Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2006


Nomor 1
Jika $a > 0 , \, b > 0$ dan $a\neq b $ , maka $ \frac{(a+b)^{-1}(a^{-2}-b^{-2})}{(a^{-1}+b^{-1})(ab^{-1}-a^{-1}b)} = ....$
$\clubsuit \, $ Konsep dasar : $a^{-n}=\frac{1}{a^n} $
$\begin{align} & \frac{(a+b)^{-1}(a^{-2}-b^{-2})}{(a^{-1}+b^{-1})(ab^{-1}-a^{-1}b)} \\ & = \frac{\left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} \right)}{ \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right) \left( \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \right) } \\ & = \frac{\left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{b^2-a^2}{a^2b^2} \right)}{ \left( \frac{a+b}{ab} \right) \left( \frac{a^2-b^2}{ab} \right) } \\ & = \left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{b^2-a^2}{ab.ab} \right) \left( \frac{ab}{a+b} \right) \left( \frac{ab}{a^2-b^2} \right) \, \, \text{(coret } \, ab ) \\ & = \left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{b^2-a^2}{1} \right) \left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{1}{a^2-b^2} \right) \\ & = \left( \frac{1}{a+b} \right)^2 \left( \frac{-(a^2-b^2)}{1} \right) \left( \frac{1}{a^2-b^2} \right) \\ & = -\left( \frac{1}{a+b} \right)^2 = \frac{-1}{(a+b)^2} \end{align}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ \frac{-1}{(a+b)^2} . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $p=(x^\frac{3}{2}+x^\frac{1}{2})(x^\frac{1}{3}-x^{-\frac{1}{3}}) $ dan $q=(x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}})(x-x^{\frac{1}{3}}) $ , maka $\frac{p}{q} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $a^{-n}=\frac{1}{a^n} , \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ dan $ a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m} $
$\spadesuit \, $ Distributif
$(x^\frac{3}{2}+x^\frac{1}{2}) = x (x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2}) $
$(x-x^{\frac{1}{3}}) = x^\frac{2}{3}. (x^\frac{1}{3}-x^{\frac{-1}{3}}) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{p}{q} & = \frac{(x^\frac{3}{2}+x^\frac{1}{2})(x^\frac{1}{3}-x^{-\frac{1}{3}})}{ (x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}})(x-x^{\frac{1}{3}})} \\ & = \frac{ \left[ x (x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2}) \right] (x^\frac{1}{3}-x^{-\frac{1}{3}})}{ (x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}}) \left[ x^\frac{2}{3}. (x^\frac{1}{3}-x^{\frac{-1}{3}}) \right] } \\ & = \frac{x}{x^\frac{2}{3}} = x^{1-\frac{2}{3}} = x^\frac{1}{3} \\ & = \sqrt[3]{x} \end{align}$
Jadi, bentuk $ \frac{p}{q} = \sqrt[3]{x} . \heartsuit $
Nomor 3
Grafik $y=\frac{3}{x} - 2x $ terletak di atas garis $y=x $ untuk $x $ yang memenuhi ....
$\clubsuit \, $ Grafik $y_1=\frac{3}{x} - 2x $ di atas $y_2=x $ artinya $y_1 > y_2 $
$\begin{align*} y_1 & > y_2 \\ \frac{3}{x} - 2x & > x \\ \frac{3}{x} - 3x & > 0 \\ \frac{3-3x^2}{x} & > 0 \\ \frac{3(1-x^2)}{x} & > 0 \\ x=\pm 1 & \vee x = 0 \end{align*}$
spmb_matdas_1_2006.png
HP = $\{ x < -1 \vee 0 < x < 1 \} $
Jadi, grafik $y_1 $ di atas $y_2 $ pada interval $ \{ x < -1 \vee 0 < x < 1 \} . \heartsuit $
Nomor 4
Jika $x_1 $ dan $x_2 $ akar-akar persamaan kuadrat $x^2-3x+1 = 0 $ , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_1+\frac{1}{x_1} $ dan $x_2+\frac{1}{x_2} $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Persamaan : $x^2-3x+1 = 0 $
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 \, \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 $
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2(x_1.x_2) = (3)^2 - 2. 1 = 9- 2 = 7 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil jumlah (HJ) dan kali (HK)
$\begin{align} HJ & = (x_1+\frac{1}{x_1} ) + ( x_2+\frac{1}{x_2} ) \\ & = (x_1+x_2) + \left( \frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2} \right) \\ & = (x_1+x_2) + \left( \frac{x_1+x_2}{x_1.x_2} \right) \\ & = 3 + \left( \frac{3}{1} \right) = 3+ 3 = 6 \end{align}$ $\begin{align} HK & = (x_1+\frac{1}{x_1} ) . ( x_2+\frac{1}{x_2} ) \\ & = x_1.x_2 + \left( \frac{x_1}{x_2}+ \frac{x_2}{x_1} \right) + \frac{1}{x_1.x_2} \\ & = x_1.x_2 + \left( \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2} \right) + \frac{1}{x_1.x_2} \\ & = 1 + \left( \frac{7}{1} \right) + \frac{1}{1} \\ & = 1 + 7 + 1 = 9 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan kuadrat
Rumus dasar : $x^2 -(HJ)x + HK = 0 $
PK : $x^2 -(HJ)x + HK = 0 \rightarrow x^2 - 6x + 9 = 0 $
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 - 6x + 9 = 0 . \heartsuit $
Nomor 5
Jika garis h : $y=ax+1 $ dan g : $y=2x-1 $ berpotongan tegak lurus di titik A, maka koordinat A adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $a$
$y_1=ax+1 \rightarrow m_1 = a \, \, \, $ (gradien garis 1 )
$y_2=2x-1 \rightarrow m_2 = 2 \, \, \, $ (gradien garis 2 )
$\clubsuit \, $ kedua garis tegak lurus , berlaku : $m_1.m_2 = -1 $
$m_1.m_2 = -1 \rightarrow a . 2 = -1 \rightarrow a = \frac{-1}{2} $
sehingga garis satu : $y_1=\frac{-1}{2} x+1 $
$\clubsuit \, $ Menentukan titik potong kedua garis
$\begin{align*} y_1 & = y_2 \\ \frac{-1}{2} x+1 & = 2x-1 \, \, \, \text{(kali 2)} \\ -x + 2 & = 4x-2 \\ 5x & = 4 \rightarrow x = \frac{4}{5} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $x = \frac{4}{5} \, $ ke garis 2
$y=2x-1 \rightarrow y=2.\frac{4}{5}-1 = \frac{8}{5} - 1 = \frac{3}{5} \rightarrow y = \frac{3}{5} $
Sehingga titik potongnya adalah $\left( \frac{4}{5} , \frac{3}{5} \right) $
Jadi, titik A adalah $ \left( \frac{4}{5} , \frac{3}{5} \right) . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

8 komentar:

  1. Makasih banyak nih membantu banget=)

    BalasHapus
    Balasan
    1. sama-sama.
      trims untuk kunjungannya ke blog ini.
      selamat belajar terus.

      Hapus
  2. Terima kasih banyak min.. Ohiya saya mau tanya no 3, knp ya 3/x - 3x > 0 nya gak boleh dikali x aja kedua ruas buat hilangin per x nya itu? Mohon bantuannya. Sekali lagi terima kasihh

    BalasHapus
    Balasan
    1. hallow #been there
      terima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.

      Untuk pertidaksamaan dalam bentuk pecahan, kita tidak boleh menghilangkan penyebutnya baik dengan mengalikan silang atau dengan mengalikan bentuk tertentu. Hal ini karena jika penyebutnya hilang, maka akar-akar dari penyebutnya juga hilang sehingga akar penyelesaian pertidaksamaan juga berkurang, dima semua akar-akar baik pembilang dan penyebut sama-sama menentukan penyelesaian pertidaksamaan.
      Seperti itu penjelasannya.

      Hapus
    2. Tapi hasil x akan sama jika kedua ruas di kali x

      Hapus
    3. Hallow @Aris,

      Terimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.

      Jika kita kalikan $ x $ kedua ruas, maka penyebutnya akan hilang yang mengakibatkan akar penyebutnya juga hilang. Sementara untuk pertidaksamaan pecahan, akar pembilang dan penyebut kedua harus kita gunakan.

      Seperti itu penjelasannya.

      semoga terus bisa membantu.

      Hapus
  3. Balasan
    1. Hallow @akaba,

      Terima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.

      Semoga terus bisa membantu.

      Hapus