Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2001 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $ \, (f \circ g ) (x) = 4x^2 + 8x - 3 \, $ dan $ \, g(x) = 2x + 4 \, $ . Maka $ \, f^{-1} (x) = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} (f \circ g ) (x) & = 4x^2 + 8x - 3 \\ f(g(x)) & = 4x^2 + 8x - 3 \\ f(2x + 4) & = 4x^2 + 8x - 3 \\ \text{misal} \, & p = 2x + 4 \rightarrow x = \frac{p-4}{2} \\ f(2x + 4) & = 4x^2 + 8x - 3 \\ f(p) & = 4. \left( \frac{p-4}{2} \right)^2 + 8. \left( \frac{p-4}{2} \right) - 3 \\ f(p) & = 4. \left( \frac{p^2-8p+16}{4} \right) + 4p-16 - 3 \\ f(p) & = p^2-4p-3 \\ f(x) & = x^2 - 4x -3 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan invers $ f(x) $ dengan kuadrat sempurna
konsep invers : $ y=f(x) \rightarrow x = f^{-1} (y) $
$\begin{align} f(x) & = x^2 - 4x -3 \\ y & = x^2 - 4x -3 \\ x^2 - 4x -3 & = y \\ (x-2)^2 - 7 & = y \\ (x-2)^2 & = y+7 \\ x-2 & = \pm \sqrt{y+7} \\ x & = 2 \pm \sqrt{y+7} \end{align}$
sehingga : $ f^{-1} (x) = 2 \pm \sqrt{x+7} $
Jadi, inversnya adalah $ 2 + \sqrt{x+7} \, $ atau $ \, 2 - \sqrt{x+7} . \heartsuit $
Nomor 12
Nilai minimum dari $ z = 3x + 6y \, $ yang memenuhi syarat :
$ 4x+y \geq 20, \, x+y \leq 20, \, x+y \geq 10, \, x \geq 0, \, y \geq 0 \, $
adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP)
umptn_matdas_6_2001.png
Eliminasi pers(i) dan pers(iii) diperoleh titik D($\frac{10}{3}, \, \frac{20}{3}$)
$\clubsuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $ z = 3x + 6y $
$\begin{align} A(10,0) \rightarrow z & = 3.10 + 6.0 = 30 \\ B(20,0) \rightarrow z & = 3.20 + 6.0 = 60 \\ C(0,20) \rightarrow z & = 3.0 + 6.20 = 120 \\ D(\frac{10}{3}, \, \frac{20}{3}) \rightarrow z & = 3.\frac{10}{3} + 6.\frac{20}{3} = 50 \end{align}$
Jadi, nilai nilai minimumnya adalah 30. $ \heartsuit $
Nomor 13
$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \cos \left( 1 - \frac{1}{x} \right) }{(x-1)} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $\displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin a f(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, $ dengan syarat $\, f(k) = 0 $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \cos \left( 1 - \frac{1}{x} \right) }{(x-1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \left( 1 - \frac{1}{x} \right) \cos \left( 1 - \frac{1}{x} \right) }{x.\left( 1 - \frac{1}{x} \right)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin \left( 1 - \frac{1}{x} \right) }{\left( 1 - \frac{1}{x} \right)} . \frac{\cos \left( 1 - \frac{1}{x} \right) }{x} \\ & = \frac{1}{1} . \frac{\cos \left( 1 - \frac{1}{1} \right) }{1} \\ & = \frac{\cos 0 }{1} = \frac{1}{1} = 1 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 1. $ \heartsuit $
Nomor 14
$\displaystyle \lim_{x \to \infty } \left\{ \sqrt{x(4x+5)} - \sqrt{4x^2 - 3} \right\} = .... $
$\clubsuit \,$ Konsep dasar : $\displaystyle \lim_{x \to \infty } \sqrt{ax^2+bx+c} - \sqrt{ax^2+px+q} = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left\{ \sqrt{x(4x+5)} - \sqrt{4x^2 - 3} \right\} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left\{ \sqrt{4x^2+5x} - \sqrt{4x^2 - 3} \right\} \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} \\ & = \frac{5-0}{2\sqrt{4}} = \frac{5}{4} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{5}{4} . \heartsuit $
Nomor 15
Fungsi $ \, f(x) = \frac{1}{3}x^3 -3x^2 +5x - 10 \, $ turun pada interval ....
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan
$ f(x) = \frac{1}{3}x^3 -3x^2 +5x - 10 \rightarrow f^\prime (x) = x^2 - 6x + 5 $
$\spadesuit \, $ Syarat fungsi turun : $ f^\prime (x) < 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & < 0 \\ x^2 - 6x + 5 & < 0 \\ (x-1)(x-5) & < 0 \\ x=1 & \vee x = 5 \end{align}$
umptn_matdas_7_2001.png
Jadi, interval turunnya adalah $ \{ 1 < x < 5 \} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Tidak ada komentar:

Posting Komentar