Pembahasan Soal SPMK UB atau SELMA UB Matematika IPA Kode 21 tahun 2013 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $x-y=1 $ dan $x^y = 64 $ , maka $x+y = ... $
$\clubsuit \,$ Substitusi $x-y=1 \rightarrow y = x-1 $
$\begin{align*} x^y & = 64 \\ x^{x-1} & = 4^3 \\ \text{sehingga} \, x & = 4 \end{align*}$
$x-y=1 \rightarrow y = x-1 = 4-1 = 3 $
Jadi, nilai $x + y = 4 + 3 = 7. \heartsuit $
Nomor 12
Garis singgung fungsi $f(x) = \sqrt{(x^2-7)^3} $ di $x = 4 $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan titik singgung :
$x = 4 \rightarrow y = \sqrt{(x^2-7)^3} \rightarrow y = \sqrt{(4^2-7)^3} = 27 $
sehingga titik singgungnya : (4,27) sebagai ($x_1,y_1$)
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan $f(x)$ :
$f(x) = \sqrt{(x^2-7)^3} = (x^2-7)^{\frac{3}{2}} $
$ f^\prime (x) = \frac{3}{2} (x^2-7)^{\frac{1}{2}} . 2x = 3x\sqrt{x^2-7} $
$\spadesuit \, $ Menentukan Gradien garis singgung :
$m = f^\prime (4) \rightarrow m = 3.4 \sqrt{4^2-7} = 36 $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan garis singgung :
$\begin{align*} y-y_1 & = m ( x-x_1) \\ y-27 & = 36 ( x-4) \\ y & = 36x - 117 \end{align*}$
Jadi, PGS nya $ y = 36x - 117 . \heartsuit $
Nomor 13
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian $x^{^2 \log x } = 16 $ , maka $x_1x_2 = ... $
$\clubsuit \,$ Definisi logaritma : $a^c = b \leftrightarrow c = {}^a \log b $
$\clubsuit \,$ Sifat logaritma : $^a\log b^n = n . {}^a \log b \, $ dan $\, {}^a \log b = \frac{1}{^b \log a} $
$\clubsuit \,$ Menyederhanakan soal :
$\begin{align*} x^{^2 \log x } = 16 \Leftrightarrow ^2 \log x & = ^x \log 16 \\ ^2 \log x & = {}^x \log 2^4 \\ ^2 \log x & = 4. {}^x \log 2 \\ ^2 \log x & = 4. \frac{1}{^2 \log x } \\ \left( ^2 \log x \right)^2 & = 4 \\ ^2 \log x & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \\ ^2 \log x = 2 \rightarrow x_1 & = 2^2 = 4 \\ ^2 \log x = -2 \rightarrow x_2 & = 2^{-2} = \frac{1}{4} \end{align*}$
Jadi, nilai $x_1.x_2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1 . \heartsuit $
Nomor 14
Jika $x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... = 2x $ , maka nilai $x$ yang mungkin adalah ....
(1). $-\sqrt{2} $       (2). -2       (3). $\sqrt{2}$       (4). 2
$\spadesuit \, $ Rumus dasar deret geometri tak hingga : $S_\infty = \frac{a}{1-r} $
Bentuk $x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... $ adalah deret geometri tak hingga
dengan $ a = x \, $ dan $\, r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{1}{x}}{x} = \frac{1}{x^2} $
$\begin{align*} x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... & = S_\infty \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{x}{1- \frac{1}{x^2} } \\ x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... & = \frac{x^3}{x^2-1} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukana nilai $x$
$\begin{align*} x+\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5} + ... & = 2x \\ \frac{x^3}{x^2-1} & = 2x \, \, \text{(bagi } \, x ) \\ \frac{x^2}{x^2-1} & = 2 \rightarrow x^2 = 2x^2 - 2 \\ x^2 & = 2 \rightarrow x = \pm \sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, nilai $x \, $ yang memenuhi adalah $ x= \sqrt{2} \, \text{atau} \, x = -\sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 15
Nilai-nilai $x$ yang memenuhi $(x^2+x-1)^{x-2} = 1 $ adalah ...
(1). -2       (2). 0       (3). 1       (4). 2
$\clubsuit \,$ Konsep dasar :
Untuk $f(x)^{g(x)} = 1 \, $ mempunyai solusi :
1. $g(x) = 0 $ , dengan syarat $f(x) \neq 0 $
2. $f(x) = 1 $
3. $f(x) = -1 $ , dengan syarat $g(x)$ genap.
$\clubsuit \,$ Menyelesaiakan soal
Bentuk $(x^2+x-1)^{x-2} = 1 $ , dengan $f(x) = x^2+x -1 $ dan $g(x) = x-2 $ ,
solusinya :
1. $g(x) = 0 \rightarrow x-2 = 0 \rightarrow x = 2 . $
Cek : syarat $f(x) \neq 0 $
$ x = 2 \rightarrow f(2) = 2^2+2 -1 = 5 \, \, \, $ (memenuhi karena tidak nol)
2. $f(x) = 1 \rightarrow x^2+x -1 = 1 \rightarrow x^2+x-2 = 0 $
$(x-1)(x+2) = 0 \rightarrow x=1 \vee x=-2 \, \, \, \, \, $ (semua memenuhi)
3. $f(x) = -1 \rightarrow x^2+x -1 = -1 \rightarrow x^2+x = 0$
$x(x+1) = 0 \rightarrow x= 0 \vee x= -1 $
Cek : syarat $g(x)$ harus genap.
$x = 0 \rightarrow g(0) = 0-2 = -2 \, \, \, \, \, $ (memenuhi karena genap)
$x = -1 \rightarrow g(-1) = -1-2 = -3 \, \, \, \, \, $ (tidak memenuhi karena ganjil)
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah 2, 1, -2, dan 0. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

3 komentar:

  1. Hallo Pak Putu. Pak itu no 12 bukannya PSG nya ada 4 ya Pak

    y = +- 27 ; m= +- 36 dan x = 4

    Karena ga ada syarat ( misalnya batas y atau m nya harus >0 atau < 0 ) di soalnya Pak.

    Terimakasih Pak Putu.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow @Bobbi,

      Terimakasih untuk kunjungan dan tanggapannya untuk artikel ini.

      Kita harus bisa membedakan "bentuk akar" dan menarik akar.
      Bentuk akar : $ \sqrt{a} $ hasilnya selalu positif.
      Menarika akar : $ x^2 = b \rightarrow x = \pm \sqrt{b} $.
      (hasilnya bisa $ + $ atau $ - $ untuk menarik akar).

      Contoh sederhana :
      $ \sqrt{4} = 2 $ bukan $ \sqrt{4} = \pm 2 $
      $ x^2 = 9 \rightarrow x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 $.

      Seperti itu penjelasannya.

      semoga bisa membantu.

      Hapus
  2. wah luar biasa Pak penjelasannya. Saya ga kepikiran tentang itu . Pantesan selama ini kadang saya kerjain soal garis singgung kok jadi banyak banget persamaannya. Karena itu toh penyebabnya.

    Bener juga kata guru Matematika saya. Beliau bilang pikiran saya suka sesat wkwk. Inilah buktinya. Terimakasih telah mengembalikan saya ke jalan yang lurus Pak Putu. Banyak catatan yang harus saya rombak karena ini.

    BalasHapus