Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p $ dan $ q $ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2-7x+1=0$ , maka persamaan yang akar-akarnya $ \sqrt{p} + \sqrt{q} $ dan $ p^2+q^2 $ adalah ....
A). $ x^2 - 50x + 131 = 0 \, $ B). $ x^2 - 50x + 138 = 0 \, $
C). $ x^2 - 50x + 141 = 0 \, $ D). $ x^2 - 51x + 141 = 0 \, $
E). $ x^2 - 51x + 148 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Menyusun persamaan kuadrat baru (PKB) :
$ x^2 - (HJ)x + HK = 0 $
dengan
HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali
*). Rumus bantu :
$ p^2 + q^2 = (p+q)^2 - 2pq $
$ (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 = (p+q) + 2\sqrt{pq} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ $ x^2-7x+1=0$ $ akar-akarnya $ p $ dan $ q $
Operasi akar-akarnya : $ a = 1, b = -7, c = 1 $
$ p + q = \frac{-b}{a} = \frac{-(-7)}{1} = 7 $
$ p.q = \frac{c}{a} = \frac{7}{1} = 7 $
*). Menentukan nilai $ \sqrt{p} + \sqrt{q} $ dan $ p^2 + q^2 $ dengan rumus bantu :
$\begin{align} p^2 + q^2 & = (p+q)^2 - 2pq \\ & = (7)^2 - 2.1 \\ & = 49 - 2 = 47 \\ (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 & = (p+q) + 2\sqrt{pq} \\ (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 & = (7) + 2\sqrt{1} \\ (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 & = 9 \\ \sqrt{p} + \sqrt{q} & = \sqrt{9} = 3 \end{align} $
*). Menyusun PKB yang akar-akarnya $ \sqrt{p} + \sqrt{q} $ dan $ p^2 + q^2 $ :
$\begin{align} HJ & = (\sqrt{p} + \sqrt{q}) + (p^2+q^2) \\ & = 3 + 47 = 50 \\ HK & = (\sqrt{p} + \sqrt{q}) . (p^2+q^2) \\ & = 3 . 47 = 141 \\ \text{PKB : } x^2 & - (HJ)x + HK = 0 \\ x^2 & -50x + 141 = 0 \end{align} $
Jadi, PKB nya adalah $ x^2-50x + 141 = 0 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar