Kode 381 Pembahasan Suku Banyak Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Sisa pembagian $ x^4 + px^3 + qx^2 - 8 \, $ oleh $ x^2-2x-3 \, $ adalah $ 45x+37$. Nilai $ p $ dan $ q $ adalah .....
A). $ p=2, q=3 \, $ B). $ p=-2, q=-3 \, $
C). $ p=3, q=2 \, $ D). $ p=-3, q=-2 \, $
E). $ p=-3, q=2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Suku Banyak atau polinomial
*). Teorema sisa
$ \frac{f(x)}{x-a} \rightarrow \text{ sisa } = f(a) $
artinya sisanya diperoleh dengan mengganti $ x = a \, $ yaitu akar dari pembaginya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
$P(x) : (x^2-2x-3) \, $ bersisa $(45x+37) $.
dengan $ P(x) = x^4 + px^3 + qx^2 - 8 $
$ \frac{P(x)}{x^2-2x-3} = \frac{P(x)}{(x+1)(x-3)} = \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa} = P(-1) \\ \text{sisa} = P(3) \end{array} \right. $
artinya dengan sisa = $ 45x+37 \, $ dan $ P(x) $ , kita peroleh :
Persamaan Pertama :
$\begin{align} \text{sisa} & = P(-1) \\ P(-1) & = \text{sisa} \\ (-1)^4 + p.(-1)^3 + q.(-1)^2 - 8 & = 45 . (-1) + 37 \\ 1 - p + q - 8 & = -8 \\ -p + q & = -1 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
Persamaan Kedua :
$\begin{align} \text{sisa} & = P(3) \\ P(3) & = \text{sisa} \\ (3)^4 + p.(3)^3 + q.(3)^2 - 8 & = 45 . (3) + 37 \\ 81 + 27 p + 9 q - 8 & = 172 \\ 27p + 9q & = 99 \\ 3p + q & = 11 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$ \begin{array}{cc} -p + q = -1 & \\ 3p + q = 11 & - \\ \hline -4p = -12 & \\ p = 3 & \end{array} $
Pers(i) : $ -p + q = -1 \rightarrow -3 + q = -1 \rightarrow q = 2 $
Jadi, nilai $ p= 3 \, $ dan $ q = 2 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar