Nomor 11
$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} = ...$
$\spadesuit \, $ Menggunakan turunan
$y=x\sqrt{x} \rightarrow y=x^{\frac{3}{2}} \rightarrow y^\prime = \frac{3}{2}\sqrt{x} $
$y=\sqrt{x} \rightarrow y=x^{\frac{1}{2}} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$\spadesuit \, $ Menentukan limitnya dengan turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x+x^{\frac{3}{2}} -4}{x^{\frac{1}{2}}-1} \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3+\frac{3}{2}\sqrt{x}-0}{\frac{1}{2\sqrt{x}}-0} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} (6\sqrt{x} + 3 x ) \\ & = 6 \sqrt{1} + 3.1 = 9 \end{align}$
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} = 9. \heartsuit $
$y=x\sqrt{x} \rightarrow y=x^{\frac{3}{2}} \rightarrow y^\prime = \frac{3}{2}\sqrt{x} $
$y=\sqrt{x} \rightarrow y=x^{\frac{1}{2}} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$\spadesuit \, $ Menentukan limitnya dengan turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x+x^{\frac{3}{2}} -4}{x^{\frac{1}{2}}-1} \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3+\frac{3}{2}\sqrt{x}-0}{\frac{1}{2\sqrt{x}}-0} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} (6\sqrt{x} + 3 x ) \\ & = 6 \sqrt{1} + 3.1 = 9 \end{align}$
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3x+x\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-1} = 9. \heartsuit $
Nomor 12
Volume balok terbesar yang luas semua bidang sisinya 96 cm$^2$ dan alasnya persegi adalah ...
$\clubsuit \, $ gambar :
$\clubsuit \, $ Luas Permukaan
$L_p = 4xt+2x^2 \rightarrow 96 = 4xt+2x^2 \rightarrow t = \frac{96-2x^2}{4x} $
$\clubsuit \, $ Volume kotak
$V=L_a \times t \rightarrow V = x^2 . t \rightarrow V = x^2 . \frac{96-2x^2}{4x} = \frac{1}{4}(96x-2x^3) $
$\clubsuit \, $ Nilai maks/min , syarat : $V^\prime = 0 $
$V^\prime = 0 \rightarrow \frac{1}{4} ( 96-6x^2 ) = 0 \rightarrow x = 4 $
$V_{\text{maks}} = \frac{1}{4}(96x-2x^3) = \frac{1}{4}(96\times 4-2\times 4^3) = 64 $
Jadi, volume kotak terbesarnya adalah 64. $ \heartsuit $
$\clubsuit \, $ Luas Permukaan
$L_p = 4xt+2x^2 \rightarrow 96 = 4xt+2x^2 \rightarrow t = \frac{96-2x^2}{4x} $
$\clubsuit \, $ Volume kotak
$V=L_a \times t \rightarrow V = x^2 . t \rightarrow V = x^2 . \frac{96-2x^2}{4x} = \frac{1}{4}(96x-2x^3) $
$\clubsuit \, $ Nilai maks/min , syarat : $V^\prime = 0 $
$V^\prime = 0 \rightarrow \frac{1}{4} ( 96-6x^2 ) = 0 \rightarrow x = 4 $
$V_{\text{maks}} = \frac{1}{4}(96x-2x^3) = \frac{1}{4}(96\times 4-2\times 4^3) = 64 $
Jadi, volume kotak terbesarnya adalah 64. $ \heartsuit $
Cara II :
$\clubsuit \, $ Volume maksimum jika diketahui luas permukaan dan alasnya persegi : $V_{\text{maks}} = \left( \frac{L_p}{6} \right)^{\frac{3}{2}} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai volume maksimum :
$V_{\text{maks}} = \left( \frac{L_p}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{96}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( 16 \right)^{\frac{3}{2}} = \left( 4^2 \right)^{\frac{3}{2}} = 4^{\not{2}\times \frac{3}{\not{2}} } = 4^3 = 64 $
Jadi, volume kotak terbesarnya adalah 64. $ \heartsuit $
$\clubsuit \, $ Volume maksimum jika diketahui luas permukaan dan alasnya persegi : $V_{\text{maks}} = \left( \frac{L_p}{6} \right)^{\frac{3}{2}} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai volume maksimum :
$V_{\text{maks}} = \left( \frac{L_p}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( \frac{96}{6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( 16 \right)^{\frac{3}{2}} = \left( 4^2 \right)^{\frac{3}{2}} = 4^{\not{2}\times \frac{3}{\not{2}} } = 4^3 = 64 $
Jadi, volume kotak terbesarnya adalah 64. $ \heartsuit $
Nomor 13
Nilai minimum dari fungsi $y=(x-3)\sqrt{x}$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan fungsi
$ y=(x-3)\sqrt{x} \rightarrow y = x\sqrt{x} - 3 \sqrt{x} \rightarrow y = x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan
$y=x\sqrt{x} \rightarrow y=x^{\frac{3}{2}} \rightarrow y^\prime = \frac{3}{2}\sqrt{x} $
$y=\sqrt{x} \rightarrow y=x^{\frac{1}{2}} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$\spadesuit \, $ Nilai maks/min , syarat : $y^\prime = 0 $
$\begin{align} y & = x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} \\ y^\prime & = \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}} \\ y^\prime & = 0 \\ \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}} & = 0 \\ \frac{3}{2} \left( \frac{x-1}{\sqrt{x}} \right) & = 0 \\ x & = 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $x=1$ ke fungsi $y=(x-3)\sqrt{x}$
$\text{Nilai} \, y_\text{min} \, = (x-3)\sqrt{x} = (1-3)\sqrt{1} = -2 $
Jadi, nilai minimumnya adalah -2. $ \heartsuit $
$ y=(x-3)\sqrt{x} \rightarrow y = x\sqrt{x} - 3 \sqrt{x} \rightarrow y = x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan
$y=x\sqrt{x} \rightarrow y=x^{\frac{3}{2}} \rightarrow y^\prime = \frac{3}{2}\sqrt{x} $
$y=\sqrt{x} \rightarrow y=x^{\frac{1}{2}} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$\spadesuit \, $ Nilai maks/min , syarat : $y^\prime = 0 $
$\begin{align} y & = x^{\frac{3}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} \\ y^\prime & = \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}} \\ y^\prime & = 0 \\ \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{3}{2\sqrt{x}} & = 0 \\ \frac{3}{2} \left( \frac{x-1}{\sqrt{x}} \right) & = 0 \\ x & = 1 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $x=1$ ke fungsi $y=(x-3)\sqrt{x}$
$\text{Nilai} \, y_\text{min} \, = (x-3)\sqrt{x} = (1-3)\sqrt{1} = -2 $
Jadi, nilai minimumnya adalah -2. $ \heartsuit $
Nomor 14
Turunan pertama dari fungsi $y=\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$ adalah ...
$\clubsuit \,$ Rumus dasar : $y=\frac{u}{v} \rightarrow y^\prime = \frac{u^\prime . v - u . v^\prime}{v^2} $
$y=\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{u}{v} $
$u = \cos x - \sin x \rightarrow u^\prime = -\sin x - \cos x $
$v = \cos x + \sin x \rightarrow v^\prime = -\sin x + \cos x $
$\clubsuit \,$ Menentukan turunannya :
$\begin{align} y^\prime & = \frac{u^\prime . v - u . v^\prime}{v^2} \\ & = \frac{(-\sin x - \cos x) . (\cos x + \sin x) - (\cos x - \sin x) . (-\sin x + \cos x)}{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = \frac{-2(\sin ^2 x + \cos ^2 x)}{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = \frac{-2\times 1}{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = \frac{-2}{(\cos x + \sin x)^2} \end{align}$
Jadi, turunan pertamanya adalah $ \frac{-2}{(\cos x + \sin x)^2} . \heartsuit $
$y=\frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{u}{v} $
$u = \cos x - \sin x \rightarrow u^\prime = -\sin x - \cos x $
$v = \cos x + \sin x \rightarrow v^\prime = -\sin x + \cos x $
$\clubsuit \,$ Menentukan turunannya :
$\begin{align} y^\prime & = \frac{u^\prime . v - u . v^\prime}{v^2} \\ & = \frac{(-\sin x - \cos x) . (\cos x + \sin x) - (\cos x - \sin x) . (-\sin x + \cos x)}{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = \frac{-2(\sin ^2 x + \cos ^2 x)}{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = \frac{-2\times 1}{(\cos x + \sin x)^2} \\ & = \frac{-2}{(\cos x + \sin x)^2} \end{align}$
Jadi, turunan pertamanya adalah $ \frac{-2}{(\cos x + \sin x)^2} . \heartsuit $
Nomor 15
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $\frac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8}=\frac{1}{2^{2x+1}}$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} , \, (a^m)^n = a^{m.n}, \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \, a^{\frac{1}{n} = a^{-n}} $
$\spadesuit \, $ Menyamakan basisnya
$\begin{align} \frac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8} & = \frac{1}{2^{2x+1}} \\ \frac{(2^2)^\frac{5-x}{3}}{2^3} & = 2^{-(2x+1)} \\ \frac{2^\frac{10-2x}{3}}{2^3} & = 2^{-(2x+1)} \\ \not{2}^{\frac{10-2x}{3} - 3 } & = \not{2}^{-(2x+1)} \\ \frac{10-2x}{3} - 3 & = -(2x+1) \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 10-2x-9 & = -6x-3 \\ 4x & = -4 \\ x & = -1 \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ x = -1 .\heartsuit $
$\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} , \, (a^m)^n = a^{m.n}, \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \, a^{\frac{1}{n} = a^{-n}} $
$\spadesuit \, $ Menyamakan basisnya
$\begin{align} \frac{\sqrt[3]{4^{5-x}}}{8} & = \frac{1}{2^{2x+1}} \\ \frac{(2^2)^\frac{5-x}{3}}{2^3} & = 2^{-(2x+1)} \\ \frac{2^\frac{10-2x}{3}}{2^3} & = 2^{-(2x+1)} \\ \not{2}^{\frac{10-2x}{3} - 3 } & = \not{2}^{-(2x+1)} \\ \frac{10-2x}{3} - 3 & = -(2x+1) \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 10-2x-9 & = -6x-3 \\ 4x & = -4 \\ x & = -1 \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ x = -1 .\heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.