , b = \sqrt{3}(1-k) $ , dan $ x = k - 2 $
dan yang ditanyakan adalah $ k - 2 $ bulat terkecil.
*). Kurvanya selalu di atas sumbu X, artinya berlaku definit positif.
Syarat definit positif : $ D < 0 $ dan $ a > 0 $
*). Menyelesaikan definit syarat positifnya :
-). syarat : $ a > 0 $
$ a > 0 \rightarrow k - 2 > 0 \rightarrow k > 2 $
$ HP_1 = \{ k > 2 \} $
-). Syarat : $ D < 0 $
$\begin{align} D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (\sqrt{3}(1-k))^2 - 4.(k - 2).(k - 2) & < 0 \\ 3(1 - 2k + k^2) - 4.(k^2 - 4k + 4) & < 0 \\ 3 - 6k + 3k^2 - 4k^2 + 16k - 16 & < 0 \\ -k^2 + 10k - 13 & < 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali } -1) \\ k^2 - 10k + 13 & > 0 \\ \end{align} $
-). RUmus ABC untuk menentukan akar-akarnya :
Bentuk $ k^2 - 10k + 13 = 0 $
$\begin{align} k & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ k & = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4.1.13}}{2.1} \\ k & = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 52}}{2 } \\ k & = \frac{10 \pm \sqrt{48}}{2 } \\ k & = \frac{10 \pm 4\sqrt{3}}{2 } \\ k & = 5 \pm 2\sqrt{3} \end{align} $
sehingga $ k_1 = 5 - 2\sqrt{3} $ dan $ k_2 = 5 + 2\sqrt{3} $
-). garis bilangannya :
 
$ HP_2 = \{ k < 5 - 2\sqrt{3} \vee k > 5 + 2\sqrt{3} \} $
*). SOlusi total yaitu $ HP_1 $ irisan $ HP_2 $ :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ k > 2 \} \cap \{ k < 5 - 2\sqrt{3} \vee k > 5 + 2\sqrt{3} \} \\ & = \{ k > 5 + 2\sqrt{3} \} \end{align} $
*). Bilangan bulat yang memenuhi $ k > 5 + 2\sqrt{3} = 8,... $ yaitu :
$ k = \{ 9, 10, 11, 12, 13, 14, .... \} $
artinya $ k $ bulat terkecil adalah $ k = 9 $
sehingga nilai bulat terkecil dari $ k - 2 $ :
$ k - 2 = 9 - 2 = 7 $
Jadi, nilai terkecil $ a - 2 $ adalah $ 7 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Lingkaran Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ sx-y=0 $ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu X. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu X dan titik pusatnya dilalui garis $ x = -2 $ , maka nilai $ 3s $ adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat lingkaran dan garis bersinggungan yaitu $ D = 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Untuk menentukan nilai $ D $ , substitusi dulu persamaan garis singgung ke persamaan lingkarannya.
*). Persamaan lingkaran yang berpusat di $ (a,b) $ dan jari-jari $ r $ yaitu :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Lingkaran tersebut memiliki pusat $ (a,b) = (-2,-1) $
-). Jari-jari lingkaran : $ r = |-1| = 1 $
-). Ilustrasi gambarnya :
 
-). Garis singgung lingkarannya : $ sx - y = 0 \rightarrow y = sx $
*). Menyusun persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y - b)^2 & = r^2 \\ (x-(-2))^2 + (y - (-1))^2 & = 1^2 \\ (x+2)^2 + (y + 1)^2 & = 1 \\ \end{align} $
*). Substitusikan garis $ y = sx $ ke lingkarannya :
$\begin{align} (x+2)^2 + (y + 1)^2 & = 1 \\ (x+2)^2 + (sx + 1)^2 & = 1 \\ x^2 + 4x + 4 + s^2x^2 + 2sx + 1 & = 1 \\ (s^2 + 1)x^2 + (2s + 4)x + 4 & = 0 \end{align} $
kita peroleh :
$ a = s^2 + 1 , b = 2s + 4 $ , dan $ c = 4 $
*). Menentukan nilai $ s $ dengan $ D = 0 $ :
$\begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (2s + 4)^2 - 4.(s^2 + 1). 4 & = 0 \\ 4s^2 + 16s + 16 - 16s^2 - 16 & = 0 \\ 16s - 12s^2 & = 0 \\ 4s(4 - 3s) & = 0 \\ 4s = 0 \vee 4 - 3s & = 0 \\ s = 0 \vee s & = \frac{4}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 3s $ :
$\begin{align} s = 0 \rightarrow 3s & = 3.0 = 0 \\ s = \frac{4}{3} \rightarrow 3s & = 3. \frac{4}{3} = 4 \end{align} $
yang ada dioption yaitu $ 3s = 4 $
Jadi, nilai $ 3s = 4 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Lingkaran Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ sx-y=0 $ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu X. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu X dan titik pusatnya dilalui garis $ x = -2 $ , maka nilai $ 3s $ adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jarak titik $ (m,n) $ ke garis $ px + qy + r = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{p.m + q.n + r}{ \sqrt{p^2 + q^2} } \right| $
*). Lingkaran menyinggung sumbu X dengan pusat $ (a,b) $ memiliki jari-jari $ r = |b| $
*). Bentuk mutlak : $ |A|^2 = A^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Lingkaran tersebut memiliki pusat $ (a,b) = (-2,-1) $
-). Jari-jari lingkaran : $ r = |-1| = 1 $
-). Ilustrasi gambarnya :
 
-). Garis singgung lingkarannya : $ sx - y = 0 $
-). Jari-jari lingkarannya juga dapat kita hitung yaitu jarak titik pusat lingkaran ke garis singgungnya seperti pada gambar di atas.
*). Menentukan nilai $ s $ :
$\begin{align} r & = \text{jarak pusat lingkaran ke garis singgung} \\ r & = \left| \frac{p.m + q.n + r}{ \sqrt{p^2 + q^2} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{s.(-2) - (-1)}{ \sqrt{s^2 + (-1)^2} } \right| \\ 1 & = \left| \frac{-2s + 1}{ \sqrt{s^2 + 1} } \right| \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 1^2 & = \left| \frac{-2s + 1}{ \sqrt{s^2 + 1} } \right|^2 \\ 1 & = \left( \frac{-2s + 1}{ \sqrt{s^2 + 1} } \right)^2 \\ 1 & = \frac{(-2s + 1)^2}{ (\sqrt{s^2 + 1} )^2} \\ 1 & = \frac{4s^2 - 4s + 1}{ s^2 + 1 } \\ s^2 + 1 & = 4s^2 - 4s + 1 \\ 3s^2 - 4s & = 0 \\ s(3s - 4 ) & = 0 \\ s = 0 \vee s & = \frac{4}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 3s $ :
$\begin{align} s = 0 \rightarrow 3s & = 3.0 = 0 \\ s = \frac{4}{3} \rightarrow 3s & = 3. \frac{4}{3} = 4 \end{align} $
yang ada dioption yaitu $ 3s = 4 $
Jadi, nilai $ 3s = 4 . \, \heartsuit $

Diposting oleh 2 komentar:
Label:

Pembahasan Turunan Maksimum Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 3^x + 5^y = 18 $, maka nilai maksimum $ 3^x.5^y $ adalah ....
A). $ 72 \, $ B). $ 80 \, $ C). $ 81 \, $ D). $ 86 \, $ E). $ 88 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). FUngsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum untuk $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
(turunan pertamanya = 0 )

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ a = 3^x $ dan $ b = 5^y $ :
*). soalnya menjadi :
$ 3^x + 5^y = 18 \rightarrow a + b = 18 $
$ \rightarrow a = 18 - b \, $ .....(i)
-). Nilai maksimum $ 3^x.5^y $ sama saja dengan $ a.b $
misalkan $ ab = K $
*). Menyusun fungsinya :
$\begin{align} ab & = (18 - b).b \\ K & = 18b - b^2 \\ K^\prime & = 18 - 2b \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum : $ K^\prime = 0 $
$\begin{align} K^\prime & = 0 \\ 18 - 2b & = 0 \\ b & = \frac{18}{2} = 9 \end{align} $
Artinya $ ab $ maksimum saat $ b = 9 $
Nilai $ a = 18 - b = 18 - 9 = 9 $
*). Menentukan nilai maksimum $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 9.9 = 81 \end{align} $
Jadi, nilai maksiumnya adalah $ ab = 81 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Dimensi Sudut Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP:PG=2:3$ . Jika $ \alpha $ adalah sudut terbesar yang terbentuk antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $ \tan \alpha = .... $
A). $ -\frac{2\sqrt{2}}{5} \, $ B). $ -\frac{5\sqrt{2}}{4} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{2}}{5} \, $ D). $ \frac{5\sqrt{2}}{4} \, $ E). $ \frac{\sqrt{2}}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus perbandingan dasar trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \tan x = \frac{depan}{samping} $
*). Hubungan kuadran :
$ \tan (180^\circ - x) = -\tan x $
*). Sudut berpelurus jumlahnya $ 180^\circ $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 
Misalkan panjang rusuk kubus $ = 5 $
-). Sudut terkecil yang dibentuk CG dan PBD adalah $ \angle QPC $
-). SUdut terbesar yang dibentuk CG dan PBD adalah $ \angle QPG = \alpha $
-). Panjang $ AC = 5\sqrt{2} $
-). Panjang $ QC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} . 5\sqrt{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} $
*). Perhatikan segitiga QPC :
$\begin{align} \tan \angle QPC & = \frac{QC}{CP} \\ & = \frac{\frac{5}{2}\sqrt{2}}{2} \\ & = \frac{5\sqrt{2}}{4} \end{align} $
*). Menentukan besar $ \tan \alpha $ :
$\begin{align} \angle QPG + \angle QPC & = 180^\circ \\ \angle QPG & = 180^\circ - \angle QPC \\ \angle \alpha & = 180^\circ - \angle QPC \\ \tan \angle \alpha & = \tan ( 180^\circ - \angle QPC ) \\ & = - \tan \angle QPC \\ & = - \frac{5\sqrt{2}}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan \alpha = -\frac{5\sqrt{2}}{4} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Dimensi Tiga Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan permukaan berbahan karton. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP : PG = 4:3 $. Jika bidang PBD membagi kubus menjadi dua bagian, perbandingan luas permukaan karton adalah ....
A). $ 23:7 \, $ B). $ 23:6 \, $ C). $ 23:5 \, $ D). $ 23:4 \, $ E). $ 23:3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas permukaan kubus $ = 6s^2 $
dengan $ s = \, $ panjang rusuk kubus.
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} .a.t $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambarnya :
 
Misalkan panjang rusuk kubus $ = 7 $
-). Karton digunakan untuk menutupi permukaan kubus.
-). Karena yang ditanya perbandingan luas karton, maka kita cukup menghitung luas yang tertutupi oleh karton saja.
-). Bagian kecil, luas kartonnya : $\Delta BCD, \Delta BCP, \Delta DCP $
-). Bagian besar, luas kartonnya : $ \Delta ABD, ABFE, ADHE, BPGF, DPGH $
*). Luas permukaan seluruh kubus :
$\begin{align} \text{L kubus } & = 6s^2 \\ & = 6 . 7^2 = 294 \end{align} $
*). Luas bagian kecil karton :
$\begin{align} \text{L kecil } & = L \, \Delta BCD + 2 \times L \, \Delta BCP \\ & = \frac{1}{2} . 7.7 + 2 \times \frac{1}{2} . 7.4 \\ & = \frac{49}{2} + \frac{56}{2} = \frac{105}{2} \end{align} $
*). Luas bagian besar karton :
$\begin{align} \text{L besar } & = \text{L kubus } - \text{ L kecil } \\ & = 294 - \frac{105}{2} \\ & = \frac{483}{2} \end{align} $
*). Perbandingan luas permukaan karton :
$\begin{align} \text{L besar } : \text{L kecil } & = \frac{483}{2} : \frac{105}{2} \\ & = 483 : 105 \\ & = 23 : 5 \end{align} $
Jadi, perbandingan luasnya adalah $ 23 : 5 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Integral Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) $ fungsi kontinu di interval $ [1,30] $ dan $ \int \limits_6^{30} f(x) dx = 30 $ , maka $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 27 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teknik integral substitusi :
Misalkan ada bentuk $ \int \limits_a^b f(g(x)) dx $,
Misalkan $ u = g(x) \rightarrow \frac{du}{dx} g^\prime (x) $
kita peroleh $ dx = \frac{du}{g^\prime (x)} $
-). Mengubah batas :
$ x = a \rightarrow u = g(a) $
$ x = b \rightarrow u = g(b) $
-). Sehingga bentuk integralnya menjadi :
$ \int \limits_a^b f(g(x)) dx = \int \limits_{g(a)}^{g(b)} f(u) \frac{du}{g^\prime (x)} $
*). Sifat integral :
$ \int \limits_a^b kf(g(x)) dx = k \int \limits_a^b f(g(x)) dx $
dengan $ k $ suatu bilangan real.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ \int \limits_6^{30} f(x) dx = 30 $ :
*). Mengubah bentuk $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy $ :
-). Misalkan $ u = 3y + 3 \rightarrow \frac{du}{dy} = 3 \rightarrow dy = \frac{1}{3}du $.
-). Mengubah batasnya :
$ y = 1 \rightarrow u = 3.1 + 3 = 6 $
$ y = 9 \rightarrow u = 3.9 + 3 = 30 $
-). Bentuk integralnya menjadi :
$\begin{align} \int \limits_1^9 f(3y+3) dy & = \int \limits_6^{30} f(u) . \frac{1}{3}du \\ & = \frac{1}{3} \int \limits_6^{30} f(u) du \\ & = \frac{1}{3} . 30 \\ & = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy = 10 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Limit Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^3+27} = -\frac{1}{3^5} $ , maka nilai $ a + b $ untuk $ a $ dan $ b $ bulat positif adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit, wajib substitusi nilai variabelnya.
*). Sifat eksponen :
$ a^{m+n} = a^m.a^n $ dan $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^3+27} & = -\frac{1}{3^5} \\ \frac{\frac{1}{a.(-3)}+\frac{1}{3}}{b.(-3)^3+27} & = -\frac{1}{3^5} \\ \frac{\frac{1}{-3a}+\frac{1}{3}}{-27b+27} & = -\frac{1}{3^5} \\ \frac{\frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{a} \right) }{-27( b - 1) } & = -\frac{1}{3^5} \\ \frac{ \left( 1 - \frac{1}{a} \right) }{-27 . 3 ( b - 1) } & = -\frac{1}{3^5} \\ \frac{ \left( 1 - \frac{1}{a} \right) }{-3^4 ( b - 1) } & = -\frac{1}{3^5} \\ \left( 1 - \frac{1}{a} \right) & = ( -3^4 ( b - 1)) . \left( -\frac{1}{3^5} \right) \\ \left( 1 - \frac{1}{a} \right) & = \frac{1}{3}(b-1) \end{align} $
*). Bentuk kesamaan $ \left( 1 - \frac{1}{a} \right) = \frac{1}{3}(b-1) $ berlaku hanya untuk nilai $ a = 1 $ dan $ b = 1 $.
Sehingga nilai $ a + b = 1 + 1 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Persamaan Trigonometri Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 2\sin ^2 x - \cos x = 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4}{3}\pi \, $ E). $ 2\pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $
*). Nilai $ \pi = 180^\circ $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaannya :
$\begin{align} 2\sin ^2 x - \cos x & = 1 \\ 2(1 - \cos ^2 x ) - \cos x & = 1 \\ 2 - 2\cos ^2 x - \cos x & = 1 \\ - 2\cos ^2 x - \cos x + 1 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali } -1) \\ 2\cos ^2 x + \cos x - 1 & = 0 \\ (2\cos x - 1) ( \cos x + 1 ) & = 0 \\ (2\cos x - 1) = 0 \vee ( \cos x + 1 ) & = 0 \\ \cos x = \frac{1}{2} \vee \cos x & = -1 \end{align} $
-). Untuk $ x $ pada interval $ 0 \leq x \leq \pi $ :
$ \cos x = \frac{1}{2} \rightarrow x = 60^\circ = \frac{\pi}{3} $
$ \cos x = -1 \rightarrow x = 180^\circ = \pi $
*). Menentukan jumlah nilai $ x $ nya :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{\pi}{3} + \pi \\ & = \frac{4}{3} \pi \end{align} $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = \frac{4}{3} \pi . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ b > a $, nilai $ x $ yang memenuhi $ |x-2a| + a \leq b $ adalah ....
A). $ 3a \leq x \leq 2b + a \, $
B). $ x \geq -b + 3a \, $
C). $ x \leq b + a \, $
D). $ b-3a \leq x \leq -b + a \, $
E). $ -b+3a \leq x \leq b + a $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat pertidaksamaan mutlak :
$ |f(x)| \leq k \rightarrow -k \leq f(x) \leq k $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan pertidaksamaannya :
$\begin{align} |x-2a| + a & \leq b \\ |x-2a| & \leq b - a \\ -(b-a) \leq & x-2a \leq b - a \\ -b + a \leq & x-2a \leq b - a \, \, \, \, \, \, (+2a) \\ -b + a + 2a \leq & x-2a + 2a \leq b - a + 2a \\ - b + 3a \leq & x \leq b + a \end{align} $
sehingga penyelesaiannya : $ -b + 3a \leq x \leq b + a $
Jadi, solusinya $ -b + 3a \leq x \leq b + a . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Suku Banyak Simak UI 2018 Matematika IPA kode 412

Soal yang Akan Dibahas
DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ 2x^2 - x - 1 $ bersisa $ 4ax-b $ dan dibagi $ 2x^2 + 3x + 1 $ bersisa $ -2bx+a-11$. Jika $ f(x-2) $ habis dibagi oleh $ x-3 $, maka $ a + 2b + 6 = .... $
A). $ 18 \, $ B). $ 17 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 12 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema sisa :
$ f(x) \, $ dibagi $ \, (x-a)(x-b) \, $ bersisa $ px + q $
Maka berlaku :
$ f(a) = pa + q $ dan $ f(b) = pb + q $
(substitusi akar-akar pembaginya).
*). $ f(x) $ habis dibagi $ (x-a) $ artinya sisa = 0
atau bisa kita tulis $ f(a) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertama : Diketahui suku banyak $ f(x) $
Pembaginya : $ 2x^2 - x - 1 = (2x+1)(x-1)=0 \rightarrow x = -\frac{1}{2} \vee x = 1 $
Sisa : $ s(x) = 4ax-b $
-). Menyusun persamaan :
Akar-akar pembaginya adalah $ -\frac{1}{2} $ dan $ 1 $
$\begin{align} x = -\frac{1}{2} \rightarrow f\left( -\frac{1}{2} \right) & = s\left( -\frac{1}{2} \right) \\ f\left( -\frac{1}{2} \right) & = 4a.\left( -\frac{1}{2} \right) - b \\ f\left( -\frac{1}{2} \right) & = -2a - b \, \, \, \, \, ....\text{(i)} \\ x = 1 \rightarrow f\left( 1 \right) & = s\left( 1 \right) \\ f\left( 1 \right) & = 4a.1 - b \\ f\left( 1 \right) & = 4a - b \, \, \, \, \, ....\text{(ii)} \end{align} $
*). Kedua : Diketahui suku banyak $ f(x) $
Pembaginya : $ 2x^2 + 3x + 1 = (2x+1)(x+1)=0 \rightarrow x = -\frac{1}{2} \vee x = -1 $
Sisa : $ s(x) = -2bx+a-11 $
-). Akar-akar pembaginya adalah $ -\frac{1}{2} $ dan $ -1 $
$\begin{align} x = -\frac{1}{2} \rightarrow f\left( -\frac{1}{2} \right) & = s\left( -\frac{1}{2} \right) \\ f\left( -\frac{1}{2} \right) & = -2b.\left( -\frac{1}{2} \right) + a - 11 \\ f\left( -\frac{1}{2} \right) & = a + b - 11 \, \, \, \, \, ....\text{(iii)} \end{align} $
*). Ketiga : $ f(x-2) $ habis dibagi oleh $ x-3 $
Pembaginya : $ x - 3 = 0 \rightarrow x = 3 $
Sisa : $ s(x) = 0 \, $ (karena habis dibagi)
$\begin{align} x = 3 \rightarrow f(x-2) & = 0 \\ f(3-2) & = 0 \\ f(1) & = 0 \, \, \, \, \, ....\text{(iv)} \end{align} $
*). Dari pers(ii) dan (iv) :
$ f(1) = f(1) \rightarrow 4a - b = 0 \rightarrow b = 4a $ ....(v)
*). Dari pers (i) dan (iii) , serta $ b = 4a $ :
$\begin{align} f\left( -\frac{1}{2} \right) & = f\left( -\frac{1}{2} \right) \\ a + b - 11 & = -2a - b \\ 3a + 2b & = 11 \\ 3a + 2(4a) & = 11 \\ 3a + 8a & = 11 \\ 11a & = 11 \\ a & = 1 \end{align} $
Nilai $ b = 4a = 4.1 = 4 $
Sehingga nilai :
$ a + 2b + 6 = 1+ 2.4 + 6 = 1 + 8 + 6 = 15 $
Jadi, nilai $ a + 2b + 6 = 15. \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Soal dan Pembahasan Simak UI 2018 Matematika Ipa Kode 412


Nomor 1
DIketahui suku banyak $ f(x) $ dibagi $ 2x^2 - x - 1 $ bersisa $ 4ax-b $ dan dibagi $ 2x^2 + 3x + 1 $ bersisa $ -2bx+a-11$. Jika $ f(x-2) $ habis dibagi oleh $ x-3 $, maka $ a + 2b + 6 = .... $
A). $ 18 \, $ B). $ 17 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 12 $
Nomor 2
Jika $ b > a $, nilai $ x $ yang memenuhi $ |x-2a| + a \leq b $ adalah ....
A). $ 3a \leq x \leq 2b + a \, $
B). $ x \geq -b + 3a \, $
C). $ x \leq b + a \, $
D). $ b-3a \leq x \leq -b + a \, $
E). $ -b+3a \leq x \leq b + a $
Nomor 3
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ memenuhi persamaan $ 2\sin ^2 x - \cos x = 1 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ x_1 + x_2 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} \, $ B). $ \frac{2\pi}{3} \, $ C). $ \pi \, $ D). $ \frac{4}{3}\pi \, $ E). $ 2\pi $
Nomor 4
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{bx^3+27} = -\frac{1}{3^5} $ , maka nilai $ a + b $ untuk $ a $ dan $ b $ bulat positif adalah ....
A). $ -4 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $
Nomor 5
Jika $ f(x) $ fungsi kontinu di interval $ [1,30] $ dan $ \int \limits_6^{30} f(x) dx = 30 $ , maka $ \int \limits_1^9 f(3y+3) dy = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 27 \, $

Nomor 6
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan permukaan berbahan karton. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP : PG = 4:3 $. Jika bidang PBD membagi kubus menjadi dua bagian, perbandingan luas permukaan karton adalah ....
A). $ 23:7 \, $ B). $ 23:6 \, $ C). $ 23:5 \, $ D). $ 23:4 \, $ E). $ 23:3 $
Nomor 7
DIberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga $ CP:PG=2:3$ . Jika $ \alpha $ adalah sudut terbesar yang terbentuk antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $ \tan \alpha = .... $
A). $ -\frac{2\sqrt{2}}{5} \, $ B). $ -\frac{5\sqrt{2}}{4} \, $ C). $ \frac{2\sqrt{2}}{5} \, $ D). $ \frac{5\sqrt{2}}{4} \, $ E). $ \frac{\sqrt{2}}{5} $
Nomor 8
Jika $ 3^x + 5^y = 18 $, maka nilai maksimum $ 3^x.5^y $ adalah ....
A). $ 72 \, $ B). $ 80 \, $ C). $ 81 \, $ D). $ 86 \, $ E). $ 88 $
Nomor 9
Diketahui $ sx-y=0 $ adalah garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya berada di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu X. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu X dan titik pusatnya dilalui garis $ x = -2 $ , maka nilai $ 3s $ adalah ....
A). $ \frac{1}{6} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Jika kurva $ y = (a-2)x^2+ \sqrt{3}(1-a)x + (a-2) $ selalu berada di atas sumbu X, bilangan bulat terkecil $ a - 2 $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $

Nomor 11
Jika diberikan $ 2a-b+3c = 8 $ , $ a^2 - 2b^2 = 15 $ , dan $ 7b^2+12ac=16b $ , maka nilai $ c $ adalah ....
A). $ -\frac{5}{3} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
Nomor 12
Diketahui sebuah barisan $ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{3}{16} , .... $ Suku ke-12 dari barisan tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2^{11}} \, $ B). $ \frac{1}{2^{12}} \, $ C). $ \frac{3}{2^{11}} \, $ D). $ \frac{3}{2^{12}} \, $ E). $ \frac{1}{2^{11}} + \frac{1}{3^{11}} $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Jika vektor $ \vec{a} = (3, -2, -5) $ , $ \vec{b} = (1,4,-4) $ , dan $ \vec{c} = (0, 3, 2) $, maka ....
(1). $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ membentuk jajaran genjang
(2). $ \vec{a}.(\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{b} \times \vec{c}).\vec{a} $
(3). volume jajaran genjang = 49
(4). $ \vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a} ) $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika $ f(x) = (2x-3)^7 - (2x-3)^5 + (2x-3)^3 , $ maka ....
(1). $ f $ selalu naik pada $ R $
(2). $ f $ tidak pernah turun
(3). $ f $ tidak memiliki maksimum relatif
(4). $ f $ minimum relatif pada $ x = \frac{3}{2} $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \alpha = \frac{5\pi}{12} $ , maka ....
(1). $ \sin ^4 \alpha - \cos ^4 \alpha = -\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $
(2). $ \sin ^6 \alpha - \cos ^6 \alpha = \frac{15}{32}\sqrt{3} \, $
(3). $ \cos ^4 \alpha = \frac{7}{16} -\frac{3}{4}\sqrt{3} \, $
(4). $ \sin ^4 \alpha = \frac{7}{16} + \frac{1}{4}\sqrt{3} \, $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)