Kode 381 Pembahasan Persamaan Logaritma Hasil Jumlah Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah semua nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ {}^{(5x+9)} \log (x^2+6x+9) + {}^{(x+3)} \log (5x^2+ 24x + 27) = 4 \, $ adalah ....
A). $ \frac{19}{4} \, $ B). $ 4 \, $ C). $ \frac{15}{4} \, $ D). $ \frac{13}{4} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma
*). Definisi Logaritma
${}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaan :
Misalkan $ p = {}^{x+3} \log (5x+9) $
Menyederhanakan persamaan awal :
$\begin{align} {}^{(5x+9)} \log (x^2+6x+9) + {}^{(x+3)} \log (5x^2+ 24x + 27) & = 4 \\ {}^{(5x+9)} \log (x+3)^2 + {}^{(x+3)} \log (5x+9)(x+3) & = 4 \\ 2 \times {}^{(5x+9)} \log (x+3) + {}^{(x+3)} \log (5x+9) + 1 & = 4 \\ 2 \times \frac{1}{{}^{(x+3)} \log (5x+9)} + {}^{(x+3)} \log (5x+9) - 3 & = 0 \\ 2 \times \frac{1}{p} + p - 3 & = 0 \\ \text{(kali p) } \, \, \frac{2}{p} + p - 3 & = 0 \\ 2 + p^2 - 3p & = 0 \\ p^2 - 3p + 2 & = 0 \\ (p - 1)(p - 2) & = 0 \\ p = 1 \vee p & = 2 \end{align} $
*). Kita substitusi nilai $ p \, $ ke bentuk permisalannya ($p = {}^{x+3} \log (5x+9) $) dan menentukan niali $ x \, $ dengan definisi logaritma :
$\begin{align} p = 1 \rightarrow {}^{x+3} \log (5x+9) & = 1 \\ (5x+9) & = (x+3)^ 1 \\ (5x+9) & = x+3 \\ 4x & = - 6 \\ x_1 & = -\frac{6}{4} = - \frac{3}{2} \\ p = 2 \rightarrow {}^{x+3} \log (5x+9) & = 2 \\ (5x+9) & = (x+3)^ 2 \\ (5x+9) & = x^2 + 6x + 9 \\ x^2 + x & = 0 \\ x(x + 1) & = 0 \\ x_2 = 0 \vee x_3 & = -1 \end{align} $
*). Menentukan jumlah akar-akar :
$ x_1 + x_2 + x_3 = - \frac{3}{2} + 0 + (-1) = -\frac{5}{2} $
Jadi, jumlah semua akar-akar adalah $ -\frac{5}{2} . \, \heartsuit $

Catatan :
Sebenarnya nilai $ x_1 = -\frac{3}{2}, \, x_2 = 0 , \, $ dan $ x_3 = -1 \, $ harus kita cek dulu ke syarat logaritmanya. Silahkan teman-teman cek, semua nilai $ x \, $ di atas memenuhi syarat logaritma.



Tidak ada komentar:

Posting Komentar