Pembahasan Soal UMPTN Matematika Dasar tahun 2001 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Supaya sistem persamaan linear $ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 3y = 6 \\ (1+a)x-6y = 7 \end{array} \right. $
merupakan persamaan dua garis yang saling tegak lurus, maka $ \, a = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien
$2x+3y=6 \rightarrow m_1 = \frac{-a}{b} = \frac{-2}{3} $
$ (1+a)x-6y = 7 \rightarrow m_2 = \frac{-a}{b} = \frac{-(1+a)}{-6} = \frac{1+a}{6} $
$\spadesuit \, $ Kedua garis tegak lurus
$\begin{align} m_1.m_2 & = - 1 \\ \frac{-2}{3} . \frac{1+a}{6} & = -1 \\ 1+a & = 9 \\ a & = 8 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 8 . \heartsuit $
Nomor 7
Pada $\Delta$ABC diketahui $ a+b = 10, \, $ sudut A = $30^\circ \, $ dan sudut B = $45^\circ \, $ , maka panjang sisi $ \, b = ....$
$\clubsuit \, $ Gambar
umptn_matdas_2_2001.png
$ a+b = 10 \, \, $ ....pers(i)
$\clubsuit \, $ Aturan sinus pada segitiga ABC
$\begin{align} \frac{a}{\sin A} & = \frac{b}{\sin B} \\ \frac{a}{\sin 30 ^\circ} & = \frac{b}{\sin 45 ^\circ} \\ \frac{a}{\frac{1}{2}} & = \frac{b}{\frac{1}{2} \sqrt{2}} \\ a & = \frac{1}{2} b \sqrt{2} \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$\begin{align} a+b & = 10 \\ \frac{1}{2} b \sqrt{2} + b & = 10 \, \, \text{(kali 2)} \\ b \sqrt{2} + 2b & = 20 \\ b (2 + \sqrt{2}) & = 20 \\ b & = \frac{20}{ 2 + \sqrt{2} } \\ b & = \frac{20}{ 2 + \sqrt{2} } . \frac{2 - \sqrt{2}}{ 2 - \sqrt{2} } = 10 (2 - \sqrt{2}) \end{align} $
Jadi, nilai $ b = 10 (2 - \sqrt{2}) . \heartsuit$
Nomor 8
Jika $ \tan ^2 x + 1 = a^2 \, , $ maka $ \, \sin ^2 x = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai tan $x$
$\begin{align} \tan ^2 x + 1 & = a^2 \\ \tan ^2 x & = a^2 - 1 \\ \tan x & = \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{1} \end{align}$
umptn_matdas_3_2001.png
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\sin ^2 x $
$\begin{align} \sin x & = \frac{de}{mi} \\ \sin x & = \frac{\sqrt{a^2 - 1}}{a} \\ \sin ^2 x & = \frac{a^2 - 1}{a^2} \end{align}$
Jadi, nilai $ \sin ^2 x = \frac{a^2 - 1}{a^2} . \heartsuit $
Nomor 9
Penyelesaian $ \, \frac{x^2-3x-18}{(x-6)^2(x-2)} < 0 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar (pembuat nol)
$\begin{align} \frac{x^2-3x-18}{(x-6)^2(x-2)} & < 0 \\ \frac{(x+3)(x-6)}{(x-6)^2.(x-2)} & < 0 \\ x=-3, \, x & = 6 , \, x = 2 \end{align}$
umptn_matdas_4_2001.png
Jadi, penyelesaiannya adalah $ HP = \{ x < -3 \vee 2 < x < 6 \} . \heartsuit$
Nomor 10
Pertidaksamaan $ \, \left| \frac{2x-1}{x+5} \right| \leq 3 \, $ mempunyai penyelesaian ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar : $ |x|^2 = x^2 \, $ dan $ \, p^2-q^2 = (p-q)(p+q) $
$\spadesuit \, $ Kuadratkan kedua ruas
$\begin{align} \left| \frac{2x-1}{x+5} \right| & \leq 3 \\ \left| \frac{2x-1}{x+5} \right|^2 & \leq 3^2 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} \right)^2 & \leq 3^2 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} \right)^2 - 3^2 \leq 0 \\ \left( \frac{2x-1}{x+5} - 3 \right) \left( \frac{2x-1}{x+5} + 3 \right) \leq 0 \\ \left( \frac{2x-1-3(x+5)}{x+5} \right) . \left( \frac{2x-1+3(x+5)}{x+5} \right) \leq 0 \\ \left( \frac{-x-16}{x+5} \right) . \left( \frac{5x+14}{x+5} \right) \leq 0 \\ x=-16, \, x= -\frac{14}{5} , \, x & = -5 \end{align}$
umptn_matdas_5_2001.png
Jadi, penyelesaiannya adalah $ HP = \{ x \leq -16 \vee x \geq -\frac{14}{5} \} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30

Tidak ada komentar:

Posting Komentar