Nomor 11
Diberikan deret geometri $ u_1+u_2+u_3+.... \, $ Jika $ u_5 = 48, \, $ rasio deret -2, dan $ \log u_1 + \log u_2 + \log u_3 + \log u_4 = 6 \log 2 + 4 \log 3, \, $
maka nilai $ 2u_3 + 3u_2 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Deret geometri : $ u_n = a.r^{n-1} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dengan $ u_5 = 48 \, $ dan $ r = -2 $
$\begin{align} u_5 & = 48 \\ a.r^4 & = 48 \\ a.(-2)^4 & = 48 \\ a.16 & = 48 \\ a & = \frac{48}{16} = 3 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} 2u_3 + 3u_2 & = 2(ar^2) + 3(ar) \\ & = 2(3.(-2)^2 + 3(3.(-2)) \\ & = 2.3.4 + 3.3.(-2) \\ & = 24 - 18 \\ 2u_3 + 3u_2 & = 6 \end{align}$
Jadi, nilai $ 2u_3 + 3u_2 = 6 . \heartsuit $
Catatan : Persamaan log nya tidak perlu diproses, karena cukup menggunakan $ u_5 = 48 \, $ dan $ r = -2 $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dengan $ u_5 = 48 \, $ dan $ r = -2 $
$\begin{align} u_5 & = 48 \\ a.r^4 & = 48 \\ a.(-2)^4 & = 48 \\ a.16 & = 48 \\ a & = \frac{48}{16} = 3 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} 2u_3 + 3u_2 & = 2(ar^2) + 3(ar) \\ & = 2(3.(-2)^2 + 3(3.(-2)) \\ & = 2.3.4 + 3.3.(-2) \\ & = 24 - 18 \\ 2u_3 + 3u_2 & = 6 \end{align}$
Jadi, nilai $ 2u_3 + 3u_2 = 6 . \heartsuit $
Catatan : Persamaan log nya tidak perlu diproses, karena cukup menggunakan $ u_5 = 48 \, $ dan $ r = -2 $
Nomor 12
Jika $ a \, $ dan $ b \, $ merupakan akar-akar persamaan $ {}^{(1 + |x|)} \log (3x+7) = 2 , \, $ maka $ a + b = ..... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
Logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
Nilai mutlak : $ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text { untuk } x < 0 \end{array} \right. $
Sesui harga mutlak ini, kasus dibagi menjadi dua.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
(i). Untuk $ x \geq 0 \, $ (positif), maka nilai $ |x| = x $
$\begin{align} {}^{(1 + |x|)} \log (3x+7) & = 2 \\ {}^{(1 + x)} \log (3x+7) & = 2 \\ (3x+7) & = (1+x)^2 \\ 3x+7 & = 1 + 2x + x^2 \\ x^2 -x + -6 & = 0 \\ (x+2)(x-3) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align}$
karena nilai $ x \geq 0, \, $ maka yang memenuhi $ x_1 = 3 $
(ii). Untuk $ x < 0 \, $ (negatif), maka nilai $ |x| = - x $
$\begin{align} {}^{(1 + |x|)} \log (3x+7) & = 2 \\ {}^{(1 -x)} \log (3x+7) & = 2 \\ (3x+7) & = (1-x)^2 \\ 3x+7 & = 1 - 2x + x^2 \\ x^2 -5x + -6 & = 0 \\ (x+1)(x-6) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 6 \end{align}$
karena nilai $ x < 0, \, $ maka yang memenuhi $ x_2 = -1 $
Diperoleh nilai $ x_1 = 3 \, $ dan $ x_2 = -1 \, $ artinya nilai $ a = 3 \, $ dan $ b = -1 $
Sehingga nilai $ a + b = 3 + (-1) = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 . \heartsuit $
Logaritma : $ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
Nilai mutlak : $ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text { untuk } x < 0 \end{array} \right. $
Sesui harga mutlak ini, kasus dibagi menjadi dua.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
(i). Untuk $ x \geq 0 \, $ (positif), maka nilai $ |x| = x $
$\begin{align} {}^{(1 + |x|)} \log (3x+7) & = 2 \\ {}^{(1 + x)} \log (3x+7) & = 2 \\ (3x+7) & = (1+x)^2 \\ 3x+7 & = 1 + 2x + x^2 \\ x^2 -x + -6 & = 0 \\ (x+2)(x-3) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 3 \end{align}$
karena nilai $ x \geq 0, \, $ maka yang memenuhi $ x_1 = 3 $
(ii). Untuk $ x < 0 \, $ (negatif), maka nilai $ |x| = - x $
$\begin{align} {}^{(1 + |x|)} \log (3x+7) & = 2 \\ {}^{(1 -x)} \log (3x+7) & = 2 \\ (3x+7) & = (1-x)^2 \\ 3x+7 & = 1 - 2x + x^2 \\ x^2 -5x + -6 & = 0 \\ (x+1)(x-6) & = 0 \\ x = -1 \vee x & = 6 \end{align}$
karena nilai $ x < 0, \, $ maka yang memenuhi $ x_2 = -1 $
Diperoleh nilai $ x_1 = 3 \, $ dan $ x_2 = -1 \, $ artinya nilai $ a = 3 \, $ dan $ b = -1 $
Sehingga nilai $ a + b = 3 + (-1) = 2 $
Jadi, nilai $ a + b = 2 . \heartsuit $
Nomor 13
Misalkan $A(t)$ menyatakan luas daerah di bawah kurva $y=bx^2 , 0\leq x \leq t$. Jika titik $P(x_0,0)$ sehingga $A(x_0):A(1)=1:8$, maka perbandingan
luas trapesium $ABPQ:DCPQ=...$
$\spadesuit \, $ Menentukan $A(t)$:
$\begin{align*} A(t)&=\int_0^t bx^2 dx = \left[ \frac{b}{3}x^3 \right]_0^t = \frac{b}{3} (t^3-0^3) =\frac{b}{3} t^3 \\ t=x_0 \rightarrow A(x_0)&=\frac{b}{3} (x_0)^3 \\ t=1 \rightarrow A(1)&=\frac{b}{3} (1)^3 = \frac{b}{3} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $x_0 \, $ dari $A(x_0):A(1)=1:8$
$\begin{align*} \frac{A(x_0)}{A(1)}&=\frac{1}{8} \Rightarrow \frac{\frac{b}{3} (x_0)^3}{\frac{b}{3}}=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0^3=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0= \frac{1}{2} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik A, Q, dan D dengan menggunakan $y=bx^2$
titik A : $x=-1 \Rightarrow y=b(-1)^2 = b. \,$ Jadi titik A(-1, b)
titik Q : $x=\frac{1}{2} \Rightarrow y=b\left( \frac{1}{2} \right)^2 = b.\,$ Jadi titik Q(1/2, b/4)
titik D : $x=1 \Rightarrow y=b(1)^2 = b.\,$ Jadi titik D(1, b)
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan luas $ABPQ:DCPQ$
$\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{\frac{1}{2}(AB+PQ).BP}{\frac{1}{2}(CD+PQ).CP}=\frac{(b+\frac{b}{4}).\frac{3}{2}}{(b+\frac{b}{4}).\frac{1}{2}} = \frac{3}{1} $
Jadi, perbandingan luas $\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{3}{1}. \, \heartsuit $
$\begin{align*} A(t)&=\int_0^t bx^2 dx = \left[ \frac{b}{3}x^3 \right]_0^t = \frac{b}{3} (t^3-0^3) =\frac{b}{3} t^3 \\ t=x_0 \rightarrow A(x_0)&=\frac{b}{3} (x_0)^3 \\ t=1 \rightarrow A(1)&=\frac{b}{3} (1)^3 = \frac{b}{3} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $x_0 \, $ dari $A(x_0):A(1)=1:8$
$\begin{align*} \frac{A(x_0)}{A(1)}&=\frac{1}{8} \Rightarrow \frac{\frac{b}{3} (x_0)^3}{\frac{b}{3}}=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0^3=\frac{1}{8} \Rightarrow x_0= \frac{1}{2} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan titik A, Q, dan D dengan menggunakan $y=bx^2$
titik A : $x=-1 \Rightarrow y=b(-1)^2 = b. \,$ Jadi titik A(-1, b)
titik Q : $x=\frac{1}{2} \Rightarrow y=b\left( \frac{1}{2} \right)^2 = b.\,$ Jadi titik Q(1/2, b/4)
titik D : $x=1 \Rightarrow y=b(1)^2 = b.\,$ Jadi titik D(1, b)
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan luas $ABPQ:DCPQ$
$\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{\frac{1}{2}(AB+PQ).BP}{\frac{1}{2}(CD+PQ).CP}=\frac{(b+\frac{b}{4}).\frac{3}{2}}{(b+\frac{b}{4}).\frac{1}{2}} = \frac{3}{1} $
Jadi, perbandingan luas $\frac{L.ABPQ}{L.DCPQ}=\frac{3}{1}. \, \heartsuit $
Nomor 14
Jika suku pertama, ke-3, dan ke-6 suatu barisan aritmetika masing-masing adalah $ b-a, \, a, \, $ dan 36 serta jumlah 9 suku pertama
barisan tersebut adalah 180, maka beda barisan tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b \, $ dan $ s_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $
Misal suku pertamanya $ a \, $ dan bedanya $ b $
Catatan : yang digunakan hanya suku ke-6 dan jumlah 9 sukunya
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan dari $ u_6 = 36 \, $ dan $ s_9 = 180 $
Persamaan pertama :
$\begin{align} u_6 & = 36 \\ a + (6-1) b & = 36 \\ a + 5 b & = 36 \, \, \, \text{ ....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} s_9 & = 180 \\ \frac{9}{2} (2a + 8b) & = 180 \\ 9(a + 4b ) & = 180 \, \, \, \text{ (bagi 9)} \\ a+ 4b & = 20 \, \, \, \text{ ....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} a + 5 b = 36 & \\ a+ 4b = 20 & - \\ \hline b = 16 & \end{array} $
Jadi, bedanya adalah 16. $ \heartsuit $
Misal suku pertamanya $ a \, $ dan bedanya $ b $
Catatan : yang digunakan hanya suku ke-6 dan jumlah 9 sukunya
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan dari $ u_6 = 36 \, $ dan $ s_9 = 180 $
Persamaan pertama :
$\begin{align} u_6 & = 36 \\ a + (6-1) b & = 36 \\ a + 5 b & = 36 \, \, \, \text{ ....pers(i)} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} s_9 & = 180 \\ \frac{9}{2} (2a + 8b) & = 180 \\ 9(a + 4b ) & = 180 \, \, \, \text{ (bagi 9)} \\ a+ 4b & = 20 \, \, \, \text{ ....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} a + 5 b = 36 & \\ a+ 4b = 20 & - \\ \hline b = 16 & \end{array} $
Jadi, bedanya adalah 16. $ \heartsuit $
Nomor 15
Persamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik (-2,-1) dan menyinggung sumbu X dan sumbu Y adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Suatu lingkaran menyinggung sumbu X dan sumbu Y, maka pusat dan jari-jarinya sama seperti gambar di atas ( gambar (1) ) dengan pusat $ (a,b) = (p,p) \, $ dan $ r = p $
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $ \, (a , b) \, $ dan jari - jari $ \, r $
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Persamaan garis yang melalui perpotongan dua lingkaran caranya langsung dikurangkan kedua persamaan.
$\clubsuit \, $ Menentukan pusat lingkaran yang melalui titik (-2,-1) dengan pusat $ (a,b) = (p,p) \, $ dan jari-jari $ r = p $
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-p)^2 + (y-p)^2 & = p^2 \\ (-2,-1) \rightarrow (x-p)^2 + (y-p)^2 & = p^2 \\ (-2-p)^2 + (-1-p)^2 & = p^2 \\ (-2-p)^2 + (-1-p)^2 & = p^2 \\ 4 + 4p + p^2 + 1 + 2p + p^2 & = p^2 \\ p^2 + 6p + 5 & = 0 \\ (p+1)(p+5) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = -5 \end{align}$
Sehingga pusat lingkaran yang mungkin : (-1,-1) dan (-5,-5) seperti gambar di atas ( gambar (2) )
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan lingkarannya
Pusat $(a,b) = (-1,-1) \, $ dengan jari - jari $ r = 1 $
$\begin{align} (x-(-1))^2 + (y-(-1))^2 & = 1^2 \\ (x+1)^2 + (y+1)^2 & = 1^2 \\ x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 & = 1 \\ x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 & = 0 \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
Pusat $(a,b) = (-5,-5) \, $ dengan jari - jari $ r = 5 $
$\begin{align} (x-(-5))^2 + (y-(-5))^2 & = 5^2 \\ (x+5)^2 + (y+5)^2 & = 5^2 \\ x^2 + 10x + 25 + y^2 + 10y + 25 & = 25 \\ x^2 + y^2 + 10x + 10y + 25 & = 0 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 10x + 10y + 25 = 0 & \\ x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0 & - \\ \hline 8x+8y+24 = 0 & \\ x + y + 3 = 0 & \end{array} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ x + y + 3 = 0 . \heartsuit $
*). Suatu lingkaran menyinggung sumbu X dan sumbu Y, maka pusat dan jari-jarinya sama seperti gambar di atas ( gambar (1) ) dengan pusat $ (a,b) = (p,p) \, $ dan $ r = p $
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $ \, (a , b) \, $ dan jari - jari $ \, r $
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Persamaan garis yang melalui perpotongan dua lingkaran caranya langsung dikurangkan kedua persamaan.
$\clubsuit \, $ Menentukan pusat lingkaran yang melalui titik (-2,-1) dengan pusat $ (a,b) = (p,p) \, $ dan jari-jari $ r = p $
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-p)^2 + (y-p)^2 & = p^2 \\ (-2,-1) \rightarrow (x-p)^2 + (y-p)^2 & = p^2 \\ (-2-p)^2 + (-1-p)^2 & = p^2 \\ (-2-p)^2 + (-1-p)^2 & = p^2 \\ 4 + 4p + p^2 + 1 + 2p + p^2 & = p^2 \\ p^2 + 6p + 5 & = 0 \\ (p+1)(p+5) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = -5 \end{align}$
Sehingga pusat lingkaran yang mungkin : (-1,-1) dan (-5,-5) seperti gambar di atas ( gambar (2) )
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan lingkarannya
Pusat $(a,b) = (-1,-1) \, $ dengan jari - jari $ r = 1 $
$\begin{align} (x-(-1))^2 + (y-(-1))^2 & = 1^2 \\ (x+1)^2 + (y+1)^2 & = 1^2 \\ x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 & = 1 \\ x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 & = 0 \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
Pusat $(a,b) = (-5,-5) \, $ dengan jari - jari $ r = 5 $
$\begin{align} (x-(-5))^2 + (y-(-5))^2 & = 5^2 \\ (x+5)^2 + (y+5)^2 & = 5^2 \\ x^2 + 10x + 25 + y^2 + 10y + 25 & = 25 \\ x^2 + y^2 + 10x + 10y + 25 & = 0 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} x^2 + y^2 + 10x + 10y + 25 = 0 & \\ x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0 & - \\ \hline 8x+8y+24 = 0 & \\ x + y + 3 = 0 & \end{array} $
Jadi, persamaan garisnya adalah $ x + y + 3 = 0 . \heartsuit $
mantap
BalasHapustrims kunjungannya.
Hapusthank you Pak
BalasHapus