Nomor 1
Jika $a > 0 , \, b > 0$ dan $a\neq b $ , maka $ \frac{(a+b)^{-1}(a^{-2}-b^{-2})}{(a^{-1}+b^{-1})(ab^{-1}-a^{-1}b)} = ....$
$\clubsuit \, $ Konsep dasar : $a^{-n}=\frac{1}{a^n} $
$\begin{align} & \frac{(a+b)^{-1}(a^{-2}-b^{-2})}{(a^{-1}+b^{-1})(ab^{-1}-a^{-1}b)} \\ & = \frac{\left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} \right)}{ \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right) \left( \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \right) } \\ & = \frac{\left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{b^2-a^2}{a^2b^2} \right)}{ \left( \frac{a+b}{ab} \right) \left( \frac{a^2-b^2}{ab} \right) } \\ & = \left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{b^2-a^2}{ab.ab} \right) \left( \frac{ab}{a+b} \right) \left( \frac{ab}{a^2-b^2} \right) \, \, \text{(coret } \, ab ) \\ & = \left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{b^2-a^2}{1} \right) \left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{1}{a^2-b^2} \right) \\ & = \left( \frac{1}{a+b} \right)^2 \left( \frac{-(a^2-b^2)}{1} \right) \left( \frac{1}{a^2-b^2} \right) \\ & = -\left( \frac{1}{a+b} \right)^2 = \frac{-1}{(a+b)^2} \end{align}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ \frac{-1}{(a+b)^2} . \heartsuit $
$\begin{align} & \frac{(a+b)^{-1}(a^{-2}-b^{-2})}{(a^{-1}+b^{-1})(ab^{-1}-a^{-1}b)} \\ & = \frac{\left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} \right)}{ \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right) \left( \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \right) } \\ & = \frac{\left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{b^2-a^2}{a^2b^2} \right)}{ \left( \frac{a+b}{ab} \right) \left( \frac{a^2-b^2}{ab} \right) } \\ & = \left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{b^2-a^2}{ab.ab} \right) \left( \frac{ab}{a+b} \right) \left( \frac{ab}{a^2-b^2} \right) \, \, \text{(coret } \, ab ) \\ & = \left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{b^2-a^2}{1} \right) \left( \frac{1}{a+b} \right) \left( \frac{1}{a^2-b^2} \right) \\ & = \left( \frac{1}{a+b} \right)^2 \left( \frac{-(a^2-b^2)}{1} \right) \left( \frac{1}{a^2-b^2} \right) \\ & = -\left( \frac{1}{a+b} \right)^2 = \frac{-1}{(a+b)^2} \end{align}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ \frac{-1}{(a+b)^2} . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $p=(x^\frac{3}{2}+x^\frac{1}{2})(x^\frac{1}{3}-x^{-\frac{1}{3}}) $ dan $q=(x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}})(x-x^{\frac{1}{3}}) $
, maka $\frac{p}{q} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $a^{-n}=\frac{1}{a^n} , \, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ dan $ a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m} $
$\spadesuit \, $ Distributif
$(x^\frac{3}{2}+x^\frac{1}{2}) = x (x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2}) $
$(x-x^{\frac{1}{3}}) = x^\frac{2}{3}. (x^\frac{1}{3}-x^{\frac{-1}{3}}) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{p}{q} & = \frac{(x^\frac{3}{2}+x^\frac{1}{2})(x^\frac{1}{3}-x^{-\frac{1}{3}})}{ (x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}})(x-x^{\frac{1}{3}})} \\ & = \frac{ \left[ x (x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2}) \right] (x^\frac{1}{3}-x^{-\frac{1}{3}})}{ (x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}}) \left[ x^\frac{2}{3}. (x^\frac{1}{3}-x^{\frac{-1}{3}}) \right] } \\ & = \frac{x}{x^\frac{2}{3}} = x^{1-\frac{2}{3}} = x^\frac{1}{3} \\ & = \sqrt[3]{x} \end{align}$
Jadi, bentuk $ \frac{p}{q} = \sqrt[3]{x} . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Distributif
$(x^\frac{3}{2}+x^\frac{1}{2}) = x (x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2}) $
$(x-x^{\frac{1}{3}}) = x^\frac{2}{3}. (x^\frac{1}{3}-x^{\frac{-1}{3}}) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{p}{q} & = \frac{(x^\frac{3}{2}+x^\frac{1}{2})(x^\frac{1}{3}-x^{-\frac{1}{3}})}{ (x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}})(x-x^{\frac{1}{3}})} \\ & = \frac{ \left[ x (x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2}) \right] (x^\frac{1}{3}-x^{-\frac{1}{3}})}{ (x^\frac{1}{2}+x^{-\frac{1}{2}}) \left[ x^\frac{2}{3}. (x^\frac{1}{3}-x^{\frac{-1}{3}}) \right] } \\ & = \frac{x}{x^\frac{2}{3}} = x^{1-\frac{2}{3}} = x^\frac{1}{3} \\ & = \sqrt[3]{x} \end{align}$
Jadi, bentuk $ \frac{p}{q} = \sqrt[3]{x} . \heartsuit $
Nomor 3
Grafik $y=\frac{3}{x} - 2x $ terletak di atas garis $y=x $ untuk $x $ yang memenuhi ....
$\clubsuit \, $ Grafik $y_1=\frac{3}{x} - 2x $ di atas $y_2=x $ artinya $y_1 > y_2 $
$\begin{align*} y_1 & > y_2 \\ \frac{3}{x} - 2x & > x \\ \frac{3}{x} - 3x & > 0 \\ \frac{3-3x^2}{x} & > 0 \\ \frac{3(1-x^2)}{x} & > 0 \\ x=\pm 1 & \vee x = 0 \end{align*}$
HP = $\{ x < -1 \vee 0 < x < 1 \} $
Jadi, grafik $y_1 $ di atas $y_2 $ pada interval $ \{ x < -1 \vee 0 < x < 1 \} . \heartsuit $
$\begin{align*} y_1 & > y_2 \\ \frac{3}{x} - 2x & > x \\ \frac{3}{x} - 3x & > 0 \\ \frac{3-3x^2}{x} & > 0 \\ \frac{3(1-x^2)}{x} & > 0 \\ x=\pm 1 & \vee x = 0 \end{align*}$
HP = $\{ x < -1 \vee 0 < x < 1 \} $
Jadi, grafik $y_1 $ di atas $y_2 $ pada interval $ \{ x < -1 \vee 0 < x < 1 \} . \heartsuit $
Nomor 4
Jika $x_1 $ dan $x_2 $ akar-akar persamaan kuadrat $x^2-3x+1 = 0 $ , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya
$x_1+\frac{1}{x_1} $ dan $x_2+\frac{1}{x_2} $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Persamaan : $x^2-3x+1 = 0 $
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 \, \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 $
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2(x_1.x_2) = (3)^2 - 2. 1 = 9- 2 = 7 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil jumlah (HJ) dan kali (HK)
$\begin{align} HJ & = (x_1+\frac{1}{x_1} ) + ( x_2+\frac{1}{x_2} ) \\ & = (x_1+x_2) + \left( \frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2} \right) \\ & = (x_1+x_2) + \left( \frac{x_1+x_2}{x_1.x_2} \right) \\ & = 3 + \left( \frac{3}{1} \right) = 3+ 3 = 6 \end{align}$ $\begin{align} HK & = (x_1+\frac{1}{x_1} ) . ( x_2+\frac{1}{x_2} ) \\ & = x_1.x_2 + \left( \frac{x_1}{x_2}+ \frac{x_2}{x_1} \right) + \frac{1}{x_1.x_2} \\ & = x_1.x_2 + \left( \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2} \right) + \frac{1}{x_1.x_2} \\ & = 1 + \left( \frac{7}{1} \right) + \frac{1}{1} \\ & = 1 + 7 + 1 = 9 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan kuadrat
Rumus dasar : $x^2 -(HJ)x + HK = 0 $
PK : $x^2 -(HJ)x + HK = 0 \rightarrow x^2 - 6x + 9 = 0 $
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 - 6x + 9 = 0 . \heartsuit $
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 \, \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{1} = 1 $
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2(x_1.x_2) = (3)^2 - 2. 1 = 9- 2 = 7 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil jumlah (HJ) dan kali (HK)
$\begin{align} HJ & = (x_1+\frac{1}{x_1} ) + ( x_2+\frac{1}{x_2} ) \\ & = (x_1+x_2) + \left( \frac{1}{x_1}+ \frac{1}{x_2} \right) \\ & = (x_1+x_2) + \left( \frac{x_1+x_2}{x_1.x_2} \right) \\ & = 3 + \left( \frac{3}{1} \right) = 3+ 3 = 6 \end{align}$ $\begin{align} HK & = (x_1+\frac{1}{x_1} ) . ( x_2+\frac{1}{x_2} ) \\ & = x_1.x_2 + \left( \frac{x_1}{x_2}+ \frac{x_2}{x_1} \right) + \frac{1}{x_1.x_2} \\ & = x_1.x_2 + \left( \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2} \right) + \frac{1}{x_1.x_2} \\ & = 1 + \left( \frac{7}{1} \right) + \frac{1}{1} \\ & = 1 + 7 + 1 = 9 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan kuadrat
Rumus dasar : $x^2 -(HJ)x + HK = 0 $
PK : $x^2 -(HJ)x + HK = 0 \rightarrow x^2 - 6x + 9 = 0 $
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ x^2 - 6x + 9 = 0 . \heartsuit $
Nomor 5
Jika garis h : $y=ax+1 $ dan g : $y=2x-1 $ berpotongan tegak lurus di titik A, maka koordinat A adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $a$
$y_1=ax+1 \rightarrow m_1 = a \, \, \, $ (gradien garis 1 )
$y_2=2x-1 \rightarrow m_2 = 2 \, \, \, $ (gradien garis 2 )
$\clubsuit \, $ kedua garis tegak lurus , berlaku : $m_1.m_2 = -1 $
$m_1.m_2 = -1 \rightarrow a . 2 = -1 \rightarrow a = \frac{-1}{2} $
sehingga garis satu : $y_1=\frac{-1}{2} x+1 $
$\clubsuit \, $ Menentukan titik potong kedua garis
$\begin{align*} y_1 & = y_2 \\ \frac{-1}{2} x+1 & = 2x-1 \, \, \, \text{(kali 2)} \\ -x + 2 & = 4x-2 \\ 5x & = 4 \rightarrow x = \frac{4}{5} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $x = \frac{4}{5} \, $ ke garis 2
$y=2x-1 \rightarrow y=2.\frac{4}{5}-1 = \frac{8}{5} - 1 = \frac{3}{5} \rightarrow y = \frac{3}{5} $
Sehingga titik potongnya adalah $\left( \frac{4}{5} , \frac{3}{5} \right) $
Jadi, titik A adalah $ \left( \frac{4}{5} , \frac{3}{5} \right) . \heartsuit$
$y_1=ax+1 \rightarrow m_1 = a \, \, \, $ (gradien garis 1 )
$y_2=2x-1 \rightarrow m_2 = 2 \, \, \, $ (gradien garis 2 )
$\clubsuit \, $ kedua garis tegak lurus , berlaku : $m_1.m_2 = -1 $
$m_1.m_2 = -1 \rightarrow a . 2 = -1 \rightarrow a = \frac{-1}{2} $
sehingga garis satu : $y_1=\frac{-1}{2} x+1 $
$\clubsuit \, $ Menentukan titik potong kedua garis
$\begin{align*} y_1 & = y_2 \\ \frac{-1}{2} x+1 & = 2x-1 \, \, \, \text{(kali 2)} \\ -x + 2 & = 4x-2 \\ 5x & = 4 \rightarrow x = \frac{4}{5} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $x = \frac{4}{5} \, $ ke garis 2
$y=2x-1 \rightarrow y=2.\frac{4}{5}-1 = \frac{8}{5} - 1 = \frac{3}{5} \rightarrow y = \frac{3}{5} $
Sehingga titik potongnya adalah $\left( \frac{4}{5} , \frac{3}{5} \right) $
Jadi, titik A adalah $ \left( \frac{4}{5} , \frac{3}{5} \right) . \heartsuit$
Makasih banyak nih membantu banget=)
BalasHapussama-sama.
Hapustrims untuk kunjungannya ke blog ini.
selamat belajar terus.
Terima kasih banyak min.. Ohiya saya mau tanya no 3, knp ya 3/x - 3x > 0 nya gak boleh dikali x aja kedua ruas buat hilangin per x nya itu? Mohon bantuannya. Sekali lagi terima kasihh
BalasHapushallow #been there
Hapusterima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.
Untuk pertidaksamaan dalam bentuk pecahan, kita tidak boleh menghilangkan penyebutnya baik dengan mengalikan silang atau dengan mengalikan bentuk tertentu. Hal ini karena jika penyebutnya hilang, maka akar-akar dari penyebutnya juga hilang sehingga akar penyelesaian pertidaksamaan juga berkurang, dima semua akar-akar baik pembilang dan penyebut sama-sama menentukan penyelesaian pertidaksamaan.
Seperti itu penjelasannya.
Tapi hasil x akan sama jika kedua ruas di kali x
HapusHallow @Aris,
HapusTerimakasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.
Jika kita kalikan $ x $ kedua ruas, maka penyebutnya akan hilang yang mengakibatkan akar penyebutnya juga hilang. Sementara untuk pertidaksamaan pecahan, akar pembilang dan penyebut kedua harus kita gunakan.
Seperti itu penjelasannya.
semoga terus bisa membantu.
Terima Kasih min..
BalasHapusHallow @akaba,
HapusTerima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia-informa ini.
Semoga terus bisa membantu.