Nomor 11
Rumah di jalan Veteran dinomori secara urut mulai 1 sampai dengan 150. Berapa banyak rumah yang nomornya menggunakan angka 8
sekurang-kurangnya satu kali?
$\clubsuit \, $ Dibagi perkasus
* 1-79 yang memuat angka 8 ada 8 yaitu 8, 18, 28, ... , 78
* 80-90 yang memuat angka 8 ada 10 yaitu 80, 81, 82, ... , 89
* 91-150 yang memuat angka 8 ada 6 yaitu 98, 108, 118, 128, 138, 148
Jadi, total yang memuat angka 8 ada 8 + 10 + 6 = 24 angka. $ \heartsuit $
* 1-79 yang memuat angka 8 ada 8 yaitu 8, 18, 28, ... , 78
* 80-90 yang memuat angka 8 ada 10 yaitu 80, 81, 82, ... , 89
* 91-150 yang memuat angka 8 ada 6 yaitu 98, 108, 118, 128, 138, 148
Jadi, total yang memuat angka 8 ada 8 + 10 + 6 = 24 angka. $ \heartsuit $
Nomor 12
Suatu kelas terdiri atas 10 pelajar pria dan 20 pelajar wanita. Separuh pelajar pria memakai arloji dan separuh pelajar wanita
juga memakai arloji. Jika dipilih satu pelajar, maka peluang yang terpilih wanita atau memakai arloji adalah ...
$\spadesuit \, $ Ada 10P 20W , sehingga $n(S) = 10+20 = 30 $
memakai arloji : 5P dan 10W , total memakai arloji = 15
$\spadesuit \, $ Harapannya terpilih seorang wanita atau memakai arloji
$\begin{align*} n(W \cup Ar) & = n(W) + n(Ar) - n(W\cap Ar) \\ & = 20 + 15 - 10 \\ & = 25 \end{align*}$
Keterangan :
$n(W\cup Ar ) $ = banyak wanita atau memakai arloji
$n(W) $ = banyak wanita
$n(Ar ) $ = banyak memakai arloji (total)
$n(W\cap Ar ) $ = banyak wanita yang sekaligus memakai arloji
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya : $P(W\cup Ar) $
$P(W\cup Ar) = \frac{n(W\cup Ar)}{n(S)} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} $
Jadi, peluang terpilih wanita atau memakai arloji adalah $\frac{5}{6} . \heartsuit $
memakai arloji : 5P dan 10W , total memakai arloji = 15
$\spadesuit \, $ Harapannya terpilih seorang wanita atau memakai arloji
$\begin{align*} n(W \cup Ar) & = n(W) + n(Ar) - n(W\cap Ar) \\ & = 20 + 15 - 10 \\ & = 25 \end{align*}$
Keterangan :
$n(W\cup Ar ) $ = banyak wanita atau memakai arloji
$n(W) $ = banyak wanita
$n(Ar ) $ = banyak memakai arloji (total)
$n(W\cap Ar ) $ = banyak wanita yang sekaligus memakai arloji
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya : $P(W\cup Ar) $
$P(W\cup Ar) = \frac{n(W\cup Ar)}{n(S)} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} $
Jadi, peluang terpilih wanita atau memakai arloji adalah $\frac{5}{6} . \heartsuit $
Nomor 13
Diberikan barisan $U_n=\left\langle -1,1,-1,1,... \right\rangle $ dengan $n$ bilangan asli. Semua yang berikut merupakan
rumus umum untuk barisan itu, kecuali ....
(A) $U_n=(-1)^n $
(B) $U_n=-\sin (n-\frac{1}{2})\pi $
(C) $U_n=-\cos (n-1)\pi $
(D) $U_n=-\sin (n-1)\pi $
(E) $U_n= \left\{ \begin{array}{c} -1, \, \text{jika} \, n \, \text{ganjil} \\ 1, \, \text{jika} \, n \, \text{genap} \end{array} \right. $
(A) $U_n=(-1)^n $
(B) $U_n=-\sin (n-\frac{1}{2})\pi $
(C) $U_n=-\cos (n-1)\pi $
(D) $U_n=-\sin (n-1)\pi $
(E) $U_n= \left\{ \begin{array}{c} -1, \, \text{jika} \, n \, \text{ganjil} \\ 1, \, \text{jika} \, n \, \text{genap} \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Cek setiap pilihan dengan menggantikan nilai $n$
$U_n=\left\langle -1,1,-1,1,... \right\rangle $
artinya : $U_1 = -1, U_2=1, U_3=-1, ....$
Cukup dicek untuk $n=1$ dan hasilnya harus $ \, -1 \, $ karena $U_1=-1$
A. $U_n=(-1)^n \rightarrow U_1=(-1)^1 = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
B. $U_n=-\sin (n-\frac{1}{2})\pi \rightarrow U_1=-\sin (1-\frac{1}{2})\pi = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
C. $U_n=-\cos (n-1)\pi \rightarrow U_1=-\cos (1-1)\pi = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
D. $U_n=-\sin (n-1)\pi \rightarrow U_1=-\sin (1-1)\pi = 0 \, \, \, \, \, \, $ (salah)
E. $U_n= \left\{ \begin{array}{c} -1, \, \text{jika} \, n \, \text{ganjil} \\ 1, \, \text{jika} \, n \, \text{genap} \end{array} \right. \rightarrow U_1= -1 $ karena $n$ ganjil (benar)
Jadi, opsi yang salah adalah opsi D. $ \heartsuit $
$U_n=\left\langle -1,1,-1,1,... \right\rangle $
artinya : $U_1 = -1, U_2=1, U_3=-1, ....$
Cukup dicek untuk $n=1$ dan hasilnya harus $ \, -1 \, $ karena $U_1=-1$
A. $U_n=(-1)^n \rightarrow U_1=(-1)^1 = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
B. $U_n=-\sin (n-\frac{1}{2})\pi \rightarrow U_1=-\sin (1-\frac{1}{2})\pi = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
C. $U_n=-\cos (n-1)\pi \rightarrow U_1=-\cos (1-1)\pi = -1 \, \, \, \, \, \, $ (benar)
D. $U_n=-\sin (n-1)\pi \rightarrow U_1=-\sin (1-1)\pi = 0 \, \, \, \, \, \, $ (salah)
E. $U_n= \left\{ \begin{array}{c} -1, \, \text{jika} \, n \, \text{ganjil} \\ 1, \, \text{jika} \, n \, \text{genap} \end{array} \right. \rightarrow U_1= -1 $ karena $n$ ganjil (benar)
Jadi, opsi yang salah adalah opsi D. $ \heartsuit $
Nomor 14
Luas daerah pada bidang $XOY$ yang memenuhi hubungan $|x|+|y| \leq 2 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Definisi harga mutlak
$|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. \, \, \, $ dan $ \, \, \, |y| = \left\{ \begin{array}{cc} y & , y \geq 0 \\ -y & , y < 0 \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Menghilangkan harga mutlak dari bentuk $|x|+|y| \leq 2 $
* untuk $x \geq 0 , y \geq 0 \rightarrow |x| = x , |y|=y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, x+y \leq 2 \rightarrow (0,2)\, (2,0) $
* untuk $x \geq 0 , y < 0 \rightarrow |x| = x , |y|=-y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, x-y \leq 2 \rightarrow (0,-2)\, (2,0) $
* untuk $x < 0 , y \geq 0 \rightarrow |x| = -x , |y|=y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, -x+y \leq 2 \rightarrow (0,2)\, (-2,0) $
* untuk $x < 0 , y < 0 \rightarrow |x| = -x , |y|=-y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, -x-y \leq 2 \rightarrow (0,-2)\, (-2,0) $
$\spadesuit \, $ Gambarnya
Daerah arsiran membentuk belah ketupat
Luas arsir = $\frac{d_1.d_2}{2} = \frac{4\times 4 }{2} = 8 $
Jadi, luasnya adalah 8. $ \heartsuit $
$|x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , x \geq 0 \\ -x & , x < 0 \end{array} \right. \, \, \, $ dan $ \, \, \, |y| = \left\{ \begin{array}{cc} y & , y \geq 0 \\ -y & , y < 0 \end{array} \right. $
$\spadesuit \, $ Menghilangkan harga mutlak dari bentuk $|x|+|y| \leq 2 $
* untuk $x \geq 0 , y \geq 0 \rightarrow |x| = x , |y|=y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, x+y \leq 2 \rightarrow (0,2)\, (2,0) $
* untuk $x \geq 0 , y < 0 \rightarrow |x| = x , |y|=-y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, x-y \leq 2 \rightarrow (0,-2)\, (2,0) $
* untuk $x < 0 , y \geq 0 \rightarrow |x| = -x , |y|=y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, -x+y \leq 2 \rightarrow (0,2)\, (-2,0) $
* untuk $x < 0 , y < 0 \rightarrow |x| = -x , |y|=-y $
$|x|+|y| \leq 2 \, \, \text{menjadi} \, \, -x-y \leq 2 \rightarrow (0,-2)\, (-2,0) $
$\spadesuit \, $ Gambarnya
Daerah arsiran membentuk belah ketupat
Luas arsir = $\frac{d_1.d_2}{2} = \frac{4\times 4 }{2} = 8 $
Jadi, luasnya adalah 8. $ \heartsuit $
Nomor 15
Diketahui fungsi $f$ dengan $f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^2-1}{x-1} & , x \neq 1 \\ 3 & , x = 1 \end{array} \right. $
Semua pernyataan berikut benar, kecuali ...
(A) $\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) = 2 $
(B) $\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) $
(C) $f$ kontinu di $x=0$
(D) $f$ tidak kontinu di $x=1$
(E) $f$ mempunyai turunan di $x=1$
Semua pernyataan berikut benar, kecuali ...
(A) $\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) = 2 $
(B) $\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) $
(C) $f$ kontinu di $x=0$
(D) $f$ tidak kontinu di $x=1$
(E) $f$ mempunyai turunan di $x=1$
$\clubsuit \, $ Fungsi $f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^2-1}{x-1} & , x \neq 1 \\ 3 & , x = 1 \end{array} \right. $
maksudnya, untuk $x=1$ maka $f(1) = 3 $ , dan untuk $x\neq 1 $ maka $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} $
$\clubsuit \, $ Cek setiap pilihan
(A). limit $x$ mendekati 1, artinya $x\neq 1 $ sehingga $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} $
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2-1}{x-1} \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{2x}{1} \\ & = 2\times 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) & = 2 \, \, \text{(Benar)} \\ \end{align*}$
(B). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) = 2 , \, f(1) = 3 $
$\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) \, \, \, $ (Benar)
(C). $f$ kontinu di $x=0$ , harus dibuktikan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f(x) = f(0) $
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{0^2-1}{0-1} = 1 $
Nilai $ f(0) = \frac{0^2-1}{0-1} = 1 $
Karena $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f(x) = f(0) $ , maka $f$ kontinu di $x=0 \, \, $ (Benar)
(D). $f$ tidak kontinu di $x=1$ , harus dibuktikan $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) $
Berdasarkan opsi B, benar bahwa $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) $
(E). Konsep dasar turunan di $x=a$ : $f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $
Artinya : suatu fungsi $f$ mempunyai turunan di $x=a$ jika nilai fungsi $f^\prime (a) $ ada (terdefinisi) yaitu hasilnya bukan $\infty $ atau $-\infty $
* Menghitung nilai $f^\prime (1) $
$f(1+h) = \frac{(1+h)^2-1}{(1+h)-1} = \frac{h^2+2h}{h} = h +2 \, \, $ dan $\, f(1) = 3 $
$\begin{align*} f^\prime (a) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ f^\prime (1) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{(h+2)-3}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{h-1}{h} = \frac{0-1}{0} = \frac{-1}{0} \\ f^\prime (1) & = -\infty \end{align*}$
Karena nilai $f^\prime (1) = -\infty \, \, $ (tidak terdefinisi), maka $f$ tidak punya turunan di $x=1$ . (Salah)
Jadi, yang salah adalah opsi E. $ \heartsuit $
maksudnya, untuk $x=1$ maka $f(1) = 3 $ , dan untuk $x\neq 1 $ maka $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} $
$\clubsuit \, $ Cek setiap pilihan
(A). limit $x$ mendekati 1, artinya $x\neq 1 $ sehingga $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} $
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{x^2-1}{x-1} \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{2x}{1} \\ & = 2\times 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) & = 2 \, \, \text{(Benar)} \\ \end{align*}$
(B). $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) = 2 , \, f(1) = 3 $
$\displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) \, \, \, $ (Benar)
(C). $f$ kontinu di $x=0$ , harus dibuktikan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f(x) = f(0) $
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{0^2-1}{0-1} = 1 $
Nilai $ f(0) = \frac{0^2-1}{0-1} = 1 $
Karena $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f(x) = f(0) $ , maka $f$ kontinu di $x=0 \, \, $ (Benar)
(D). $f$ tidak kontinu di $x=1$ , harus dibuktikan $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) $
Berdasarkan opsi B, benar bahwa $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } f(x) \neq f(1) $
(E). Konsep dasar turunan di $x=a$ : $f^\prime (a) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} $
Artinya : suatu fungsi $f$ mempunyai turunan di $x=a$ jika nilai fungsi $f^\prime (a) $ ada (terdefinisi) yaitu hasilnya bukan $\infty $ atau $-\infty $
* Menghitung nilai $f^\prime (1) $
$f(1+h) = \frac{(1+h)^2-1}{(1+h)-1} = \frac{h^2+2h}{h} = h +2 \, \, $ dan $\, f(1) = 3 $
$\begin{align*} f^\prime (a) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \\ f^\prime (1) & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{(h+2)-3}{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{h-1}{h} = \frac{0-1}{0} = \frac{-1}{0} \\ f^\prime (1) & = -\infty \end{align*}$
Karena nilai $f^\prime (1) = -\infty \, \, $ (tidak terdefinisi), maka $f$ tidak punya turunan di $x=1$ . (Salah)
Jadi, yang salah adalah opsi E. $ \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.