Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 523 tahun 2014 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x^3) - f(a^3)}{x-a} = -1 , \, $ maka $ f^\prime (1) = .... $
$\spadesuit \, $ Penerapan turunan pada limit (L'Hospital)
*). Turunan : $ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
*). Untuk $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}, \, $ maka solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} \, $ sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan limitnya dan substitusi $ a = 1 $
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x^3) - f(a^3)}{x-a} = \frac{0}{0} , \, $ sehingga harus diturunkan terhadap $ x $
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x^3) - f(a^3)}{x-a} & = -1 \, \, \, \text{(turunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x^3) . 3x^2 - 0 }{1} & = -1 \\ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{3x^2.f^\prime (x^3) }{1} & = -1 \\ 3a^2.f^\prime (a^3) & = -1 \\ a = 1 \rightarrow 3a^2.f^\prime (a^3) & = -1 \\ 3.1^2.f^\prime (1^3) & = -1 \\ 3f^\prime (1) & = -1 \\ f^\prime (1) & = -\frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $ f^\prime (1) = -\frac{1}{3} \heartsuit $
Nomor 7
Diketahui $ P \, $ dan $ Q \, $ suatu polinomial. Jika $ P(x) \, $ berturut-turut memberikan sisa -1 dan 5 apabila dibagi $ x - 1 \, $ dan dibagi $ x+2 \, $ dan $ Q(x) \, $ berturut-turut memberikan sisa 1 dan -2 apabila dibagi $ x + 2 \, $ dan dibagi $ x-1 , \, $ maka $ P(Q(x)) \, $ dibagi $ x^2 + x -2 \, $ bersisa .....
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
Polinomial $ P(x) $ :
$ P(x) : (x-1), \, $ sisa = -1 , artinya $ P(1) = -1 \, $ ....pers(i)
$ P(x) : (x+2), \, $ sisa = 5 , artinya $ P(-2) = 5 \, $ ....pers(ii)
$ Q(x) : (x+2), \, $ sisa = 1 , artinya $ Q(-2) = 1 \, $ ....pers(iii)
$ Q(x) : (x-1), \, $ sisa = -2 , artinya $ Q(1) = -2 \, $ ....pers(iv)
$\spadesuit \, $ Konsep pembagian
$ P(Q(x)) \, $ dibagi $ x^2 + x -2 \, $ , misal sisanya $ S(x) = ax+b $
$ P(Q(x)) : G(x) , \, $ hasilnya $ H(x) \, $ dan sisa $ S(x) \, $ , dapat ditulis :
$ P(Q(x)) = G(x) . H(x) + S(x) $
$\spadesuit \, $ Menentukan sisa pembagian dengan substitusi nilai $ x $
$\begin{align} P(Q(x)) & = G(x) . H(x) + S(x) \\ P(Q(x)) & = (x^2 + x -2 ) . H(x) + (ax+b) \\ P(Q(x)) & = (x - 1)(x+2) . H(x) + (ax+b) \\ & \, \, \text{(substitusi } \, x = 1 ) \\ P(Q(1)) & = (1 - 1)(1+2) . H(1) + (a.1+b) \, \, \, \text{dari pers(iv)} \\ P(-2) & = 0 . H(1) + (a+b) \, \, \, \text{dari pers(ii)} \\ 5 & = a + b \, \, \, \text{...pers(1)} \\ & \, \, \text{(substitusi } \, x = -2 ) \\ P(Q(-2)) & = (-2 - 1)(-2+2) . H(-2) + (a.(-2)+b) \, \, \, \text{dari pers(iii)} \\ P(1) & = 0 . H(-2) + (-2a+b) \, \, \, \text{dari pers(i)} \\ -1 & = -2a + b \, \, \, \text{...pers(2)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(1) dan pers(2), diperoleh $ a = 2 \, $ dan $ b = 3 $
Sehingga sisanya : $ S(x) = ax + b = 2x + 3 $
Jadi, sisanya adalah $ 2x + 3 . \heartsuit$
Nomor 8
Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis $x=-2$, dan garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis $4x+y=4$. Titik puncak parabola tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan persamaan fungsinya , $y=f(x)=ax^2+bx+c$. Dengan titik puncak $(x_p,y_p) \, \,$ : $x_p=-\frac{b}{2a}$ dan $y_p=f(x_p)$ , serta $f^\prime(x)=2ax+b$.
$\clubsuit \, $ Sumbu simetrinya $x=-2 \,$ dengan $ x=x_p$ :
$x=x_p \Leftrightarrow -2=-\frac{b}{2a} \Leftrightarrow b=4a \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Garis singgung di (0,1) , artinya titik (0,1) dilalui parabola, substitusi (0,1) ke persamaan parabola:
$y=ax^2+bx+c \Leftrightarrow 1=a.0^2+b.0+c \Leftrightarrow c=1$
sehingga persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=ax^2+bx+1$
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung sejajar dengan garis $4x+y=4$, artinya gradiennya sama dengan gradien garis $4x+y=4\, $ yaitu $m=-4$.
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien garis singgung di titik (0,1):
$m=f^\prime(x) \Leftrightarrow -4=f^\prime(0) \Leftrightarrow -4=2a.0+b \Leftrightarrow b=-4.$
Pers(i) : $b=4a \Leftrightarrow -4=4a \Leftrightarrow a=-1$ .
Persamaan parabolanya menjadi : $f(x)=-x^2-4x+1$
$\clubsuit \, $ Menentukan titik puncak:
$x_p=-2 \Rightarrow y_p=f(x_p)=f(-2)=-(-2)^2-4.(-2)+1=5$.
Jadi, titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)=(-2,5). \heartsuit$
Nomor 9
Diberikan balok ABCD.EFGH dengan AB = AE = 4 dan BC = 3. Titik P dan Q masing-masing titik tengah FG dan GH. Maka tangen sudut bidang diagonal FHDB dan bidang PQDB adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar
sbmptn_7_mat_ipa_k523_2014.png
Sudut yang dibentuk oleh bidang FHDB dan PQDB adalah $ \theta \, $ yaitu sudut KJP pada segitiga KJP.
$ \text{Luas } \, \Delta FGH = \frac{1}{2}.FG.GH = \frac{1}{2}.3.4 = 6 $
$ \text{Luas } \, \Delta PGH = \frac{1}{2}.PG.GH = \frac{1}{2}.\frac{3}{2}.4 = 3 $
Sehingga :
$ \text{Luas } \, \Delta FPH = \text{Luas } \, \Delta FGH - \text{Luas } \, \Delta PGH = 6 - 3 = 3 $
$\clubsuit \, $ Menentukan panjang KP
$\begin{align} \text{Luas } \, \Delta FPH & = \frac{1}{2} . FH . KP \\ 3 & = \frac{1}{2} . 5 . KP \\ KP & = \frac{6}{5} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \tan \theta $
$\begin{align} \tan \theta & = \frac{KP}{KJ} \\ \tan \theta & = \frac{\frac{6}{5}}{4} \\ \tan \theta & = \frac{3}{10} \end{align}$
Jadi, nilai $ \tan \theta = \frac{3}{10} . \heartsuit $
Nomor 10
Jika $A$ adalah matriks berukuran 2 x 2 dan $\left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] = x^2-5x+8$, maka matriks $A$ yang mungkin adalah ...
$\spadesuit \, $ Misalkan matriks $A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \, $:
$\begin{align} \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] A \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} x & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ \left[ \begin{matrix} ax+c & bx+d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ 1 \end{matrix} \right] &= x^2-5x+8 \\ ax^2+(b+c)x+d&= x^2-5x+8 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Diperoleh $a=1,d=8, \, $ dan $b+c=-5$
Jadi, kemungkinan matriks $A$: $\, \, A=\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ -8 & 8 \end{matrix} \right]\, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

2 komentar:

  1. Mas Darma,

    Saya mau nanya, saya selalu bingung dengan cara membentuk sudut atau jarak yang ditanyakan pada bangun ruang 3 dimensi. Gimana ya mas? Apa ada materi dari blog mas yang membahasnya? Terima kasih mas.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Hallow Deny.
      Memang untuk dimensi tiga agak sulit, terutama untuk membayangkannya. dan kebetulan juga materi dimensi tiga belum ada di blog saya, jadi Dek Deny coba cari ja di internet materinya ya,...!!!!!
      pelajari dengan sabar, pasti akan bisa nantinya.

      Untuk materi dimensi tiga memang banyak siswa atau alumni yang mengalami kesulitan, apalagi untuk soal-soal SBMPTN Mat IPA, pasti tergolong lebih sulit lagi, sabar ya, trus belajar. di semester 2 akan saya coba untuk membuat artikel dimensi tiga.

      Hapus