Kode 381 Pembahasan Dimensi Tiga Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui T.ABCD merupakan limas beraturan dengan alas bujur sangkar. Titik E pada TA dengan $ TE:EA = 2 : 3 $ , titik F pada TB dengan $ TF:FB = 7:3$. Jika bidang yang melalui EF dan sejajar BC memotong TC dan TD berturut-turut di G dan H, maka $ EH : FG = .... $
A). $ \frac{9}{8} \, $ B). $ \frac{5}{8} \, $ C). $ \frac{4}{8} \, $ D). $ \frac{3}{8} \, $ E). $ \frac{1}{8} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Dimensi Tiga
*). Sebuah segitiga ABC dimana salah satu sudutnya $ 60^\circ \, $ dan segitiga tersebut sama kaki, maka pasti segitiga ABC adalah segitiga sama sisi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
Misalkan panjang rusuk limasnya adalah 10. Panjang semua rusuk sama karena bentuknya limas beraturan, sehingga sisi tegaknya adalah segitiga sama sisi.
 

Agar Bidang EFGH sejajar dengan BC, maka $ TE = TH \, $ dan $ TF = TG$.
*). Menentukan panjang beberapa rusuk.
perbandingan $ TE:EA = 2 : 3 \rightarrow TE = \frac{2}{5} \times TA = \frac{2}{5} \times 10 = 4 $
Panjang $ EA = TA - TE = 10 - 4 = 6 $
perbandingan $ TF:FB = 7:3 \rightarrow TF = \frac{7}{10} \times TB = \frac{7}{10} \times 10 = 7 $
Panjang $ FB = TB - TF = 10 - 7 = 3 $
*). Perhatikan segitiga TEH.
Karena segitiga TAD sama sisi, maka sudut ATD = $ 60^\circ \, $ dan segitiga TEH sama kaki, sehingga segitiga TEH juga sama sisi yang artinya $ EH = 4 $.
*). Perhatikan segitiga TFG.
Karena segitiga TBC sama sisi, maka sudut BTC = $ 60^\circ \, $ dan segitiga TFG sama kaki, sehingga segitiga TFG juga sama sisi yang artinya $ FG = 7 $.
*). Perbandingan EH dan FG .
Perbandingan $ EH : FG = 4 : 7 $.
Jadi, perbandingan EH dan FG adalah $ 4 : 7 . \, \heartsuit $
(Tidak ada jawabannya).

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara II : Konsep kesebangunan dua segitiga.
*). Misalkan kita anggap tidak semua rusuknya sama panjang, sehingga hanya rusuk alasnya saja yang sama karena beraturan. Misalkan panjang rusuk alas adalah $ a $.
*). Gambar segitiga TAD dan segitiga TBC
 

*). Perhatikan segitiga TAD, Segitiga TEH sebangun dengan segitiga TAD :
$\begin{align} \frac{EH}{AD} & = \frac{TE}{TA} \\ \frac{EH}{a} & = \frac{2}{5} \\ EH & = \frac{2}{5} a \\ \end{align} $
*). Perhatikan segitiga TBC, Segitiga TFG sebangun dengan segitiga TBC :
$\begin{align} \frac{FG}{BC} & = \frac{TG}{TC} \\ \frac{FG}{a} & = \frac{7}{10} \\ FG & = \frac{7}{10} a \\ \end{align} $
*). Menentukan perbandingan EH dan FG
$\begin{align} \frac{EH}{FG} & = \frac{ \frac{2}{5} a}{\frac{7}{10} a} \\ & = \frac{2}{5} \times \frac{10}{7} \\ & = \frac{4}{7} \end{align} $
Jadi, perbandingan EH dan FG adalah $ 4 : 7 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar