Nomor 11
Jika $A=\left( \begin{matrix} 0 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{matrix} \right) , \, B=\left( \begin{matrix} 3 & a \\ -2 & b \\ 1 & c \end{matrix} \right)$ ,
dan $ AB = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right), \, $ maka nilai $ 2c-a \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan perkaliannya
$\begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 0 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 3 & a \\ -2 & b \\ 1 & c \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 4 & -b+2c \\ -6 & -2a+b+2c \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right) \\ \text{diperoleh persamaan} & \\ -b+ 2c & = 2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ -2a+b+2c & = 2 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
$\spadesuit \, $ Jumlahkan kedua persamaan
$\begin{array}{cc} -b+ 2c = 2 & \\ -2a+b+2c = 2 & + \\ \hline 4c - 2a = 4 & \\ 2c - a = 2 & \end{array} $
Jadi, nilai $ 2c - a = 2 . \heartsuit $
$\begin{align} AB & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 0 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 3 & a \\ -2 & b \\ 1 & c \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 4 & -b+2c \\ -6 & -2a+b+2c \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -6 & 2 \end{matrix} \right) \\ \text{diperoleh persamaan} & \\ -b+ 2c & = 2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ -2a+b+2c & = 2 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
$\spadesuit \, $ Jumlahkan kedua persamaan
$\begin{array}{cc} -b+ 2c = 2 & \\ -2a+b+2c = 2 & + \\ \hline 4c - 2a = 4 & \\ 2c - a = 2 & \end{array} $
Jadi, nilai $ 2c - a = 2 . \heartsuit $
Nomor 12
Diketahui $a, \, b,$ dan $c$ adalah tiga suku pertama suatu barisan aritmetika dengan $b > 0$ . Jika $a-b+c=b^2-6 \, $ , maka nilai $b \, $
adalah ...
$\clubsuit \, a, \, b,$ dan $c$ barisan aritmatika (selisih sama).
$b-a = c - b \Rightarrow a+c = 2b \, $ ...pers(i)
dari soal diketahui juga : $a-b+c=b^2-6 \, $ ...per(ii)
$\clubsuit \, $ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align*} a-b+c & =b^2-6 \\ (a+c)-b &=b^2-6 \, \text{(posisi b dan c ditukar)}\\ 2b - b &= b^2-6 \\ b^2-b-6 & = 0 \\ (b-3)(b+2) & = 0 \\ b=3 \, & \vee \, b=-2 \end{align*}$
karena nilai $b > 0$ , maka nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=3$ .
Jadi, nilai $b=3. \heartsuit $
$b-a = c - b \Rightarrow a+c = 2b \, $ ...pers(i)
dari soal diketahui juga : $a-b+c=b^2-6 \, $ ...per(ii)
$\clubsuit \, $ Substiutusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align*} a-b+c & =b^2-6 \\ (a+c)-b &=b^2-6 \, \text{(posisi b dan c ditukar)}\\ 2b - b &= b^2-6 \\ b^2-b-6 & = 0 \\ (b-3)(b+2) & = 0 \\ b=3 \, & \vee \, b=-2 \end{align*}$
karena nilai $b > 0$ , maka nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=3$ .
Jadi, nilai $b=3. \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui deret geometri tak hingga $u_1+u_2+u_3+...$ . Jika rasio deret tersebut adalah $r$ dengan $ -1 < r < 1 \, $ dan
$u_1+u_3+u_5+...= \frac{2}{3} u_1 + (u_2 + u_4+u_6+ ....) \, $ , maka nilai $ r^2 \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $ u_n = ar^{n-1} $
Jumlah geometri tak hingga : $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} $
Barisan geometri : $ u_n = a.r^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan Rumus
Persamaan pertama :
$\begin{align} u_1+u_3+u_5+... & = a + ar^2 + ar^4 + ..... \\ (\text{suku pertama} & = a , \, \text{rasio} = r^2 )\\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} \\ u_1+u_3+u_5+... & = \frac{a}{1-r^2} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} u_2 + u_4+u_6+ .... & = ar + ar^3 + ar^5 + ..... \\ (\text{suku pertama} & = ar , \, \text{rasio} = r^2) \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} \\ u_2 + u_4+u_6+ .... & = \frac{ar}{1-r^2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ r^2 $
$\begin{align} u_1+u_3+u_5+... & = \frac{2}{3} u_1 + (u_2 + u_4+u_6+ ....) \\ \frac{a}{1-r^2} & = \frac{2}{3} a + (\frac{ar}{1-r^2}) \, \, \, \, \text{(bagi } a ) \\ \frac{1}{1-r^2} & = \frac{2}{3} + (\frac{r}{1-r^2}) \, \, \, \, \text{[kali } 3(1-r^2) ] \\ 3 & = 2(1-r^2) + 3r \\ 3 & = 2 - 2r^2 + 3r \\ 2r^2 - 3r + 1 & = 0 \\ (2r-1)(r-1) & = 0 \\ r = \frac{1}{2} \vee r & = 1 \end{align}$
Karena nilai $ -1 < r < 1 \, $ , maka nilai yang memenuhi $ r = \frac{1}{2} $
Sehingga nilai $ r^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $
Jadi, nilai $ r^2 = \frac{1}{4} . \heartsuit $
Jumlah geometri tak hingga : $ s_\infty = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} $
Barisan geometri : $ u_n = a.r^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Menentukan Rumus
Persamaan pertama :
$\begin{align} u_1+u_3+u_5+... & = a + ar^2 + ar^4 + ..... \\ (\text{suku pertama} & = a , \, \text{rasio} = r^2 )\\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} \\ u_1+u_3+u_5+... & = \frac{a}{1-r^2} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} u_2 + u_4+u_6+ .... & = ar + ar^3 + ar^5 + ..... \\ (\text{suku pertama} & = ar , \, \text{rasio} = r^2) \\ & = \frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}} \\ u_2 + u_4+u_6+ .... & = \frac{ar}{1-r^2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ r^2 $
$\begin{align} u_1+u_3+u_5+... & = \frac{2}{3} u_1 + (u_2 + u_4+u_6+ ....) \\ \frac{a}{1-r^2} & = \frac{2}{3} a + (\frac{ar}{1-r^2}) \, \, \, \, \text{(bagi } a ) \\ \frac{1}{1-r^2} & = \frac{2}{3} + (\frac{r}{1-r^2}) \, \, \, \, \text{[kali } 3(1-r^2) ] \\ 3 & = 2(1-r^2) + 3r \\ 3 & = 2 - 2r^2 + 3r \\ 2r^2 - 3r + 1 & = 0 \\ (2r-1)(r-1) & = 0 \\ r = \frac{1}{2} \vee r & = 1 \end{align}$
Karena nilai $ -1 < r < 1 \, $ , maka nilai yang memenuhi $ r = \frac{1}{2} $
Sehingga nilai $ r^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $
Jadi, nilai $ r^2 = \frac{1}{4} . \heartsuit $
Nomor 14
Diketahui fungsi kuadrat $ f(x) = x^2 - (k+2)x + 2k \, $ dan $ f(a)=f(b)=0 . \, $ Jika $ 2b-a, \, \frac{3}{2}ab, \, $ dan $ 3a+8 \, $
membentuk barisan aritmeika, maka nilai $ k \, $ adalah .....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar
Nilai $ f(a) = f(b) = 0 , \, $ artinya $ a \, $ dan $ b \, $ adalah akar-akar persamaan $ f(x) = 0 \, $ atau $ x^2 - (k+2)x + 2k = 0 $
$\clubsuit \,$ PK : $ x^2 - (k+2)x + 2k = 0 \, $ akar-akarnya $ a \, $ dan $ b $
Operasi akar-akarnya :
$ a + b = k + 2 , \, $ dan $ a.b = 2k $
$\clubsuit \,$ Barisan aritmetika : $ 2b-a, \, \frac{3}{2}ab, \, $ dan $ 3a+8 \, $
Selisih sama :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ (\frac{3}{2}ab) - (2b-a) & = (3a+8) - (\frac{3}{2}ab) \\ (\frac{3}{2}ab) + (\frac{3}{2}ab) & = (3a+8) + (2b-a) \\ 3ab & = 2 ( a+b) + 8 \\ 3.(2k) & = 2 ( k+2 ) + 8 \\ 6k & = 2k + 4 + 8 \\ 4k & = 12 \\ k & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 3 . \heartsuit $
Nilai $ f(a) = f(b) = 0 , \, $ artinya $ a \, $ dan $ b \, $ adalah akar-akar persamaan $ f(x) = 0 \, $ atau $ x^2 - (k+2)x + 2k = 0 $
$\clubsuit \,$ PK : $ x^2 - (k+2)x + 2k = 0 \, $ akar-akarnya $ a \, $ dan $ b $
Operasi akar-akarnya :
$ a + b = k + 2 , \, $ dan $ a.b = 2k $
$\clubsuit \,$ Barisan aritmetika : $ 2b-a, \, \frac{3}{2}ab, \, $ dan $ 3a+8 \, $
Selisih sama :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ (\frac{3}{2}ab) - (2b-a) & = (3a+8) - (\frac{3}{2}ab) \\ (\frac{3}{2}ab) + (\frac{3}{2}ab) & = (3a+8) + (2b-a) \\ 3ab & = 2 ( a+b) + 8 \\ 3.(2k) & = 2 ( k+2 ) + 8 \\ 6k & = 2k + 4 + 8 \\ 4k & = 12 \\ k & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 3 . \heartsuit $
Nomor 15
Kode kupon hadiah untuk belanja pada suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 2, 2, 3, 4. Jika kupon-kupon
tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode 32124 berada pada urutan ke- .....
$\spadesuit \, $ Untuk menentukan urutan kode 32124, kita urutkan dari terkecil yang disusun dari angka 1, 2, 2, 3, 4. Kita bagi
menjadi beberapa kasus
1). Angka pertama 1, dan empat angka sisanya diisi oleh angka 2, 2, 3, 4
total = $ \frac{4!}{2!} = 4 . 3 = 12 \, $ angka,
2). Angka pertama 2, dan empat angka sisanya diisi oleh angka 1, 2, 3, 4
total = $ 4! = 4.3.2.1 = 24 $ angka,
3). Angka pertama 3 dan kedua angka 1 (agar tetap kurang dari 32124), dan tiga angka sisanya diisi oleh angka 2, 2, 4
total = $ \frac{3!}{2!} = 3 $ angka,
4). Angka pertama 3 dan kedua angka 2, otomatis angka ketiga 1, dan selanjutnya angka 2 dan 4. sehingga ketemu angka 32124 yaitu 1 angka.
Kode 32124 ada pada urutan ke 12 + 24 + 3 + 1 = 40.
Jadi, kode 32124 ada pada urutan ke-40. $\heartsuit $
1). Angka pertama 1, dan empat angka sisanya diisi oleh angka 2, 2, 3, 4
total = $ \frac{4!}{2!} = 4 . 3 = 12 \, $ angka,
2). Angka pertama 2, dan empat angka sisanya diisi oleh angka 1, 2, 3, 4
total = $ 4! = 4.3.2.1 = 24 $ angka,
3). Angka pertama 3 dan kedua angka 1 (agar tetap kurang dari 32124), dan tiga angka sisanya diisi oleh angka 2, 2, 4
total = $ \frac{3!}{2!} = 3 $ angka,
4). Angka pertama 3 dan kedua angka 2, otomatis angka ketiga 1, dan selanjutnya angka 2 dan 4. sehingga ketemu angka 32124 yaitu 1 angka.
Kode 32124 ada pada urutan ke 12 + 24 + 3 + 1 = 40.
Jadi, kode 32124 ada pada urutan ke-40. $\heartsuit $
