Nomor 1
Jika $ \sqrt{a+3} = \sqrt{a} + 1 , \, $ maka $ \sqrt{a+1} = ... $
$\clubsuit \, $ Kuadratkan bentuk akar kedua ruas
$\begin{align} \sqrt{a+3} & = \sqrt{a} + 1 \\ (\sqrt{a+3})^2 & = (\sqrt{a} + 1)^2 \\ a + 3 & = a + 2\sqrt{a} + 1 \\ 2\sqrt{a} & = 2 \\ \sqrt{a} & = 1 \\ a & = 1 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \sqrt{a+1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} . \heartsuit $
$\begin{align} \sqrt{a+3} & = \sqrt{a} + 1 \\ (\sqrt{a+3})^2 & = (\sqrt{a} + 1)^2 \\ a + 3 & = a + 2\sqrt{a} + 1 \\ 2\sqrt{a} & = 2 \\ \sqrt{a} & = 1 \\ a & = 1 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \sqrt{a+1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ k+24, \, k, \, $ dan $ k-6 \, $ berturut-turut merupakan suku pertama, ketiga, dan
kelima suatu barisan geometri dengan semua suku positif, maka jumlah suku kedua dan suku keempat barisan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Diketahui : $ u_1 = k+24, \, u_3= k, \, u_5 = k-6 $
Barisan geometri dengan suku berurutan, misalkan $ u_1,u_2,u_3, \, $ atau $ u_3,u_4,u_5, \, $ atau $ u_1, u_3, u_5, \, $ atau $ u_2, u_5, u_8 , \, $ dan lainnya pasti memiliki perbandingan yang sama.
Perbandingannya sama : suku-suku $u_1, u_3, u_5 $
$\begin{align} \frac{u_3}{u_1} & = \frac{u_5}{u_3} \\ (u_3)^2 & = u_1 .u_5 \\ (k)^2 & = (k+24)(k-6) \\ k^2 & = k^2 + 18k - 24 \times 6 \\ 18k & = 24 \times 6 \\ k & = \frac{24 \times 6}{18} = 8 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r $
$ a = u_1 = k + 24 = 8 + 24 = 32 $
$ u_3 = k \rightarrow ar^2 = 8 \rightarrow 32.r^2 = 8 \rightarrow r = \frac{1}{2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan suku kedua dan keempat
$\begin{align} u_2 & = ar = 32 . \frac{1}{2} = 16 \\ u_4 & = ar^3 = 32. (\frac{1}{2})^3 = 4 \end{align} $
Sehingga nilai : $ u_2 + u_4 = 16 + 4 = 20 $
Jadi, jumlah suku kedua dan keempat adalah 20. $ \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Diketahui : $ u_1 = k+24, \, u_3= k, \, u_5 = k-6 $
Barisan geometri dengan suku berurutan, misalkan $ u_1,u_2,u_3, \, $ atau $ u_3,u_4,u_5, \, $ atau $ u_1, u_3, u_5, \, $ atau $ u_2, u_5, u_8 , \, $ dan lainnya pasti memiliki perbandingan yang sama.
Perbandingannya sama : suku-suku $u_1, u_3, u_5 $
$\begin{align} \frac{u_3}{u_1} & = \frac{u_5}{u_3} \\ (u_3)^2 & = u_1 .u_5 \\ (k)^2 & = (k+24)(k-6) \\ k^2 & = k^2 + 18k - 24 \times 6 \\ 18k & = 24 \times 6 \\ k & = \frac{24 \times 6}{18} = 8 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r $
$ a = u_1 = k + 24 = 8 + 24 = 32 $
$ u_3 = k \rightarrow ar^2 = 8 \rightarrow 32.r^2 = 8 \rightarrow r = \frac{1}{2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan suku kedua dan keempat
$\begin{align} u_2 & = ar = 32 . \frac{1}{2} = 16 \\ u_4 & = ar^3 = 32. (\frac{1}{2})^3 = 4 \end{align} $
Sehingga nilai : $ u_2 + u_4 = 16 + 4 = 20 $
Jadi, jumlah suku kedua dan keempat adalah 20. $ \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm,
maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
$\clubsuit \, $ gambarnya
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui $ {}^2 \log p = \frac{1}{3} \, $ dan $ {}^3 \log q = \frac{1}{2}. \, $ Jika $ x = p^2 \, $ dan $ y = q^3, \, $
maka $ {}^x \log y = ..... $
$\spadesuit \, $ Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Sifat Eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} {}^2 \log p & = \frac{1}{3} \rightarrow p = 2^\frac{1}{3} \\ {}^3 \log q & = \frac{1}{2} \rightarrow q = 3^\frac{1}{2} \\ x & = p^2 = (2^\frac{1}{3})^2 =2^\frac{2}{3} \\ y & = q^3 = (3^\frac{1}{2})^3 = 3^\frac{3}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} {}^x \log y & = {{}^2}^\frac{2}{3} \log 3^\frac{3}{2} \\ & = (\frac{3}{2} : \frac{2}{3}) . {}^2 \log 3 \\ & = (\frac{3}{2} \times \frac{3}{2}) . {}^2 \log 3 \\ & = \frac{9}{4}. {}^2 \log 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^x \log y = \frac{9}{4} ({}^2 \log 3) . \heartsuit $
Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Sifat Eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} {}^2 \log p & = \frac{1}{3} \rightarrow p = 2^\frac{1}{3} \\ {}^3 \log q & = \frac{1}{2} \rightarrow q = 3^\frac{1}{2} \\ x & = p^2 = (2^\frac{1}{3})^2 =2^\frac{2}{3} \\ y & = q^3 = (3^\frac{1}{2})^3 = 3^\frac{3}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} {}^x \log y & = {{}^2}^\frac{2}{3} \log 3^\frac{3}{2} \\ & = (\frac{3}{2} : \frac{2}{3}) . {}^2 \log 3 \\ & = (\frac{3}{2} \times \frac{3}{2}) . {}^2 \log 3 \\ & = \frac{9}{4}. {}^2 \log 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^x \log y = \frac{9}{4} ({}^2 \log 3) . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah
Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan
lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6,
maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
