Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 302 tahun 2008 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Untuk $0\leq x \leq 12 $ , maka nilai $x$ yang memenuhi pertaksamaan $\cos \frac{\pi x}{6} \geq \frac{1}{2} $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Rumus dasar
$\cos f(x) = \cos \theta \, \, \, \, $ Solusinya :
1. $f(x) = \theta + k.2\pi $
2. $f(x) = -\theta + k.2\pi $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x$
$\begin{align} \cos \frac{\pi x}{6} & \geq \frac{1}{2} \\ \cos \frac{\pi x}{6} & = \cos \frac{\pi}{3} \\ f(x) = \frac{\pi x}{6} & \text{dan} \, \theta = \frac{\pi}{3} \end{align}$
Solusinya :
$\begin{align} 1. \, \, f(x) & = \theta + k.2\pi \\ \frac{\pi x}{6} & = \frac{\pi}{3} + k.2\pi \, \, \, \text{(bagi } \, \pi \, ) \, \, \, \\ \frac{x}{6} & = \frac{1}{3} + 2k \, \, \, \text{(kali } \, 6 \, ) \\ x & = 2 + 12 k \\ k = 0 \rightarrow & x = 2+12.0 = 2 \\ k = 1 \rightarrow & x = 2+12.1 = 14 \end{align}$ $\begin{align} 2. \, \, f(x) & = -\theta + k.2\pi \\ \frac{\pi x}{6} & = -\frac{\pi}{3} + k.2\pi \, \, \, \text{(bagi } \, \pi \, ) \\ \frac{x}{6} & = -\frac{1}{3} + 2k \, \, \, \text{(kali } \, 6 \, ) \\ x & = -2 + 12 k \\ k = 0 \rightarrow & x = -2+12.0 = -2 \\ k = 1 \rightarrow & x = -2+12.1 = 10 \end{align}$
snmptn_mat_ipa_k302_3_2008.png
$HP_1 = \{ -2 \leq x \leq 2 \vee 10 \leq x \leq 14 \} $
Karena interval yang diminta $\{ 0\leq x \leq 12 \} $ , maka solusinya
HP = $HP_1 \cap \{ 0\leq x \leq 12 \} = \{ 0 \leq x \leq 2 \vee 10 \leq x \leq 12 \} $
Jadi, solusinya $ HP = \{ 0 \leq x \leq 2 \vee 10 \leq x \leq 12 \} . \heartsuit $
Nomor 7
Jika $x=a, \, y=b, \, $ dan $z=c $ adalah penyelesaian dari sistem persamaan linear :
$\begin{array}{c} x + y = 3 \\ x + z = 4 \\ y + z = 5 \end{array} $
maka nilai $a^2 + b^2 + c^2 $ sama dengan ....
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} x + y = 3 & \\ x + z = 4 & - \\ \hline y-z = -1 & \text{(iv)} \end{array} $
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(iii) dan pers(iv)
$\begin{array}{cc} y + z = 5 & \\ y-z = -1 & + \\ \hline 2y=4\rightarrow y =2, & z=3 \end{array} $
pers(i) : $x + y = 3 \rightarrow x + 2 = 3 \rightarrow x =1 $
sehingga : $a=x=1, b=y= 2, c =z= 3 $
$a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$
Jadi, nilai $a^2 + b^2 + c^2 = 14. \heartsuit$
Nomor 8
Jika $f(2x+4)=x $ dan $g(3-x)=x $ , maka nilai $f(g(1)) + g(f(2)) $ sama dengan ....
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $f(p)$ dan $g(p)$
* Misal $ p = 2x+4 \rightarrow x = \frac{p-4}{2} $
$\begin{align*} f(2x+4) & =x \\ f(p) & =\frac{p-4}{2} \\ f(2) & =\frac{2-4}{2} = -1 \end{align*}$
* Misal $ p = 3-x \rightarrow x = 3-p $
$\begin{align*} g(3-x) & =x \\ g(p) & =3-p \\ g(1) & = 3-1 = 2 \\ g(-1) & = 3-(-1) = 4 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$f(g(1)) + g(f(2)) = f(2) + g(-1) = -1 + 4 = 3$
Jadi, nilai $f(g(1)) + g(f(2)) = 3. \heartsuit$

Cara II
$\spadesuit \, $ Langsung menentukan nilai fungsinya
* $f(2x+4) =x $
$x=-1 \rightarrow f(2.(-1)+4) =-1 \rightarrow f(2) = -1 $
* $g(3-x) =x $
$x=2 \rightarrow g(3-2) =2 \rightarrow g(1) = 2 $
$x=4 \rightarrow g(3-4) =4 \rightarrow g(-1) = 4 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$f(g(1)) + g(f(2)) = f(2) + g(-1) = -1 + 4 = 3$
Jadi, nilai $f(g(1)) + g(f(2)) = 3. \heartsuit$
Nomor 9
Diketahui matriks $A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $ dan $I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $ . Bilangan $\lambda $ yang memenuhi $|A - \lambda I | = 0 $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan matriks ($A-\lambda I$)
$\begin{align} A-\lambda I & = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) - \lambda \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & -1-\lambda \end{matrix} \right) \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menurunkan nilai $\lambda$
$\begin{align*} | A-\lambda I | & = 0 \\ \left| \begin{matrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & -1-\lambda \end{matrix} \right| & = 0 \\ (2-\lambda)(-1-\lambda)-0.1 & = 0 \\ (2-\lambda)(-1-\lambda) & = 0 \\ \lambda = 2 & \vee \lambda = -1 \end{align*}$
Jadi, diperoleh nilai $ \lambda = 2 \vee \lambda = -1. \heartsuit $
Nomor 10
Jika $\cos a = \frac{1}{3} $ untuk $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi $ dan $\sin b = \frac{\sqrt{2}}{3} $ untuk $\frac{\pi}{2} < a < \pi $ , maka $ \frac{\sin (a+b)}{\tan a + \tan b} $ sama dengan ....
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $\sin (a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b $
$\spadesuit \, $ Buat segitiga baru
* $\sin b = \frac{\sqrt{2}}{3}, \, \frac{\pi}{2} < a < \pi $
sudut $b$ ada dikuadran II, sehingga nilai cosnya negatif.
snmptn_mat_ipa_k302_4_2008.png
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya , rumus dasar : $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
$\begin{align*} \frac{\sin (a+b)}{\tan a + \tan b} & = \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin b}{\cos b}} \\ & = \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\cos a . \cos b}} \\ & = (\sin a \cos b + \cos a \sin b ) . \frac{\cos a . \cos b}{(\sin a \cos b + \cos a \sin b)} \\ & = \cos a . \cos b = \frac{1}{3} . -\frac{\sqrt{7}}{3} \\ \frac{\sin (a+b)}{\tan a + \tan b} & = -\frac{1}{9}\sqrt{7} \end{align*}$
Jadi, nilai $\frac{\sin (a+b)}{\tan a + \tan b} = -\frac{1}{9}\sqrt{7}. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar