Cara 3 Pembahasan Deret UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Jika bilangan 2001 ditulis dalam bentuk $ 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n $ maka jumlahan digit-digit dari bilangan $ n $ sama dengan ...
A). $ 5 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Penjumlahan konstanta yang sama :
$ \underbrace{a+a+a+a+a+a+a+a+...+a}_{\text{sebanyak }n} = n.a $
*). Pengelompokkan dua suku menjadi satu.
Misalkan ada $ n $ suku dari penjumlahan :
$ a + a + a + a + a + a + a + ... + a $
Kelompokkan dua suku-dua suku :
$ (a+a) + (a+a) + (a+a) + ... + (a + a) $
$ 2a + 2a + 2a + ... + 2a $
Bentuk $ 2a + 2a + 2a + ... + 2a $ memiliki $ \frac{n}{2} $ suku.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Deret $ 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n $ bisa dimodifikasi :
$\begin{align} & 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n \\ & 1 + (-2+3) + (-4+5) + ...+[-(n-1)+n] \\ & 1 + (1 + 1 + 1 + ... + 1) \end{align} $
*). Perhatikan deret $ -2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n $ memiliki $ n - 1 $ suku. Sehingga jika kita kelompokkan dua suku - dua suku menjadi $ (-2+3) + (-4+5) + ...+[-(n-1)+n] $ atau $ 1 + 1 + 1 + ... + 1 $ memiliki $ \frac{n-1}{2} $ suku.
*). Menentukan nilai $ n $ :
$\begin{align} 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n & = 2001 \\ 1 + (-2+3) + (-4+5) + ...+[-(n-1)+n] & = 2001 \\ 1 + (1+1+1+...+1) & = 2001 \\ 1 + \underbrace{1 + 1 + 1 + ... + 1 }_{\text{sebanyak } \frac{n-1}{2} } & = 2001 \\ 1 + (1). \frac{n-1}{2} & = 2001 \\ 1 + \frac{n-1}{2} & = 2001 \\ \frac{2}{2} + \frac{n-1}{2} & = 2001 \\ \frac{n + 1}{2} & = 2001 \\ n + 1 & = 4002 \\ n & = 4001 \end{align} $
Artinya kita peroleh nilai $ n = 4001 $.
Jumlah digit-digit dari $ n = 4001 $ yaitu :
Jumlah digit $ = 4 + 0 + 0 + 1 = 5 $
Jadi, jumlah digit-digit dari $ n $ adalah $ 5 . \, \heartsuit $

Tidak ada komentar:

Posting Komentar