Pembahasan Soal SNMPTN Matematika Dasar kode 201 tahun 2008


Nomor 1
Dalam bentuk pangkat positif, $\frac{x^{-2}-y^{-2}}{(xy)^{-2}} = ...$
$\clubsuit \, $ Rumus dasar ; $a^{-n}=\frac{1}{a^n} $ dan $(ab)^n=a^n.b^n$
$\begin{align} \frac{x^{-2}-y^{-2}}{(xy)^{-2}} & = \frac{\left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} \right) }{\frac{1}{(xy)^2}} \\ & = \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} \right) . (xy)^2 \\ & = \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2} \right) . (x^2y^2) \\ & = \frac{x^2.y^2}{x^2}- \frac{x^2.y^2}{y^2} \\ & = y^2 - x^2 \\ & = -(x^2-y^2) \\ & = -(x-y)(x+y) \end{align}$
Jadi, bentuk pangkat positifnya adalah $-(x-y)(x+y). \heartsuit $
Nomor 2
Jika $\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}} = a + b\sqrt{5}$ , maka $a+b = ...$
$\spadesuit \, $ Merasionalkan penyebutnya :
$\begin{align} a + b\sqrt{5} & = \frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{5}}} \\ & = \frac{\frac{\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}}}{\frac{\sqrt{5}+2}{2\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} \\ & = \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} \times \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} \\ & = \frac{5-4\sqrt{5}+4}{5-4} = \frac{9 - 4\sqrt{5}}{1} \\ a + b\sqrt{5} & = 9 - 4\sqrt{5} \end{align}$
Sehingga : $a = 9 $ dan $ b = -4 $
Jadi, nilai $a+b=9+(-4)=5 . \heartsuit $
Nomor 3
Garis $ax+by+c=0$ melalui titik A(1,-2), B(-5,2), dan C(10,-8). Jika $a$ , $b$ , dan $c$ tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1, maka $a+b+c = ...$
$\clubsuit \, $ Persamaan garis melalui dua titik :
A(1,-2) sebagai ($x_1,y_1$) dan B(-5,2) sebagai ($x_2,y_2$)
$\begin{align*} \frac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \frac{y-(-2)}{2-(-2)} & = \frac{x-1}{-5-1} \\ \frac{y+2}{4} & = \frac{x-1}{-6} \\ -6y-12 & = 4x - 4 \\ 4x + 6y + 8 & = 0 \\ 2x + 3y + 4 & = 0 \, \, \text{(sama dengan)} \\ ax + by + c & = 0 \end{align*}$
Sehingga, $a=2, \, b=3 , \, c= 4$
$a+b+c = 2+3+4 = 9$
Jadi, nilai $ a+b+c = 9. \heartsuit $
Nomor 4
Persamaan garis singgung pada parabola: $y=2x^2-16x+24$ di titik potongnya dengan sumbu Y adalah ...
$\spadesuit \, $ Titik potong sumbu Y, substitusi $x=0$
$y=2x^2-16x+24=2.0^2-16.0+24=24$
titik singgungnya : (0, 24) sebagai ($x_1,y_1$)
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung : $m = f^\prime (x_1) $
$y=2x^2-16x+24 \rightarrow f^\prime (x) = 4x - 16$
$m = f^\prime (x_1) \rightarrow m = f^\prime (0) \rightarrow m = 4.0 - 16 = -16 $
$\spadesuit \, $ Persamaan garis singgung :
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-24 & = -16(x-0) \\ y & = -16x + 24 \end{align}$
Jadi, PGS nya adalah $ y = -16x + 24. \heartsuit $
Nomor 5
Persamaan kuadrat $x^2-ax+1=0$ mempunyai akar $x_1$ dan $x_2$ . Jika persamaan kuadrat $x^2+px+q=0$ mempunyai akar-akar $\frac{x_1^3}{x_2}$ dan $\frac{x_2^3}{x_1}$ , maka $p = ...$
$\clubsuit \, x^2-ax+1=0 \, \, \, $ mempunyai akar $x_1$ dan $x_2$
$x_1+x_2=\frac{-b}{a} = \frac{-(-a)}{1} = a $
$x_1.x_2=\frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 $
$\begin{align*} x_1^4+x_2^4 & = \left( x_1^2 + x_2^2 \right)^2 - 2 (x_1.x_2)^2 \\ & = \left[ (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 \right]^2 - 2 (x_1.x_2)^2 \\ & = \left[ (a)^2-2\times 1 \right]^2 - 2 (1)^2 \\ & = \left( a^2-2 \right)^2 - 2 \\ x_1^4+x_2^4 & = a^4-4a^2+2 \end{align*}$
$\clubsuit \, x^2+px+q=0\, \, $ mempunyai akar-akar $\frac{x_1^3}{x_2}$ dan $\frac{x_2^3}{x_1}$
$\begin{align*} \frac{x_1^3}{x_2} + \frac{x_2^3}{x_1} & = \frac{-b}{a} \\ \frac{x_1^4+x_2^4}{x_1x_2} & = \frac{-p}{1} \\ \frac{a^4-4a^2+2}{1} & = -p \\ p & = -a^4+4a^2-2 \end{align*}$
Jadi, nilai $ p = -a^4+4a^2-2. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Posting Komentar