Nomor 11
$\displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}-1} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $ \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $
$\spadesuit \, $ Merasionalkan penyebutnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}-1} & = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}-1} . \frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{(1-x)-1} . (\sqrt{1-x}+1) \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{-x} . (\sqrt{1-x}+1) \\ & = \frac{1}{-1} . (\sqrt{1-0}+1) \\ & = -2 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah -2. $ \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Merasionalkan penyebutnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}-1} & = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}-1} . \frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{(1-x)-1} . (\sqrt{1-x}+1) \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{-x} . (\sqrt{1-x}+1) \\ & = \frac{1}{-1} . (\sqrt{1-0}+1) \\ & = -2 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah -2. $ \heartsuit $
Nomor 12
Kurva $y = x^3+6x^2-16 \, $ naik untuk nilai $x \, $ yang memenuhi ....
$\clubsuit \, $ Fungsi naik , syarat : $f^\prime {x} > 0 $
$y = x^3+6x^2-16 \rightarrow y^\prime = 3x^2+12x $
$\begin{align} \text{Fungsi naik} \, \rightarrow y^\prime & > 0 \\ 3x^2+12x & > 0 \\ 3x(x+4) & > 0 \\ x=0 & \vee x = -4 \end{align}$
Jadi, fungsi naik saat $ \{ x < -4 \vee x > 0 \} . \heartsuit $
$y = x^3+6x^2-16 \rightarrow y^\prime = 3x^2+12x $
$\begin{align} \text{Fungsi naik} \, \rightarrow y^\prime & > 0 \\ 3x^2+12x & > 0 \\ 3x(x+4) & > 0 \\ x=0 & \vee x = -4 \end{align}$
Jadi, fungsi naik saat $ \{ x < -4 \vee x > 0 \} . \heartsuit $
Nomor 13
Jika kurva $y=2x^5-5x^4+20 \, $ mencapai minimum di titik $(x_0, \, y_0) \, $ , maka $x_0 = ....$
$\spadesuit \, $ Nilai maks/min , syarat : $f^\prime (x) = 0 \, \, $ (turunan = 0 )
$y=2x^5-5x^4+20 \rightarrow y^\prime = 10x^4 - 20x^3 \, \, $ dan $ y^\prime {}^\prime = 40x^3-60x^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x \, $ dengan $ y \, $ minimum
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 10x^4 - 20x^3 & = 0 \\ 10x^3(x-2) & = 0 \\ x=0 & \vee x = 2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Cek turunan kedua : $ y^\prime {}^\prime = 40x^3-60x^2 $
$x=0 \rightarrow y^\prime {}^\prime = 40.0^3-60.0^2 = 0 \, \, $ (titik belok)
$x=2 \rightarrow y^\prime {}^\prime = 40.2^3-60.2^2 = 320 - 240 = 80 > 0 \, \, $ (minimum)
artinya fungsi minimum saat $x=2 \, \, $ sehingga $x_0 = 2 $
Jadi, nilai $x_0 = 2 . \heartsuit $
$y=2x^5-5x^4+20 \rightarrow y^\prime = 10x^4 - 20x^3 \, \, $ dan $ y^\prime {}^\prime = 40x^3-60x^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x \, $ dengan $ y \, $ minimum
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 10x^4 - 20x^3 & = 0 \\ 10x^3(x-2) & = 0 \\ x=0 & \vee x = 2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Cek turunan kedua : $ y^\prime {}^\prime = 40x^3-60x^2 $
$x=0 \rightarrow y^\prime {}^\prime = 40.0^3-60.0^2 = 0 \, \, $ (titik belok)
$x=2 \rightarrow y^\prime {}^\prime = 40.2^3-60.2^2 = 320 - 240 = 80 > 0 \, \, $ (minimum)
artinya fungsi minimum saat $x=2 \, \, $ sehingga $x_0 = 2 $
Jadi, nilai $x_0 = 2 . \heartsuit $
Nomor 14
Jika garis $g \, $ menyinggung kurva $y=3\sqrt{x} \, $ di titik yang berabsis 1, maka garis $g \, $ akan memotong sumbu X di titik ....
$\clubsuit \,$ Menentukan titik singgung, substitusi $ x = 1 \, \, $ (absis)
$x=1 \rightarrow y=3\sqrt{x} = 3\sqrt{1} = 3 $
titik singgungnya $(x_1,y_1) = (1,3) $
$\clubsuit \,$ Gradien garis singgung di titik (1,3) : $m=f^\prime (1) $
$ y=3\sqrt{x} \rightarrow y^\prime = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
$m=f^\prime (1) \rightarrow m = \frac{3}{2\sqrt{1}} \rightarrow m = \frac{3}{2} $
$\clubsuit \,$ Persamaan garis singgung
$y-y_1 = m (x-x_1) \rightarrow y-3 = \frac{3}{2} ( x-1) \rightarrow 2y=3x+3 $
$\clubsuit \,$ Titik potong sumbu X, substitusi $y = 0 $
$ 2y=3x+3 \rightarrow 2.0=3x+3 \rightarrow 3x=-3 \rightarrow x=-1 $
Jadi, titik potong sumbu X adalah $ (-1,0) . \heartsuit $
$x=1 \rightarrow y=3\sqrt{x} = 3\sqrt{1} = 3 $
titik singgungnya $(x_1,y_1) = (1,3) $
$\clubsuit \,$ Gradien garis singgung di titik (1,3) : $m=f^\prime (1) $
$ y=3\sqrt{x} \rightarrow y^\prime = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
$m=f^\prime (1) \rightarrow m = \frac{3}{2\sqrt{1}} \rightarrow m = \frac{3}{2} $
$\clubsuit \,$ Persamaan garis singgung
$y-y_1 = m (x-x_1) \rightarrow y-3 = \frac{3}{2} ( x-1) \rightarrow 2y=3x+3 $
$\clubsuit \,$ Titik potong sumbu X, substitusi $y = 0 $
$ 2y=3x+3 \rightarrow 2.0=3x+3 \rightarrow 3x=-3 \rightarrow x=-1 $
Jadi, titik potong sumbu X adalah $ (-1,0) . \heartsuit $
Nomor 15
$\frac{\left( {}^5 \log 10 \right)^2 - \left( {}^5 \log 2 \right)^2}{{}^5 \log \sqrt{20}} = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma
$ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$p^2-q^2 = (p-q)(p+q) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk log
$\begin{align} & \frac{\left( {}^5 \log 10 \right)^2 - \left( {}^5 \log 2 \right)^2}{{}^5 \log \sqrt{20}} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log 10 - {}^5 \log 2 \right).\left( {}^5 \log 10 + {}^5 \log 2 \right)}{{}^5 \log 20^\frac{1}{2}} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log \frac{10}{2} \right).\left( {}^5 \log 10.2 \right)}{\frac{1}{2}.{}^5 \log 20} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log 5 \right).\left( {}^5 \log 20 \right)}{\frac{1}{2}.{}^5 \log 20} \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{align}$
Jadi, nilainya adalah 2. $ \heartsuit $
$ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$p^2-q^2 = (p-q)(p+q) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk log
$\begin{align} & \frac{\left( {}^5 \log 10 \right)^2 - \left( {}^5 \log 2 \right)^2}{{}^5 \log \sqrt{20}} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log 10 - {}^5 \log 2 \right).\left( {}^5 \log 10 + {}^5 \log 2 \right)}{{}^5 \log 20^\frac{1}{2}} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log \frac{10}{2} \right).\left( {}^5 \log 10.2 \right)}{\frac{1}{2}.{}^5 \log 20} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log 5 \right).\left( {}^5 \log 20 \right)}{\frac{1}{2}.{}^5 \log 20} \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{align}$
Jadi, nilainya adalah 2. $ \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.