Pembahasan Trigonometri UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} a = \sin x + \cos y \\ b = \cos x - \sin y \end{array} \right. $
Nilai maksimum dari $ 4a^2 + 4b^2 + 4 $ adalah ....
A). $ 16 \, $ B). $ 20 \, $ C). $ 24 \, $ D). $ 28 \, $ E). $ 32 $



$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pengkuadratan :
$ (a+b) ^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$ (a-b) ^2 = a^2 + b^2 - 2ab $
*). Identitas Trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
*). Rumus selisih sudut :
$\sin (x - y) = \sin x . \cos y - \cos x . \sin y $
*). Nilai maksimum fungsi trigonometri:
-). Rentang nilai $ \sin g(x) $ yaitu : $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 $
-). Untuk $ a, b > 0 $, fungsi $ y = a + b \sin g(x) $ maksimum saat $ \sin g(x) = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan  
*). Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} a = \sin x + \cos y \\ b = \cos x - \sin y \end{array} \right. $
*). Misalkan $ f = 4a^2 + 4b^2 + 4 $
$\begin{align} f & = 4a^2 + 4b^2 + 4 \\ & = 4(\sin x + \cos y)^2 + 4(\cos x - \sin y)^2 + 4 \\ & = 4(\sin ^2 x + \cos ^2 y + 2\sin x \cos y) \\ & \, \, \, \, \, \, + 4(\cos ^2 x + \sin ^2 y - 2\cos x \sin y) + 4 \\ & = 4\sin ^2 x + 4\cos ^2 y + 8\sin x \cos y \\ & \, \, \, \, \, \, + 4\cos ^2 x + 4\sin ^2 y - 8\cos x \sin y + 4 \\ & = 4\sin ^2 x + 4\cos ^2 x + 4\cos ^2 y + 4\sin ^2 y \\ & \, \, \, \, \, \, + 8\sin x \cos y - 8\cos x \sin y + 4 \\ & = 4(\sin ^2 x + \cos ^2 x) + 4(\cos ^2 y + \sin ^2 y) \\ & \, \, \, \, \, \, + 8(\sin x \cos y - \cos x \sin y ) + 4 \\ & = 4(1) + 4(1) + 8(\sin (x-y) ) + 4 \\ & = 4 + 4 + 8\sin (x-y) + 4 \\ f & = 12 + 8\sin (x-y) \end{align} $
*). Karena rentang nilai $ -1 \leq \sin (x-y) \leq 1 $, maka bentuk $ f = 12 + 8\sin (x-y) $ maksimum pada saat $ \sin (x - y) = 1 $
*). Menentukan nilai maksimum dari $ f = 12 + 8\sin (x-y) $
$\begin{align} f & = 12 + 8\sin (x-y) \\ & = 12 + 8 (1) \\ & = 12 + 8 = 20 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum dari $ 4a^2 + 4b^2 + 4 $ adalah $ 20 . \, \heartsuit $


Tidak ada komentar:

Posting Komentar