Nomor 11
$\displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(2x-3\sqrt{x} +1 )(\sqrt{x}-1)}{(x-1)^2} = .... $
$\clubsuit \, $ Pemfaktoran
$ p^2 - q^2 = (p-q)(p+q) $
Sehingga : $ x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x}+1) $
$\clubsuit \, $ Merasionalkan bentuk akar
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(2x-3\sqrt{x} +1 )(\sqrt{x}-1)}{(x-1)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(\sqrt{x}-1)[(2x+1) -3\sqrt{x} ]}{(x-1)(x-1)} . \frac{(2x+1) + 3\sqrt{x}}{(2x+1) + 3\sqrt{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(\sqrt{x}-1)[(2x+1)^2 -(3\sqrt{x}^2 ]}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{4x^2 + 4x + 1 - 9x}{(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{4x^2 - 5x + 1}{(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(4x-1)(x-1)}{(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(4x-1)}{(\sqrt{x}+1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \frac{(4.1-1)}{(\sqrt{1}+1)[(2.1+1) + 3\sqrt{1}]} \\ & = \frac{(4-1)}{(2)[2 + 1 + 3]} \\ & = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{1}{4} . \heartsuit $
$ p^2 - q^2 = (p-q)(p+q) $
Sehingga : $ x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x}+1) $
$\clubsuit \, $ Merasionalkan bentuk akar
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(2x-3\sqrt{x} +1 )(\sqrt{x}-1)}{(x-1)^2} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(\sqrt{x}-1)[(2x+1) -3\sqrt{x} ]}{(x-1)(x-1)} . \frac{(2x+1) + 3\sqrt{x}}{(2x+1) + 3\sqrt{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(\sqrt{x}-1)[(2x+1)^2 -(3\sqrt{x}^2 ]}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{4x^2 + 4x + 1 - 9x}{(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{4x^2 - 5x + 1}{(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(4x-1)(x-1)}{(\sqrt{x}+1)(x-1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 1 } \frac{(4x-1)}{(\sqrt{x}+1)[(2x+1) + 3\sqrt{x}]} \\ & = \frac{(4.1-1)}{(\sqrt{1}+1)[(2.1+1) + 3\sqrt{1}]} \\ & = \frac{(4-1)}{(2)[2 + 1 + 3]} \\ & = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{1}{4} . \heartsuit $
Nomor 12
Vektor $ \vec{u} = 3\vec{i}+4\vec{j}+x\vec{k} \, $ dan $ \, \vec{v} = 2\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k}. \, $
Jika panjang proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \, \vec{v} \, $ adalah 6, maka $ x = ..... $
$\spadesuit \, $ Panjang proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} $
panjang = $ \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} $
$\spadesuit \, $ mementukan $ \vec{u}.\vec{v} \, $ dan $ |\vec{v}| $
$ \vec{u} = 3\vec{i}+4\vec{j}+x\vec{k} \, $ dan $ \, \vec{v} = 2\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k} $
$\begin{align} \vec{u}.\vec{v} & = 3.2+4.3+x.(-6) = 18 - 6x \\ |\vec{v}| & = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2 } = \sqrt{49} = 7 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dengan panjang proyeksi = 6
$\begin{align} \text{panjang} & = \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \\ 6 & = \frac{18 - 6x}{7} \, \, \text{(bagi 6)} \\ 1 & = \frac{3 - x}{7} \\ 7 & = 3-x \\ x = -4 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = -4. \heartsuit $
panjang = $ \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} $
$\spadesuit \, $ mementukan $ \vec{u}.\vec{v} \, $ dan $ |\vec{v}| $
$ \vec{u} = 3\vec{i}+4\vec{j}+x\vec{k} \, $ dan $ \, \vec{v} = 2\vec{i}+3\vec{j}-6\vec{k} $
$\begin{align} \vec{u}.\vec{v} & = 3.2+4.3+x.(-6) = 18 - 6x \\ |\vec{v}| & = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-6)^2 } = \sqrt{49} = 7 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dengan panjang proyeksi = 6
$\begin{align} \text{panjang} & = \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \\ 6 & = \frac{18 - 6x}{7} \, \, \text{(bagi 6)} \\ 1 & = \frac{3 - x}{7} \\ 7 & = 3-x \\ x = -4 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = -4. \heartsuit $
Nomor 13
Akan disusun suatu tim peneliti yang terdiri dari 2 orang matematikawan dan 3 orang teknisi. Jika calon yang tersedia 3 orang
matematikawan dan 5 orang teknisi, maka banyak cara menyusun tim tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Ada 3 orang matematikawan dan 5 orang teknisi, akan dipilih 2 orang matematikawan dan 3
orang teknisi.
$\spadesuit \, $ Pada kasus ini urutan orang tidak diperhatikan sehingga menggunakan kombinasi
Total cara = $ C_2^3. C_3^5 = 3 . 10 = 30 \, $ cara
Keterangan :
$ C_2^3 \, $ artinya memilih 2 orang dari 3 orang matematikawan
$ C_3^5 \, $ artinya memilih 3 orang dari 5 orang teknisi
Jadi, ada 30 cara penyusunan tim. $ \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Pada kasus ini urutan orang tidak diperhatikan sehingga menggunakan kombinasi
Total cara = $ C_2^3. C_3^5 = 3 . 10 = 30 \, $ cara
Keterangan :
$ C_2^3 \, $ artinya memilih 2 orang dari 3 orang matematikawan
$ C_3^5 \, $ artinya memilih 3 orang dari 5 orang teknisi
Jadi, ada 30 cara penyusunan tim. $ \heartsuit $
Nomor 14
Jika A, B, dan C matriks 2 $\times $ 2 yang memenuhi
$AB = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \, $ dan $ \, CB = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . $
Maka $ CA^{-1} \, $ adalah .....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar invers
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
Sifat - sifat pada matriks :
$A.A^{-1} = A^{-1} . A = I $
$A.I = I.A = A $
$(AB)^{-1} = B^{-1}. A^{-1} $
$\spadesuit \, $ inverskan bentuk $ AB $
$\begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ (AB)^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right)^{-1} \\ B^{-1}. A^{-1} & = \frac{1}{0.0-(-1).1} \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ B^{-1}. A^{-1} & = \frac{1}{1} \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ B^{-1}. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Mengalikan bentuk $ CB $ dan ($ B^{-1} A^{-1} $)
$\begin{align} (CB).(B^{-1}. A^{-1}) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ C.(B.B^{-1}) . A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ C.I. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ C A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, nilai $ C A^{-1} = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
Sifat - sifat pada matriks :
$A.A^{-1} = A^{-1} . A = I $
$A.I = I.A = A $
$(AB)^{-1} = B^{-1}. A^{-1} $
$\spadesuit \, $ inverskan bentuk $ AB $
$\begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ (AB)^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right)^{-1} \\ B^{-1}. A^{-1} & = \frac{1}{0.0-(-1).1} \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ B^{-1}. A^{-1} & = \frac{1}{1} \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ B^{-1}. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Mengalikan bentuk $ CB $ dan ($ B^{-1} A^{-1} $)
$\begin{align} (CB).(B^{-1}. A^{-1}) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \\ C.(B.B^{-1}) . A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ C.I. A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \\ C A^{-1} & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, nilai $ C A^{-1} = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Nomor 15
Diketahui $ \int f(x)dx = ax^2 + bx + c \, $ dan $ a \neq 0 \, $. Jika $ a, \, f(a), \, 2b \, $ merupakan barisan aritmetika,
dan $ f(b) = 6 , $ maka $ \int \limits_0^1 f(x) dx = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar :
$ f(x) = [\int f(x) dx]^\prime \, $ (turunan dari integralnya)
$\clubsuit \, $ Menentukan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} \int f(x)dx & = ax^2 + bx + c \\ f(x) & = [\int f(x) dx]^\prime \, \, \text{(turunannya)} \\ f(x) & = 2ax + b \\ x=a \rightarrow f(a) & = 2a.a + b = 2a^2 + b \end{align}$
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ a, \, f(a), \, 2b \, $
Selisih sama :
$\begin{align} f(a) - a & = 2b - f(a) \\ 2f(a) & = a + 2b \\ 2(2a^2 + b) & = a + 2b \\ 4a^2 - a & = 0 \\ a(4a-1) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = \frac{1}{4} \end{align}$
Karena $ a \neq 0, \, $ maka $ a = \frac{1}{4} \, $ yang memenuhi.
sehingga : $ f(x) = 2ax + b = 2. \frac{1}{4}x + b \rightarrow f(x) = \frac{1}{2}x + b $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ b $ dengan $ f(b) = 6 $
$\begin{align} f(x) & = \frac{1}{2}x + b \\ f(b) & = 6 \\ \frac{1}{2}b + b & = 6 \\ b & = 4 \end{align}$
Sehingga $ f(x) = \frac{1}{2}x + b \rightarrow f(x) = \frac{1}{2}x + 4 $
$\clubsuit \, $ Menentukan integralnya
$\begin{align} \int \limits_0^1 f(x) dx & = \int \limits_0^1 (\frac{1}{2}x + 4) dx \\ & = (\frac{1}{4}x^2 + 4x )_0^1 \\ & = (\frac{1}{4}. 1^2 + 4.1 ) - (0 ) & = \frac{17}{4} \end{align}$
Jadi, nilai $ \int \limits_0^1 f(x) dx = \frac{17}{4} . \heartsuit $
$ f(x) = [\int f(x) dx]^\prime \, $ (turunan dari integralnya)
$\clubsuit \, $ Menentukan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} \int f(x)dx & = ax^2 + bx + c \\ f(x) & = [\int f(x) dx]^\prime \, \, \text{(turunannya)} \\ f(x) & = 2ax + b \\ x=a \rightarrow f(a) & = 2a.a + b = 2a^2 + b \end{align}$
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ a, \, f(a), \, 2b \, $
Selisih sama :
$\begin{align} f(a) - a & = 2b - f(a) \\ 2f(a) & = a + 2b \\ 2(2a^2 + b) & = a + 2b \\ 4a^2 - a & = 0 \\ a(4a-1) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = \frac{1}{4} \end{align}$
Karena $ a \neq 0, \, $ maka $ a = \frac{1}{4} \, $ yang memenuhi.
sehingga : $ f(x) = 2ax + b = 2. \frac{1}{4}x + b \rightarrow f(x) = \frac{1}{2}x + b $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ b $ dengan $ f(b) = 6 $
$\begin{align} f(x) & = \frac{1}{2}x + b \\ f(b) & = 6 \\ \frac{1}{2}b + b & = 6 \\ b & = 4 \end{align}$
Sehingga $ f(x) = \frac{1}{2}x + b \rightarrow f(x) = \frac{1}{2}x + 4 $
$\clubsuit \, $ Menentukan integralnya
$\begin{align} \int \limits_0^1 f(x) dx & = \int \limits_0^1 (\frac{1}{2}x + 4) dx \\ & = (\frac{1}{4}x^2 + 4x )_0^1 \\ & = (\frac{1}{4}. 1^2 + 4.1 ) - (0 ) & = \frac{17}{4} \end{align}$
Jadi, nilai $ \int \limits_0^1 f(x) dx = \frac{17}{4} . \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.