Kode 381 Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Semua bilangan real $ x \, $ yang memenuhi $ |2x+1| < 5 - |2x| \, $ adalah ....
A). $ -\frac{3}{2} < x < 1 \, $ B). $ -\frac{5}{2} < x < 3 \, $
C). $ -\frac{7}{2} < x < 5 \, $ D). $ x < -\frac{3}{2} \vee x > 2 $
E). $ x < -\frac{5}{2} \vee x > 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Bentuk Mutlak
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menjabarkan masing-masing bentuk mutlaknya :
$ |2x+1| = \left\{ \begin{array}{ccc} (2x+1) & , \text{ untuk } 2x + 1 \geq 0 & \rightarrow x \geq -\frac{1}{2} \\ -(2x+1) & , \text{ untuk } 2x+ 1 < 0 & \rightarrow x < -\frac{1}{2} \end{array} \right. $
$ |2x| = \left\{ \begin{array}{ccc} (2x) & , \text{ untuk } 2x \geq 0 & \rightarrow x \geq 0 \\ -2x & , \text{ untuk } 2x < 0 & \rightarrow x < 0 \end{array} \right. $
Sehingga pembatas nilai $ x \, $ dari kedua bentuk mutlak adalah untuk $ x = -\frac{1}{2} \, $ dan $ x = 0 $. Ini artinya terbentuk tiga daerah yaitu :
Daerah I untuk $ x < -\frac{1}{2} $ ,
Daerah II untuk $ -\frac{1}{2} \leq x < 0 $ ,
Daerah III untuk $ x \geq 0 $ ,
*). Menyelesaikan soal berdasarkan daerah dan definisinya :
Soal mula-mula : $ |2x+1| < 5 - |2x| $
-). Daerah I : untuk $ x < -\frac{1}{2} $,
maka $ |2x+1| = -(2x+1) \, $ dan $ |2x| = -2x $
$\begin{align} |2x+1| & < 5 - |2x| \\ -(2x+1) & < 5 - [-2x] \\ -2x-1 & < 5 + 2x \\ - 4x & < 6 \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ x & > \frac{6}{-4} \\ x & > -\frac{3}{2} \end{align} $
Karena daerah I untuk $ x < -\frac{1}{2} $, maka solusinya :
HP1 = $ \{ -\frac{3}{2} < x < -\frac{1}{2} \} $
-). Daerah II : untuk $ -\frac{1}{2} \leq x < 0 $,
maka $ |2x+1| = (2x+1) \, $ dan $ |2x| = -2x $
$\begin{align} |2x+1| & < 5 - |2x| \\ (2x+1) & < 5 - [-2x] \\ 2x+1 & < 5 + 2x \\ 1 & < 5 \, \, \, \, \, \text{(Benar)} \end{align} $
Artinya untuk semua $ x \, $ di daerah II benar, sehingga
HP2 = $ \{ -\frac{1}{2} \leq x < 0 \} $
-). Daerah III : untuk $ x \geq 0 $,
maka $ |2x+1| = (2x+1) \, $ dan $ |2x| = 2x $
$\begin{align} |2x+1| & < 5 - |2x| \\ (2x+1) & < 5 - [2x] \\ 4x & < 4 \\ x & < 1 \end{align} $
Karena daerah III untuk $ x \geq 0 $, maka solusinya :
HP3 = $ \{ 0 \leq x < 1 \} $
*). Solusi keseluruhannya :
HP = HP1 $ \cap $ HP2 $ \cap $ HP3
HP = $ \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} . \, \heartsuit $

$\clubsuit $ Pembahasan
Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow |2x+1| & < 5 - |2x| \\ |2.0+1| & < 5 - |2.0| \\ 1 & < 5 \\ \text{(Benar)} & \end{align}$
yang ada $x=0$ benar, opsi yang salah adalah D dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow |2x+1| & < 5 - |2x| \\ |2.1+1| & < 5 - |2.1| \\ 3 & < 3 \\ \text{(Salah)} & \end{align}$
yang ada $x=1$ salah, opsi yang salah adalah B dan C.
Sehingga opsi yang tersisa benar adalah opsi A, artinya jawabannya A.
Jadi, solusinya adalah $ \{ -\frac{3}{2} < x < 1 \} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar