Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 276 tahun 2009 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui fungsi $f$ dan $g$ dengan $f(x)=x^2+4x+1 $ dan $g^\prime (x) = \sqrt{10 - x^2 } $ dengan $g^\prime $ menyatakan turunan pertama fungsi $g$ . Nilai turunan pertama fungsi $g \circ f $ di $x=0 $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan $f(x)$
$f(x)=x^2+4x+1 \rightarrow f^\prime (x) = 2x+4$
$g^\prime (x) = \sqrt{10 - x^2 } \rightarrow g^\prime (x^2+4x+1) = \sqrt{10 - (x^2+4x+1)^2 }$
$\clubsuit \, $ Konsep dasar Turunan
$y=g\left[ f(x) \right] \rightarrow y^\prime = g^\prime \left[ f(x) \right] . f^\prime (x) $
$\clubsuit \, $ Menurunkan fungsinya dan substitusi $x=0$
$\begin{align*} \text{Misalkan} \, h(x) & = (g\circ f)(x) \\ h(x) & = g[f(x)] \\ h^\prime (x) & = g^\prime [f(x)] . f^\prime (x) \\ h^\prime (x) & = g^\prime [x^2+4x+1] . (2x+4) \\ h^\prime (x) & = \sqrt{10 - (x^2+4x+1)^2 } . (2x+4) \\ x=0 \rightarrow h^\prime (0) & = \sqrt{10 - (0^2+4.0+1)^2 } . (2.0+4) \\ h^\prime (0) & = \sqrt{9 } . (4) = 3 . 4 \\ h^\prime (0) & = 12 \end{align*}$
Jadi, nilai turunan $g \circ f $ di $x=0 $ adalah 12. $ \heartsuit $
Nomor 12
Diketahui fungsi $f(x) = b - a\cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) $ , dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan real positif. Fungsi $f$ untuk $2 \leq x \leq 10 $ mencapai maksimum pada saat $ x = x_1 $ dan mencapai minimum pada saat $x=x_2 $ , maka nilai $x_1 + x_2 $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Fungsi $f(x) = b - a\cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) $
$\spadesuit \, $ Nilai maksimum $f$ adalah $f_\text{maksimum} \, = b + a $
yang tercapai pada saat $\cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) = -1 $
$\begin{align*} \cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) & = -1 \\ \cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) & = \cos \pi \\ \frac{\pi x}{4} & = \pi \\ x & = 4 \\ x_1 & = 4 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Nilai minimum $f$ adalah $f_\text{minimum} \, = b - a $
yang tercapai pada saat $\cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) = 1 $
$\begin{align*} \cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) & = 1 \\ \cos \left( \frac{\pi x}{4} \right) & = \cos 2\pi \\ \frac{\pi x}{4} & = 2\pi \\ x & = 8 \\ x_2 & = 8 \end{align*}$
Sehingga $x_1 + x_2 = 4 + 8 = 12 $
Jadi, nilai $x_1 + x_2 = 12 . \heartsuit $
Nomor 13
Jika $5x+12y = 60 $ , maka nilai minimum $\sqrt{x^2+y^2} $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Mengubah $x $ dalam $y $
$5x+12y = 60 \rightarrow x = \frac{60-12y}{5} \rightarrow x = 12-\frac{12}{5}y $
$\spadesuit \, $ Mengubah $\sqrt{x^2+y^2} $ dengan substitusi $x = 12-\frac{12}{5}y $
$\begin{align*} \sqrt{x^2+y^2} & = \sqrt{\left( 12-\frac{12}{5}y \right)^2+y^2} \\ f(y) & = \sqrt{144- \frac{288y}{5}+ \frac{169}{25}y^2} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Nilai minimum : $f^\prime (y) = 0 $
$\begin{align*} f^\prime (y) & = 0 \\ \frac{\frac{-288}{5} + \frac{2\times 169}{25}y }{2\sqrt{144- \frac{288y}{5}+ \frac{169}{25}y^2}} & = 0 \\ \frac{-288}{5} + \frac{2\times 169}{25}y & = 0 \\ y & = \frac{720}{169} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $y$ ke $f(y) $
$f_\text{min} \, = \sqrt{144- \frac{288.\frac{720}{169}}{5}+ \frac{169}{25}\left( \frac{720}{169} \right)^2} $
$f_\text{min} \, = \frac{60}{13} $
Jadi, nilai minimumnya adalah $ \frac{60}{13}. \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Jika diketahui $ax+by=c $ , maka nilai minimum dari
$ \sqrt{x^2+y^2} = \left| \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
$\spadesuit \, $ Persamaan : $5x+12y = 60 $ , nilai $ a = 5, b = 12, c = 60 $
Nilai minimum : $ \sqrt{x^2+y^2} = \left| \frac{60}{\sqrt{5^2+12^2}} \right| = \frac{60}{13} $
Jadi, nilai minimumnya adalah $ \frac{60}{13}. \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui kubus ABCD.EFGH . Titik tengah sisi AB, BF, dan FG diberi simbol X, Y, dan Z. Besar sudut $\angle $XYZ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
snmptn_mat_ipa_k276_4_2009.png
$\spadesuit \, $ Misalkan panjang rusuk kubus 2 (panjang rusuknya bebas),
$\Delta$XYZ sama kaki, sehingga XY = YZ = $\sqrt{2}$
$\Delta$BFZ, $\begin{align*} BZ^2 & =BF^2+FZ^2 \\ & = 2^2 + 1^2 \\ BZ^2 & = 5 \end{align*}$
$\Delta$XBZ, $\begin{align*} XZ^2 & =XB^2+BZ^2 \\ & = 1^2 + 5 \\ XZ^2 & = 6 \\ XZ & = \sqrt{6} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Aturan cosinus pada $\Delta$XYZ
$\begin{align*} XZ^2 & = XY^2 + ZY^2 - 2.XY.ZY. \cos \theta \\ \cos \theta & = \frac{XY^2 + ZY^2 - XZ^2}{2.XY.ZY} \\ & = \frac{(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2})^2 - \sqrt{6})^2}{2.\sqrt{2}.\sqrt{2}} \\ & = \frac{2+2-6}{2.2} = \frac{-2}{4} = \frac{-1}{2} \\ \cos \theta & = \frac{-1}{2} \rightarrow \theta = 120^\circ \end{align*}$
Jadi, besar sudut $\angle XYZ = 120^\circ . \heartsuit $
Nomor 15
Titik ($a,b$ ) adalah titik maksimum grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{(x+1)^2+4} $ . Nilai $a+b $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Agar $f(x)=\frac{1}{g(x)} $ maksimum, maka $g(x) $ (penyebutnya) harus minimum
$f(x)=\frac{1}{(x+1)^2+4} \rightarrow g(x) = (x+1)^2+4 \, \, $ dengan $\, \, g^\prime (x) = 2(x+1) $
$\clubsuit \, $ Nilai minimum $g(x) $, syarat : $g^\prime (x) = 0 $
$g^\prime (x) = 0 \rightarrow 2(x+1) = 0 \rightarrow x = -1 $
Artinya $g(x) $ minimum saat $x=-1$ , berarti $a=-1$
$\clubsuit \, $ Nilai maksimum $f$ saat $x=-1$
$f(x)=\frac{1}{(x+1)^2+4} \rightarrow f_\text{maks} \, = \frac{1}{(-1+1)^2+4} = \frac{1}{4} $
sehingga $b = \frac{1}{4} $
diperoleh titik maksimum : ($a,b$) = ($-1, \frac{1}{4}$ ) .
Nilai $a+b = -1 + \frac{1}{4} = \frac{-3}{4} $
Jadi, nilai $a+b = \frac{-3}{4} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

7 komentar:

  1. Trimakasih mas atas berbaginya

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow #leon
      sama-sama. semoga bermanfaat.
      Terima kasih untuk kunjungannya.

      Hapus
  2. Halo mas Darma, saya agak bingung nih untuk nomor 13 bagian cara 2 nya. Kenapa nilai minimum nya seperti itu jadinya mas? Jadi rumus gitu. Gimana seandainya jika yang ditanya bukan sqrt x^2 + y^2 ? 3x^2 + 2y^2 misalnya.

    Di salah satu buku sbmptn pembahasannya sama mas (utk cara 2), cuma ada selipan gambar sedikit kayak gini :

    http://i.imgur.com/SUXkNYR.jpg

    Nah hubungan gambar dengan jarak minimum yang diminta apa ya mas? Memang disitu terlihat segitiga phytagoras. Makasih mas.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow, dek deny.
      untuk cara 2 nomor 13, itu adalah rumus cepatnya.
      rumus tersebut hanya berlaku untuk bentuk $ \sqrt{x^2+y^2} \, $ saja, dan rumus itu sudah pasti, dimana cara menemukan rumus tersebut menggunakan konsep turunan.

      untuk penjelasan gambar http://i.imgur.com/SUXkNYR.jpg ,
      juga bisa yaitu jarak minimumnya adalah jarak dari pusat lingkaran ke persamaan garis (yang sama dengan jari-jarinya), nanti menggunakan jarak titik ke garis yang tidak ditampilkan pada gambar tersebut.

      Begitu penjelasannya deny.

      Hapus
    2. Oh begitu saya mengerti, makasih mas.

      Oh berarti kalau menggunakan jarak titik ke garis itu untuk mendapatkan jari-jari nya kan mas? Bukannya dibutuhkan titik pusatnya juga? Dari rumus di atas, sepertinya titik pusat (5,12) ya, tapi kenapa gak ada ax+by nya seperti rumus jarak ke titik mas? Memang sudah dari sana ya, kalau begitu saya belajar lagi deh turunannya hehe

      Hapus
    3. iya, jarak titik untuk menentukan jari-jarinya.
      titik pusat lingkarannya (0,0), karena bentuk persamaan
      lingkarannya $x^2 + y^2 = r^2 \, $ dari bentuk $ r = \sqrt{x^2+y^2} \, $ .

      Karena titik pusatnya (0,0), maka $ ax + by \, $ hilanga atau bernilai nol.

      Seperti itu penjelasannya den.

      Hapus
    4. Wah ternyata begitu ya penjelasannya mas. Paham2 mas. Jadi sebenarnya harus bisa melihat bahwa yang ditanyakan itu jari-jari dari lingkarannya ya mas, bukan sembarang nilai yang disubstitusi aja, jadi lebih mudah dengan memasukkan rumus jarak ke garis. Makasih mas.

      Hapus