Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2004


Nomor 1
Nilai $x $ yang memenuhi persamaan $ \frac{0,09^{\frac{1}{2}(x-3)}}{0,3^{(3x+1)}} = 1 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
$ (a^n)^m = a^{n.m} \, \, $ dan $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{0,09^{\frac{1}{2}(x-3)}}{0,3^{(3x+1)}} & = 1 \\ 0,09^{\frac{1}{2}(x-3)} & = 0,3^{(3x+1)} \\ ((0,3)^2)^{\frac{1}{2}(x-3)} & = 0,3^{(3x+1)} \\ 0,3^{(x-3)} & = 0,3^{(3x+1)} \\ x-3 & = 3x+1 \\ 2x & = -4 \\ x & = -2 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = -2. \heartsuit $
Nomor 2
Jika $n \, $ bilangan bulat, maka : $\frac{2^{n+2}.6^{n-4}}{12^{n-1}} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$ (ab)^n = a^n . b^n , \, \, a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \, \, $ dan $ a^{m+n}=a^m.a^n $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{2^{n+2}.6^{n-4}}{12^{n-1}} & = \frac{2^n.2^2.\frac{6^n}{6^4}}{\frac{12^n}{12^1}} \\ & = \frac{2^n.2^2.6^n.12^1}{12^n.6^4} \\ & = \frac{2^n.4.6^n.12^1}{(2.6)^n.6^4} \\ & = \frac{2^n.4.6^n.12}{2^n.6^n.6^4} \, \, \text{(coret } \, \, 2^n.6^n ) \\ & = \frac{4 \times 12}{6^4} = \frac{1}{27} \end{align}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ \frac{1}{27}. \heartsuit $
Nomor 3
Agar kurva $y=mx^2-2mx+m \, $ seluruhnya terletak di atas kurva $y=2x^2-3 \, $ , maka konstanta $m \, $ memenuhi ....
$\clubsuit \, $ Kurva $y_1=mx^2-2mx+m \, $ terletak di atas kurva $y_2=2x^2-3 \, $
Berlaku :
$\begin{align*} y_1 & > y_2 \\ mx^2-2mx+m & > 2x^2-3 \\ (m-2)x^2-2mx+(m+3) & > 0 \\ a=m-2 , \, b = -2m , \, & c= m+3 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Bentuk $ (m-2)x^2-2mx+(m+3) > 0 \, \, \, $ adalah definit positif syarat : $a>0 \, $ dan $ D < 0$
Syarat I : $a>0 \rightarrow m-2>0 \rightarrow m>2 \, \, $ ... HP1
$\begin{align*} \text{syarat II : } \, D < 0 \rightarrow b^2-4ac & < 0 \\ (-2m)^2-4.(m-2)(m+3) & < 0 \\ 4m^2 - 4m^2-4m+24 & < 0 \\ -4m & < -24 \\ m & > 6 \, \, \, \text{...(HP2)} \end{align*}$
Sehingga, solusinya : HP = HP1 $\cap $ HP2 = $\{ m > 6 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ m > 6 \} . \heartsuit $
Nomor 4
Persamaan garis dengan gradien 2 dan menyinggung parabol $ y = (x-1)^2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung : $m = f^\prime (x) \, \, \, $ dengan $ m = 2 $
$ y = (x-1)^2 \rightarrow y^\prime = 2(x-1) $
$ m = f^\prime (x) \rightarrow 2 = 2(x-1) \rightarrow x = 2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik singgung dengan substiusi $x=2$
$x=2 \rightarrow y = (x-1)^2 = (2-1)^2 = 1 $
sehingga titik singgungnya : $(x_1,y_1) = (2,1) $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan garis singgung
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y- 1 & = 2(x-2) \\ y-1 & = 2x - 4 \\ 2x - y -3 & = 0 \end{align}$
Jadi, PGS nya adalah $ 2x - y -3 = 0 . \heartsuit $
Nomor 5
Penyelesaian pertidaksamaan : $ \frac{2x^2-x-3}{x^2-x-6} < 0 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar pecahan
$\begin{align*} \frac{2x^2-x-3}{x^2-x-6} & < 0 \\ \frac{(2x-3)(x+1)}{(x+2)(x-3)} & < 0 \\ x=\frac{3}{2}, \, x = -1, \, x= -2 , & x= 3 \end{align*}$
spmb_matdas_3_2004.png
Jadi, solusinya adalah $ \{ -2 < x < -1 \vee \frac{3}{2} < x < 3 \} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Tidak ada komentar:

Posting Komentar