Pembahasan Soal SPMB Matematika IPA tahun 2002


Nomor 1
Daerah $ D $ dibatasi oleh grafik fungsi $ y = \frac{1}{\sqrt{x}} , \, $ garis $ x = 1, \, $ garis $ x = 4, \, $ dan sumbu X. Jika garis $ x = c \, $ memotong daerah $ D $ sehingga menjadi daerah $ D_1 $ dan $ D_2 $ yang luasnya sama, maka $ c = .... $
$\clubsuit \, $ gambar
spmb_mat_ipa_1_2002.png
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ c $
$\begin{align} L_{D1} & = L_{D2} \\ \int \limits_1^c \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx & = \int \limits_c^4 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \\ \int \limits_1^c x^{-\frac{1}{2}} \, dx & = \int \limits_c^4 x^{-\frac{1}{2}} \, dx \\ [2x^{\frac{1}{2}}]_1^c & = [2x^{\frac{1}{2}}]_c^4 \, \, \text{(bagi 2)} \\ [\sqrt{x}]_1^c & = [\sqrt{x}]_c^4 \\ \sqrt{c} - \sqrt{1} & = \sqrt{4} - \sqrt{c} \\ \sqrt{c} - 1 & = 2 - \sqrt{c} \\ 2\sqrt{c} & = 3 \\ \sqrt{c} & = \frac{3}{2} \\ c & = \frac{9}{4} \end{align}$
Jadi, nilai $ c = \frac{9}{4} . \heartsuit $
Nomor 2
Bidang V dan W berpotongan tegak lurus sepanjang garis $ g $. Garis $ l $ membentuk sudut $ 45^\circ $ dengan V dan $ 30^\circ $ dengan W. Sinus sudut antara $ l $ dan $ g $ adalah .....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_mat_ipa_2_2002.png
BC = garis $ g $
sudut antara garis $ l $ dan $ g $ = $\angle $ ABC = $ \theta , \, $ sehingga harus ditentukan ukuran sisi-sisi $\Delta ABC $
$\spadesuit \, $ Menentukan ukuran segitiganya
*). $\Delta ABD, \, $ sudut ADB 45$^\circ $ sehingga sudut ABD juga 45$^\circ $ , yang artinya segitiga ABD siku-siku sama kaki. Misal panjang BD = DA = 2, maka panjang AB = 2$\sqrt{2} \, $ (dengan pythagoras).
*). $\Delta BEA, \, $ dengan BA = $2\sqrt{2} \, $ dan sudut ABE = $ 30^\circ . \, $ Untuk menentukan panjang BE dan EA dapat menggunakan aturan sin dan cos pada sudut ABE.
*). Sisi-sisi segitiga BCE dan CEA dapat dilengkapi dengan teorema pythagoras.
*). Diperolehlah panjang sisi-sisi segitiga ABC seperti gambar di atas.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \cos \theta \, $ dengan aturan cosinus pada $\Delta ABC $
$\begin{align} AC^2 & = BC^2 + BA^2 - 2.BC.BA. \cos ABC \\ \cos ABC & = \frac{BC^2 + BA^2 - AC^2}{2.BC.BA} \\ \cos \theta & = \frac{(\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2}{2.\sqrt{2}.2\sqrt{2}} \\ \cos \theta & = \frac{2 + 8 - 6}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \end{align}$
spmb_mat_ipa_3_2002.png
Seingga nilai : $\sin \theta = \frac{1}{2} \sqrt{3} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = \frac{1}{2} \sqrt{3} . \heartsuit $
Nomor 3
$u_1, u_2, u_3, .......... \, $ adalah barisan aritmetika dengan suku - suku positif, jika $ u_1+u_2+u_3 = 24 \, $ dan $ u_1^2 = u_3 -10 \, $ maka $ u_4 = ..... $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b $
$\clubsuit \, $ Menentukan hubungan $ a $ dan $ b $
$\begin{align} u_1+u_2+u_3 & = 24 \\ a+(a+b)+(a+2b) & = 24 \\ 3a+3b & = 24 \, \, \text{(bagi 3)} \\ a+b & = 8 \\ b & = 8 - a \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} u_1^2 & = u_3 -10 \\ a^2 & = (a+2b) -10 \, \, \text{( substitusi pers(i) )} \\ a^2 & = a+2(8-a) -10 \\ a^2 + a - 6 & = 0 \\ (a-2)(a+3) & = 0 \\ a = 2 \vee a & = -3 \end{align}$
Karena suku-suku positif, maka $ a = 2 \, $ yang memenuhi.
pers(i): $ b = 8 - a = 8 - 2 = 6 $
sehingga $ u_4 = a + 3b = 2 + 3.6 = 2 + 18 = 20 $
Jadi, nilai $ u_4 = 20 . \heartsuit$
Nomor 4
Jika $ \sin \left( A - \frac{\pi}{4} \right) - 5\cos \left( A - \frac{\pi}{4} \right) = 0, $ maka $ \tan A = ..... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x } $
$ \tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1+\tan A.\tan B} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \sin \left( A - \frac{\pi}{4} \right) - 5\cos \left( A - \frac{\pi}{4} \right) & = 0 \\ \sin \left( A - \frac{\pi}{4} \right) & = 5\cos \left( A - \frac{\pi}{4} \right) \\ \frac{\sin \left( A - \frac{\pi}{4} \right)}{\cos \left( A - \frac{\pi}{4} \right)} & = 5 \\ \tan \left( A - \frac{\pi}{4} \right) & = 5 \\ \frac{\tan A - \tan \frac{\pi}{4}}{1+\tan A.\tan \frac{\pi}{4}} & = 5 \\ \frac{\tan A - 1}{1+\tan A.1} & = 5 \\ \frac{\tan A - 1}{1+\tan A} & = 5 \\ \tan A - 1 & = 5 + 5\tan A \\ 4\tan A & = -6 \\ \tan A & = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $ \tan A = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} . \heartsuit $
Nomor 5
Himpunan penyelesaian $ 2^{2-2x} + 2 > \frac{9}{2^x}, \, x \in R \, $ adalah .....
$\clubsuit \, $ konsep eksponen : $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
$\clubsuit \, $ Misal $ p = 2^x $,
$\begin{align} 2^{2-2x} + 2 & > \frac{9}{2^x} \\ \frac{2^2}{2^{2x}} + 2 & > \frac{9}{2^x} \\ \frac{4}{(2^{x})^2} + 2 & > \frac{9}{2^x} \\ \frac{4}{p^2} + 2 & > \frac{9}{p} \, \, \text{( kali } \, p^2 ) \\ 4 + 2p^2 & > 9p \\ 2p^2 - 9p + 4 & > 0 \\ (2p-1)(p-4) & > 0 \\ p = \frac{1}{2} \rightarrow 2^x & = \frac{1}{2} \rightarrow x = -1 \\ p = 4 \rightarrow 2^x & = 4 \rightarrow x = 2 \end{align}$
spmb_mat_ipa_4_2002.png
Jadi, solusinya $ HP = \{ x < -1 \vee x > 2 \} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Tidak ada komentar:

Posting Komentar