Kode 381 Pembahasan Persamaan Logaritma Hasil Kali Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Hasil kali semua akar-akar real persamaan $ \sqrt{10}(x^2-x+4)^{\log (x^2 - x + 4)} = (x^2 - x + 4)^\frac{3}{2} \, $ adalah ....
A). $ -18 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 18 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma dan Persamaan Kuadrat
*). Definisi Logaritma
${}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log b^n = n \times {}^a \log b $
*). Persamaan kuadrat : $ax^2 + bx + c = 0 $
memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $.
Syarat akar-akar real adalah $ D \geq 0 \, $ dengan $ D = b^2 - 4ac $
Hasil kali akar-akarnya : $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaan :
Misalkan $ p = \log (x^2 - x + 4) $
Kita berikan log kedua ruas :
$\begin{align} \sqrt{10}(x^2-x+4)^{\log (x^2 - x + 4)} & = (x^2 - x + 4)^\frac{3}{2} \\ \log [\sqrt{10}(x^2-x+4)^{\log (x^2 - x + 4)} ] & = \log (x^2 - x + 4)^\frac{3}{2} \\ \log \sqrt{10} + \log (x^2-x+4)^{\log (x^2 - x + 4)} & = \frac{3}{2} \log (x^2 - x + 4) \\ \log 10^\frac{1}{2} + \log (x^2 - x + 4) \times \log (x^2-x+4) & = \frac{3}{2} \log (x^2 - x + 4) \\ \frac{1}{2} \log 10 + p \times p & = \frac{3}{2} p \\ \frac{1}{2} + p^2 & = \frac{3}{2} p \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 1 + 2p^2 & = 3 p \\ 2p^2 - 3p + 1 & = 0 \\ (2p-1)(p-1) & = 0 \\ p = \frac{1}{2} \vee p & = 1 \end{align} $
*). Kita substitusi nilai $ p \, $ ke bentuk permisalannya ($p = \log (x^2 - x + 4)$) dan menentukan hasil kali akar-akar real $( D \geq 0)$ serta menggunakan definisi logaritma :
$\begin{align} p = \frac{1}{2} \rightarrow \log (x^2 - x + 4) & = \frac{1}{2} \\ (x^2 - x + 4) & = 10^\frac{1}{2} \\ x^2 - x + 4 & = \sqrt{10} \\ x^2 - x + 4 - \sqrt{10} & = 0 \\ \text{Cek Nilai } D & = b^2 - 4ac \\ D & = (-1)^2 - 4 . 1 . (4 - \sqrt{10}) \\ & = 1 - 4 (4 - \sqrt{10}) \\ & = 1 - 16 + 4\sqrt{10} \\ & = - 15 + 4\sqrt{10} < 0 \end{align} $
Karena nilai $ D < 0 \, $ , maka akar-akarnya tidak real, sehingga hasil kalinya tidak kita hitung.
$\begin{align} p = 1 \rightarrow \log (x^2 - x + 4) & = 1 \\ (x^2 - x + 4) & = 10^1 \\ x^2 - x + 4 & = 10 \\ x^2 - x -6 & = 0 \\ \text{Cek Nilai } D & = b^2 - 4ac \\ D & = (-1)^2 - 4 . 1 . (-6) \\ & = 1 + 24 \\ & = 25 > 0 \end{align} $
Karena nilai $ D > 0 \, $ maka akar-akarnya real, sehingga kita cari nilai hasil kali akar-akarnya.
$ x^2 - x -6 = 0 \rightarrow x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-6}{1} = -6 $
Jadi, hasil kali semua akar-akar realnya adalah $ -6 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar