Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi kuadrat $ f(x) = 9x^2 + ax - b $ yang melalui titik $ (a,-b) $ dan $ (b, -a) $ dengan $ a \neq b $. Nilai minimum $ f(x) $ adalah ....
A). $ 9 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ -\frac{1}{9} \, $ D). $ -\frac{1}{3} \, $ E). $ -1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Fungsi kuadrat $ y = ax^2 + bx + c $
Nilai maksimum/minimum :
$ \, \, \, \, y_{maks/min} = \frac{D}{-4a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
Jika $ a > 0 $ , maka diperoleh nilai minimum
Jika $ a < 0 $ , maka diperoleh nilai maksimum.
*). Setiap titik yang dilalui oleh kurva, titik tersebut boleh disubstitusikan ke persamaan kurvanya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusikan titik $ (a,-b) $ dan $ (b, -a) $ ke fungsi $ y = 9x^2 + ax - b $ :
$\begin{align} (x,y)= & (a,-b) \rightarrow \text{substitusi} \\ -b & = 9.a^2 + a.a - b \\ -b & = 9a^2 + a^2 -b \\ 10a^2 & = 0 \\ a & = 0 \\ (x,y)= & (b,-a) \rightarrow \text{substitusi} \\ -a & = 9.b^2 + a.b - b \\ 0 & = 9b^2 + 0 - b \\ 9b^2 - b & = 0 \\ b(9b - 1) & = 0 \\ b = 0 \vee b & = \frac{1}{9} \end{align} $
-). Karena $ a \neq b $ , sementara kita sudah memperoleh $ a = 0 $ , maka $ b \neq 0 $ , sehingga $ b = \frac{1}{9} $ yang memenuhi. Fungsinya menjadi $ f(x) = 9x^2 - \frac{1}{9} $
*). Menentukan nilai minimum dari $ f(x) = 9x^2 - \frac{1}{9} $ dengan $ a = 9, b = 0 , c = -\frac{1}{9} $ :
$\begin{align} f_{min} & = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} \\ & = \frac{0^2 - 4.9. -\frac{1}{9}}{-4.9} \\ & = \frac{4}{-36} = -\frac{1}{9} \end{align} $
Jadi, nilai minimum fungsinya adalah $ -\frac{1}{9} . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Untuk menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat, bisa juga mencari nilai $ x_p = \frac{-b}{2a} $, sehingga $ f_{maks/min} = f(x_p) $
$ f(x) = 9x^2 - \frac{1}{9} \rightarrow x_p = \frac{-0}{2.9} = 0 $
$ f_{min} = f(x_p) = f(0) = 9.0^2 - \frac{1}{9} = 0 - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9} $
-). Bisa juga menggunakan konsep turunan untuk menentukan nilai $ x $ yaitu $ f^\prime (x) = 0 $.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar