Kode 371 Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) > 3 \, $ berada pada ....
A). $ -3 < x < -2 \vee 2 < x < 5 \, $
B). $-5 < x < -2 \vee 2 < x < 3 \, $
C). $ -3 < x < -\sqrt{3} \vee \sqrt{3} < x < 5 \, $
D). $ x < -2 \vee x > 2 \, $
E). $ 2 < x < 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Logaritma
*). Syarat Logaritma :
$ {}^{f(x)} \log g(x) \, $ memiliki syarat $ f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, $ dan $ g(x) > 0 $ .
*). Sifat Logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
$ {}^a \log b = {{}^a}^n \log b^n \, $ (dipangkatkan sama)
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Pertidaksamaan Logaritma :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki solusi :
Untuk $ a > 1$, maka $ f(x) > g(x) \, $ atau
untuk $ 0 < x < 1 $, maka $ f(x) < g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan syarat logaritma pada soal
$ \begin{align} \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) > 3 \end{align} $
Syarat-syaratnya :
-). $ x + 6 > 0 \rightarrow \{ x > -6 \} $
-). $ x^2 - 3 > 0 \rightarrow x^2 > 3 \rightarrow x = \pm \sqrt{3} $
 

$ \{ x < - \sqrt{3} \vee x > \sqrt{3} \} $
-). $ x^2 - 3 \neq 1 \rightarrow x^2 \neq 4 \rightarrow x \neq \pm 2 $
Sehingga syarat yang memenuhi ketiganya adalah irisan dari ketiganya yaitu : $ -6 < x < -2 \, $ atau $ -2 < x < -\sqrt{3} \, $ atau $ \sqrt{3} < x < 2 \, $ atau $ x > 2 $.

*). Memodifikasi pertidaksamaan dengan sifat-sifat logaritma
$ \begin{align} \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + 1 ] & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 2^3 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + {}^2 \log 2 ] & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2 \right) .\left({}^2 \log 2(x+6)\right) & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2(x+6)\right) & > 3 \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ {}^{x^2-3} \log 2(x+6) & > 1 \\ {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \end{align} $

*). Menyelesaikan pertidaksamaan logaritma berdasarkan batas-batas syaratnya :
-). Batas pertama : Untuk $ -6 < x < -2 \, $ , maka $ x^2 - 3 > 1 $ . Artinya basis lebih dari 1, sehingga tanda ketaksamaan tetap .
$ \begin{align} {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ (2x + 12) & > x^2-3 \\ -x^2 + 2x + 15 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - 2x - 15 & < 0 \\ (x + 3)(x - 5) & < 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $
 

HP1 $ = \{ -6 < x < -2 \} \cap \{ -3 < x < 5 \} = \{ -3 < x < -2 \} $

-). Batas pertama : Untuk $ -2 < x < -\sqrt{3} \, $ , maka $ x^2 - 3 < 1 $ . Artinya basis kurang dari 1, sehingga tanda ketaksamaan dibalik .
$ \begin{align} {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ (2x + 12) & < x^2-3 \\ -x^2 + 2x + 15 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - 2x - 15 & > 0 \\ (x + 3)(x - 5) & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $ 


HP2 $ = \{ -2 < x < -\sqrt{3} \} \cap \{ x < -3 \vee x > 5 \} = \{ \, \} $ (kosong)

-). Batas pertama : Untuk $ \sqrt{3} < x < 2 \, $ , maka $ x^2 - 3 < 1 $ . Artinya basis kurang dari 1, sehingga tanda ketaksamaan dibalik .
$ \begin{align} {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ (2x + 12) & < x^2-3 \\ -x^2 + 2x + 15 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - 2x - 15 & > 0 \\ (x + 3)(x - 5) & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $

HP3 $ = \{ \sqrt{3} < x < 2 \} \cap \{ x < -3 \vee x > 5 \} = \{ \, \} $ (kosong)

-). Batas pertama : Untuk $ x > 2 \, $ , maka $ x^2 - 3 > 1 $ . Artinya basis lebih dari 1, sehingga tanda ketaksamaan tetap .
$ \begin{align} {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ (2x + 12) & > x^2-3 \\ -x^2 + 2x + 15 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - 2x - 15 & < 0 \\ (x + 3)(x - 5) & < 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $

HP4 $ = \{ x > 2 \} \cap \{ -3 < x < 5 \} = \{ 2 < x < 5 \} $

Sehingga solusinya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 \cap HP4 = \{ -3 < x < -2 \} \vee \{ 2 < x < 5 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ -3 < x < -2 \} \vee \{ 2 < x < 5 \} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar