Pembahasan Soal SPMK UB atau SELMA UB Matematika IPA Kode 21 tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
$\displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2+4x} - x = ... $
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $\displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+px+q} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi soal :
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2+4x} - x & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{x^2+4x} - \sqrt{x^2} \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{4-0}{2\sqrt{1}} = \frac{4}{2}=2 \end{align*}$
Jadi, nilai limitnya adalah 2 . $\heartsuit $
Nomor 7
Perhatikan barisan 240, 120, 80, 60, ... . Suku berikutnya dari barisan tersebut adalah ....
$\clubsuit \,$ Menentukan pola barisan :
$240 \underbrace{, 120}_{\times \frac{1}{2}} \underbrace{, 80}_{\times \frac{2}{3}} \underbrace{, 60}_{\times \frac{3}{4}} \underbrace{, ...}_{\times \frac{4}{5}}$
Sehingga, suku berikutnya : $ \frac{4}{5} \times 60 = 4 \times 12 = 48 $
Jadi, suku berikutnya adalah 48. $\heartsuit $
Nomor 8
Jika $a$ dan $b$ adalah bilangan real dengan $ 0 < a < b $ dan $a^2+b^2= 6ab$ maka $\frac{a-b}{a+b} = ... $
$\spadesuit \, $ Diketahui : $a^2+b^2= 6ab$
$\spadesuit \, $ Memodifikasi soal dengan dikuadratkan :
$\begin{align} \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^2 & = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} \\ & = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a^2 + b^2 + 2ab} \, \, \text{(gunakan } \, a^2+b^2= 6ab ) \\ & = \frac{6ab - 2ab}{6ab + 2ab} = \frac{4ab}{8ab} \\ \left( \frac{a-b}{a+b} \right)^2 & = \frac{1}{2} \\ \frac{a-b}{a+b} & = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, nilai $\frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 9
Grafik fungsi $f(x) = ax^2+bx+1$ mempunyai garis singgung horizontal pada titik (2,5), maka $b-a=...$
$\clubsuit \,$ Substitusi titik (2,5) ke $f(x)$
$f(x) = ax^2+bx+1 \rightarrow 5=a.2^2+b.2+1 $
$\rightarrow 4a+2b = 4 \rightarrow 2a+b = 2 $ ...pers(i)
$\clubsuit \,$ Garis singgung horizontal di titik (2,5), artinya gradiennya $m=0$
$\clubsuit \,$ gradien garis singgung di titik (2,5): $m = f^\prime (2) $
$f(x) = ax^2+bx+1 \rightarrow f^\prime (x) = 2ax+b $
$m = f^\prime (2) \rightarrow 0 = 2.a.2 + b \rightarrow 4a+b = 0 $ ...pers(ii)
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 4a+b = 0 & \\ 2a+b = 2 & - \\ \hline 2a=-2 \rightarrow a = -1 \end{array} $
pers(ii) : $ 4a+b = 0 \rightarrow 4.(-1) + b = 0 \rightarrow b = 4 $
Sehingga : $b-a= 4 - (-1) = 5 $
Jadi, nilai $ b-a = 5 . \heartsuit $
Nomor 10
Misalkan $f(x)=\int \limits_0^x (as+b)ds $ . Jika $f(-1)=1 $ dan $f(1)=3 $ , maka $ab = ... $
$\spadesuit \, $ Rumus dasar integral : $\int ax^n dx = \frac{a}{n+1}+c$ dan $\int k dx = kx + c $
$\spadesuit \, $ Menentukan integralnya terhadap $s$ :
$\begin{align} f(x) & = \int \limits_0^x (as+b)ds = \left[ \frac{1}{2}as^2 + bs \right]_0^x \\ f(x) & = \frac{1}{2}ax^2 + bx \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substiutusi $f(-1)=1 $ dan $f(1)=3 \, $ ke $f(x)$
$f(-1)=1 \rightarrow \frac{1}{2}a.(-1)^2 + b.(-1)=1 \rightarrow \frac{1}{2}a - b = 1 \, $ ...pers(i)
$f(1)=3 \rightarrow \frac{1}{2}a.(1)^2 + b.(1)=3 \rightarrow \frac{1}{2}a + b = 3 \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} \frac{1}{2}a - b = 1 & \\ \frac{1}{2}a + b = 3 & + \\ \hline a=4 , b = 1 \end{array}$
Jadi, nilai $a.b=4\times 1 = 4 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar