Nomor 16
Tiga siswa dan tiga siswi duduk berjajar pada sebuah bangku. Jika yang menempati pinggir bangku harus siswa, maka banyaknya susunan
posisi duduk yang mungkin adalah ....
$\spadesuit \, $ Urutan duduk diperhatikan sehingga pakai permutasi.
$\spadesuit \, $ Tempat pinggir sebelah kiri dan kanan harus diisi oleh pria sehingga kita harus memilih 2 pria dari 3 pria yang ada.
Cara I = $P_2^3 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3.2.1}{1!} = 6 $
$\spadesuit \, $ Sementara untuk 4 tempat duduk yang ditengah diisi oleh 4 orang yang dipilih dari 1 pria tersisa dan 3 wanita.
Cara II = $P_4^4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4.3.2.1}{0!} = 24 $
Sehingga total cara = Cara I $\times $ Cara II = 6 $\times $ 24 = 144 cara
Jadi, banyaknya posisi duduk yang mungkin ada 144 susunan. $ \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Tempat pinggir sebelah kiri dan kanan harus diisi oleh pria sehingga kita harus memilih 2 pria dari 3 pria yang ada.
Cara I = $P_2^3 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3.2.1}{1!} = 6 $
$\spadesuit \, $ Sementara untuk 4 tempat duduk yang ditengah diisi oleh 4 orang yang dipilih dari 1 pria tersisa dan 3 wanita.
Cara II = $P_4^4 = \frac{4!}{(4-4)!} = \frac{4.3.2.1}{0!} = 24 $
Sehingga total cara = Cara I $\times $ Cara II = 6 $\times $ 24 = 144 cara
Jadi, banyaknya posisi duduk yang mungkin ada 144 susunan. $ \heartsuit $
Nomor 17
Jumlah semua sudut $\alpha $ , $0 \leq \alpha \leq \frac{1}{2}\pi $ , yang memenuhi $\sin 3\alpha = \cos 2\alpha $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
$\cos x = \sin (\frac{\pi}{2} - x ) \rightarrow \cos 2\alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha ) $
$\sin f(x) = \sin \theta \, \, \, $ Solusinya :
1. $f(x) = \theta + k.2\pi $
2. $f(x) = (\pi - \theta) + k.2\pi $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \sin 3\alpha & = \cos 2\alpha \\ \sin 3\alpha & = \sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha ) \\ f(x) = 3\alpha \, \, & \text{dan} \, \, \theta = \frac{\pi}{2} - 2\alpha \end{align}$
Solusinya :
$\begin{align} 1. \, \, f(x) & = \theta + k.2\pi \\ 3\alpha & = \frac{\pi}{2} - 2\alpha + k.2\pi \\ 5\alpha & = \frac{\pi}{2} + k.2\pi \\ \alpha & = \frac{\pi}{10} + \frac{k.2\pi}{5} \\ k = 0 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{10} \\ k = 1 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{10} + \frac{1.2\pi}{5} = \frac{\pi}{2} \\ k = 2 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{10} + \frac{2.2\pi}{5} = \frac{9\pi}{10} \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align}$
$\begin{align} 2. \, \, f(x) & = (\pi - \theta) + k.2\pi \\ 3\alpha & = [\pi - (\frac{\pi}{2} - 2\alpha)] + k.2\pi \\ 3\alpha & = \frac{\pi}{2} + 2\alpha + k.2\pi \\ \alpha & = \frac{\pi}{2} + k.2\pi \\ k = 0 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} \\ k = 1 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} + 1.2\pi = \frac{5\pi}{2} \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align}$
Sehingga solusinya : $ \{ \frac{\pi}{10} , \, \, \frac{\pi}{2} \} $
Jumlah solusinya : $ \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{2} = \frac{3}{5} \pi $
Jadi, Jumlah solusinya adalah $ \frac{3}{5} \pi. \heartsuit $
$\cos x = \sin (\frac{\pi}{2} - x ) \rightarrow \cos 2\alpha = \sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha ) $
$\sin f(x) = \sin \theta \, \, \, $ Solusinya :
1. $f(x) = \theta + k.2\pi $
2. $f(x) = (\pi - \theta) + k.2\pi $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \sin 3\alpha & = \cos 2\alpha \\ \sin 3\alpha & = \sin (\frac{\pi}{2} - 2\alpha ) \\ f(x) = 3\alpha \, \, & \text{dan} \, \, \theta = \frac{\pi}{2} - 2\alpha \end{align}$
Solusinya :
$\begin{align} 1. \, \, f(x) & = \theta + k.2\pi \\ 3\alpha & = \frac{\pi}{2} - 2\alpha + k.2\pi \\ 5\alpha & = \frac{\pi}{2} + k.2\pi \\ \alpha & = \frac{\pi}{10} + \frac{k.2\pi}{5} \\ k = 0 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{10} \\ k = 1 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{10} + \frac{1.2\pi}{5} = \frac{\pi}{2} \\ k = 2 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{10} + \frac{2.2\pi}{5} = \frac{9\pi}{10} \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align}$
$\begin{align} 2. \, \, f(x) & = (\pi - \theta) + k.2\pi \\ 3\alpha & = [\pi - (\frac{\pi}{2} - 2\alpha)] + k.2\pi \\ 3\alpha & = \frac{\pi}{2} + 2\alpha + k.2\pi \\ \alpha & = \frac{\pi}{2} + k.2\pi \\ k = 0 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} \\ k = 1 & \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} + 1.2\pi = \frac{5\pi}{2} \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align}$
Sehingga solusinya : $ \{ \frac{\pi}{10} , \, \, \frac{\pi}{2} \} $
Jumlah solusinya : $ \frac{\pi}{10} + \frac{\pi}{2} = \frac{3}{5} \pi $
Jadi, Jumlah solusinya adalah $ \frac{3}{5} \pi. \heartsuit $
Nomor 18
Dalam sebuah ruangan pertemuan terdapat enam pasang suami istri. Jika dipilih dua orang secara acak dari ruangan tersebut, maka
peluang terpilihnya dua orang tersebut suami istri adalah ....
$\spadesuit \, $ Ada 6 pasang suami istri, artinya ada 12 orang
Dipilih 2 orang, sehingga $n(S) = C_2^{12} = \frac{12!}{(12-2)!.2!} = 66 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $n(A)$
Harapannya terpilih pasangan suami istri.
karena ada 6 pasang suami istri, maka $n(A) = 6 $
sehingga peluangnya :
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{66} = \frac{1}{11} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{1}{11} . \heartsuit $
Dipilih 2 orang, sehingga $n(S) = C_2^{12} = \frac{12!}{(12-2)!.2!} = 66 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $n(A)$
Harapannya terpilih pasangan suami istri.
karena ada 6 pasang suami istri, maka $n(A) = 6 $
sehingga peluangnya :
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{66} = \frac{1}{11} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{1}{11} . \heartsuit $
Nomor 19
Jika $A = \left( \begin{matrix} 2x+1 & x-1 \\ 3 & x \end{matrix} \right) $ , maka jumlah semua nilai $x $ sehingga det $A $ = 27 adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep determinan
$A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad-bc $
$\clubsuit \,$ Menentukan determinan
$\begin{align} |A| & = 27 \\ (2x+1)(x) - (x-1).3 & = 27 \\ 2x^2 + x - 3x + 3 & = 27 \\ 2x^2 -2x - 24 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{2} = 1 \end{align}$
Jadi, jumlah semua nilai $x$ adalah 1. $ \heartsuit $
$A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = ad-bc $
$\clubsuit \,$ Menentukan determinan
$\begin{align} |A| & = 27 \\ (2x+1)(x) - (x-1).3 & = 27 \\ 2x^2 + x - 3x + 3 & = 27 \\ 2x^2 -2x - 24 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{2} = 1 \end{align}$
Jadi, jumlah semua nilai $x$ adalah 1. $ \heartsuit $
Nomor 20
$\displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = .... $
$\spadesuit \, $ Merasionalkan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} . \frac{(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)^2}{(x-1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } (\sqrt{x}+1)^2 \\ & = (\sqrt{1}+1)^2 = 2^2 = 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = 4. \heartsuit $
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} . \frac{(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)^2}{(x-1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1 } (\sqrt{x}+1)^2 \\ & = (\sqrt{1}+1)^2 = 2^2 = 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{(x-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = 4. \heartsuit $
terima kasih kak pembahasannya sangat membantuu
BalasHapusHallow @Sinta,
HapusTerima kasih untuk kunjungannya ke blog dunia informa.
Semoga terus bermanfaat.