dunia informa: matdas um ugm 2016 kode 371

Tampilkan postingan dengan label matdas um ugm 2016 kode 371. Tampilkan semua postingan

Cara 2 : Kode 371 Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Semua nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) > 3 \, $ berada pada ....
A). $ -3 < x < -2 \vee 2 < x < 5 \, $
B). $-5 < x < -2 \vee 2 < x < 3 \, $
C). $ -3 < x < -\sqrt{3} \vee \sqrt{3} < x < 5 \, $
D). $ x < -2 \vee x > 2 \, $
E). $ 2 < x < 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Logaritma
*). Syarat Logaritma :
$ {}^{f(x)} \log g(x) \, $ memiliki syarat $ f(x) > 0 , \, f(x) \neq 1, \, $ dan $ g(x) > 0 $ .
*). Sifat Logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
$ {}^a \log b = {{}^a}^n \log b^n \, $ (dipangkatkan sama)
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
*). Pertidaksamaan Logaritma :
$ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki solusi :
Untuk $ a > 1$, maka $ f(x) > g(x) \, $ atau
untuk $ 0 < x < 1 $, maka $ f(x) < g(x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memodifikasi pertidaksamaan dengan sifat-sifat logaritma
$ \begin{align} \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + 1 ] & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 2^3 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + {}^2 \log 2 ] & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2 \right) .\left({}^2 \log 2(x+6)\right) & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2(x+6)\right) & > 3 \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ {}^{x^2-3} \log 2(x+6) & > 1 \\ {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \end{align} $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ {}^{3^2-3} \log (2.3 + 12) & > {}^{3^2-3} \log 3^2-3 \\ {}^6 \log 18 & > {}^6 \log 6 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=3$ BENAR, opsi yang salah adalah B dan D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ {}^{2^2-3} \log (2.2 + 12) & > {}^{2^2-3} \log 2^2-3 \\ {}^1 \log 14 & > {}^1 \log 1 \\ \text{(SALAH karena basis } \neq 1) & \end{align}$
yang ada $x=2$ SALAH, opsi yang salah adalah C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-\frac{5}{2} \Rightarrow {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ {}^{(-\frac{5}{2})^2-3} \log (2.(-\frac{5}{2}) + 12) & > {}^{(-\frac{5}{2})^2-3} \log (-\frac{5}{2})^2-3 \\ {}^\frac{13}{4} \log 7 & > {}^\frac{13}{4} \log \frac{13}{4} \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x= -\frac{5}{2}$ BENAR, opsi yang salah adalah E.

Jadi, opsi yang benar adalah A (yang tersisa) yaitu
$HP= \{ -3 < x < -2 \} \vee \{ 2 < x < 5 \} . \heartsuit$

Kode 371 Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan syarat logaritma pada soal
$ \begin{align} \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) > 3 \end{align} $
Syarat-syaratnya :
-). $ x + 6 > 0 \rightarrow \{ x > -6 \} $
-). $ x^2 - 3 > 0 \rightarrow x^2 > 3 \rightarrow x = \pm \sqrt{3} $

$ \{ x < - \sqrt{3} \vee x > \sqrt{3} \} $
-). $ x^2 - 3 \neq 1 \rightarrow x^2 \neq 4 \rightarrow x \neq \pm 2 $
Sehingga syarat yang memenuhi ketiganya adalah irisan dari ketiganya yaitu : $ -6 < x < -2 \, $ atau $ -2 < x < -\sqrt{3} \, $ atau $ \sqrt{3} < x < 2 \, $ atau $ x > 2 $.

*). Memodifikasi pertidaksamaan dengan sifat-sifat logaritma
$ \begin{align} \left({}^2 \log (x+6)\right)\left({}^{x^2-3} \log 8 \right) + \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 8 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + 1 ] & > 3 \\ \left({}^{x^2-3} \log 2^3 \right) [\left({}^2 \log (x+6)\right) + {}^2 \log 2 ] & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2 \right) .\left({}^2 \log 2(x+6)\right) & > 3 \\ 3\left({}^{x^2-3} \log 2(x+6)\right) & > 3 \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ {}^{x^2-3} \log 2(x+6) & > 1 \\ {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \end{align} $

*). Menyelesaikan pertidaksamaan logaritma berdasarkan batas-batas syaratnya :
-). Batas pertama : Untuk $ -6 < x < -2 \, $ , maka $ x^2 - 3 > 1 $ . Artinya basis lebih dari 1, sehingga tanda ketaksamaan tetap .
$ \begin{align} {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ (2x + 12) & > x^2-3 \\ -x^2 + 2x + 15 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - 2x - 15 & < 0 \\ (x + 3)(x - 5) & < 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $

HP1 $ = \{ -6 < x < -2 \} \cap \{ -3 < x < 5 \} = \{ -3 < x < -2 \} $

-). Batas pertama : Untuk $ -2 < x < -\sqrt{3} \, $ , maka $ x^2 - 3 < 1 $ . Artinya basis kurang dari 1, sehingga tanda ketaksamaan dibalik .
$ \begin{align} {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ (2x + 12) & < x^2-3 \\ -x^2 + 2x + 15 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - 2x - 15 & > 0 \\ (x + 3)(x - 5) & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $

HP2 $ = \{ -2 < x < -\sqrt{3} \} \cap \{ x < -3 \vee x > 5 \} = \{ \, \} $ (kosong)

-). Batas pertama : Untuk $ \sqrt{3} < x < 2 \, $ , maka $ x^2 - 3 < 1 $ . Artinya basis kurang dari 1, sehingga tanda ketaksamaan dibalik .
$ \begin{align} {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ (2x + 12) & < x^2-3 \\ -x^2 + 2x + 15 & < 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - 2x - 15 & > 0 \\ (x + 3)(x - 5) & > 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $

HP3 $ = \{ \sqrt{3} < x < 2 \} \cap \{ x < -3 \vee x > 5 \} = \{ \, \} $ (kosong)

-). Batas pertama : Untuk $ x > 2 \, $ , maka $ x^2 - 3 > 1 $ . Artinya basis lebih dari 1, sehingga tanda ketaksamaan tetap .
$ \begin{align} {}^{x^2-3} \log (2x + 12) & > {}^{x^2-3} \log x^2-3 \\ (2x + 12) & > x^2-3 \\ -x^2 + 2x + 15 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1, tanda dibalik)} \\ x^2 - 2x - 15 & < 0 \\ (x + 3)(x - 5) & < 0 \\ x = -3 \vee x & = 5 \end{align} $

HP4 $ = \{ x > 2 \} \cap \{ -3 < x < 5 \} = \{ 2 < x < 5 \} $

Sehingga solusinya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 \cap HP4 = \{ -3 < x < -2 \} \vee \{ 2 < x < 5 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ -3 < x < -2 \} \vee \{ 2 < x < 5 \} . \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Persamaan Logaritma Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi $ {}^2 \log x^2 + {}^3 \log \frac{1}{y^3} = 4 $ dan $ {}^2 \log x + {}^3 \log y^4 = 13 $ , maka ${}^4 \log x - {}^y \log 9 = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma dan Eksponen
*). Sifat-sifat Logaritma :
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
$ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b $
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
*). Sifat Eksponen : $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk persamaan pada soal :
Persamaan Pertama :
$ \begin{align} {}^2 \log x^2 + {}^3 \log \frac{1}{y^3} & = 4 \\ {}^2 \log x^2 + {}^3 \log y^{-3} & = 4 \\ 2 . {}^2 \log x + (-3).{}^3 \log y & = 4 \\ 2 . {}^2 \log x - 3 . {}^3 \log y & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
Persamaan kedua :
$ \begin{align} {}^2 \log x + {}^3 \log y^4 & = 13 \\ {}^2 \log x + 4. {}^3 \log y & = 13 \\ {}^2 \log x & = 13 - 4. {}^3 \log y \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$ \begin{align} 2 . {}^2 \log x - 3 . {}^3 \log y & = 4 \\ 2 . (13 - 4. {}^3 \log y ) - 3 . {}^3 \log y & = 4 \\ 26 - 8. {}^3 \log y - 3 . {}^3 \log y & = 4 \\ - 11. {}^3 \log y & = 4 - 26 \\ - 11. {}^3 \log y & = -22 \\ {}^3 \log y & = \frac{-22}{-11} = 2 \end{align} $
Pers(ii) : $ {}^2 \log x = 13 - 4. {}^3 \log y = 13 - 4 . 2 = 13 - 8 = 5 $
*). Menentukan hasil dari nilai $ {}^3 \log y = 2 \, $ dan $ {}^2 \log x = 5 $
$ \begin{align} {}^4 \log x - {}^y \log 9 & = {{}^2}^2 \log x^1 - {}^y \log 3^2 \\ & = \frac{1}{2} . {}^2 \log x - 2 . {}^y \log 3 \\ & = \frac{1}{2} . 5 - 2 . \frac{1}{2} \\ & = \frac{5}{2} - 1 \\ & = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{3}{2} \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Barisan Aritmatika Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Titik $P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2),...,P_{10}(x_{10},y_{10}) \, $ dilalui oleh garis $ g $ yang mempunyai persamaan $ y + 2x - 3 = 0 $. Bilangan-bilangan $x_1,x_2,...,x_{10} $ membentuk barisan aritmetika. Jika $ x_{10}=2 \, $ dan $ y_5 = 7 $ , maka $ y_7 = .... $
A). $ \frac{19}{5} \, $ B). $ \frac{17}{5} \, $ C). $ \frac{15}{5} \, $ D). $ \frac{13}{5} \, $ E). $ \frac{11}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Aritmatika
*). Rumus suku ke-$n$ :
$ U_n = a + (n-1)b$

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui barisan :
$ x_1, x_2, x_3, ..., x_{10} \, $ barisan aritmatika sehingga :
$ U_1 = x_1 = a, U_2 = x_2, U_3 = x_3 , ..., U_{10} = x_{10} $
dengan $ x_{10} = 2 $ ,
artinya $ U_{10} = 2 \rightarrow a + 9b = 2 \, $ ...pers(i)
*). Substitusi $ y_5 = 7 \, $ ke persamaan garis
$ \begin{align} y_5 = 7 \rightarrow y + 2x - 3 & = 0 \\ y_5 + 2x_5 - 3 & = 0 \\ 7 + 2x_5 - 3 & = 0 \\ 2x_5 & = -4 \\ x_5 & = -2 \end{align} $
Artinya $ U_5 = -2 \, $ sehingga :
$ U_5 = -2 \rightarrow a + 4b = -2 \, $ ....pers(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} a + 9b = 2 & \\ a + 4b = -2 & - \\ \hline 5b = 4 & \\ b = \frac{4}{5} & \end{array} $
pers(ii) : $ a + 4b = -2 \rightarrow a + 4. \frac{4}{5} = -2 \rightarrow a = -\frac{26}{5} $
*). Menentukan $ x_7 $ :
$ \begin{align} x_7 & = U_7 = a + 6b \\ & = -\frac{26}{5} + 6 .\frac{4}{5} \\ & = -\frac{26}{5} + \frac{24}{5} \\ & = -\frac{2}{5} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ y_7 $ dengan substitusi nilai $ x_7 = -\frac{2}{5} $
$ \begin{align} x_7 = -\frac{2}{5} \rightarrow y + 2x - 3 & = 0 \\ y_7 + 2x_7 - 3 & = 0 \\ y_7 + 2. (-\frac{2}{5}) - 3 & = 0 \\ y_7 & = \frac{19}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ y_7 = \frac{19}{5} \, \heartsuit $

Cara 2 : Kode 371 Pembahasan Luas Minimum Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Luas minimum segitiga yang dapat dibentuk oleh garis lurus yang melalui titik (4, 3) dengan sumbu-sumbu koordinat adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 24 \, $ E). $ 26 $

$\spadesuit $ Konsep Cara 2 :
*). Perhatikan gambar berikut ini

Luas segitiga AOB akan minimum pada saat : $ b = 2p $ dan $ a = 2l $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :

sehingga : $ b = 2 \times 4 = 8 $ dan $ a = 2 \times 3 = 6 $
*). Menentukan Luas Minimum segitiga
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times b \times a \\ & = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \\ & = 24 \end{align} $
Jadi, luas segitiga minimumnya adalah 24. $ \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Luas Minimum Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Luas minimum segitiga yang dapat dibentuk oleh garis lurus yang melalui titik (4, 3) dengan sumbu-sumbu koordinat adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 24 \, $ E). $ 26 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime .V + U . V^\prime }{V^2} $
*). Persamaan garis lurus yang memotong sumbu X dan sumbu Y seperti gambar berikut ini :

Persamaan garisnya adalah : $ ax + by = ab $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Membuat segitiga dengan garis lurus melalui titik (4,3) dan memotong sumbu-sumbu :

Kita misalkan panjang alas segitiga AOB adalah $ b $ dan tinggi segitiganya adalah $ a $.
Sehingga persamaan garis lurusnya :
$ ax + by = ab $
*). Substitusi titik (4,3) yang dilalui oleh garis :
$ \begin{align} (x,y)=(4,3) \rightarrow ax + by & = ab \\ 4a + 3b & = ab \\ 4a & = ab - 3b \\ 4a & = b(a - 3) \\ b & = \frac{4a}{a-3} \end{align} $
*). Luas segitiga AOB :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times b \times a \\ & = \frac{1}{2} \times \frac{4a}{a-3} \times a \\ & = \frac{2a^2}{a-3} \\ f(a) & = \frac{2a^2}{a-3} \end{align} $
*). Menentukan turunan $ f(a) $ :
$ \begin{align} f(a) & = \frac{2a^2}{a-3} = \frac{U}{V} \\ U & = 2a^2 \rightarrow U^\prime = 4a \\ V & = a - 3 \rightarrow V^\prime = 1 \\ f^\prime (a) & = \frac{U^\prime .V + U . V^\prime }{V^2} \\ & = \frac{4a.(a-3) + 2a^2. 1}{(a-3)^2} \\ & = \frac{2a^2 - 12a}{(a-3)^2} \\ \end{align} $
*). Syarat minimum : turunan pertama = 0
$ \begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ \frac{2a^2 - 12a}{(a-3)^2} & = 0 \\ 2a^2 - 12a & = 0 \\ 2a(a - 6) & = 0 \\ a = 0 \vee a & = 6 \end{align} $
yang memenuhi $ a = 6 $ karena panjang tidak nol.
Sehingga : $ b = \frac{4a}{a-3} = \frac{4 . 6}{6-3} = 8 $
Artinya luas segitiga AOB akan minimum pada saat $ a = 6 $ dan $ b = 8 $.
*). Menentukan Luas Minimum segitiga
$ \begin{align} \text{Luas } & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ & = \frac{1}{2} \times b \times a \\ & = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \\ & = 24 \end{align} $
Jadi, luas segitiga minimumnya adalah 24. $ \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Garis Singgung Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Garis lurus yang menyinggung kurva $ y = \sqrt[3]{6-x} \, $ di titik $ x = -2 \, $ akan memotong sumbu X di titik ....
A). $ (18,0) \, $ B). $ (19,0) \, $ C). $ (20,0) \, $ D). $ (21,0) \, $ E). $ (22,0) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis Singgung Kurva berkaitan Turunan
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) \, $ di titik $(x_1,y_1)$ :
$ y - y_1 = m(x-x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Turunan fungsi :
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n.[f(x)]^{n-1}. f^\prime (x) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik singgung $(x_1,y_1) $ dengan substitusi absis $(x = -2)$ :
$ \begin{align} x = -2 \rightarrow y & = \sqrt[3]{6-x} \\ y & = \sqrt[3]{6-(-2)} \\ y & = \sqrt[3]{8} \\ y & = 2 \end{align} $
Sehingga titik singgungnya : $ (x_1,y_1) = (-2, 2) $
*). Menentukan turunan fungsi kurvanya :
$ \begin{align} y & = \sqrt[3]{6-x} \\ y & = (6 - x)^\frac{1}{3} \\ y^\prime & = \frac{1}{3}(6 - x)^{-\frac{2}{3} } . (-1) \\ y^\prime & = -\frac{1}{3}(6 - x)^{-\frac{2}{3} } \end{align} $
Sehingga $ f^\prime (x) = -\frac{1}{3}(6 - x)^{-\frac{2}{3} } $ .
*). Menentukan gradien di titik $ (x_1,y_1) = (-2,2) $
$ \begin{align} m & = f^\prime (x_1) \\ & = f^\prime (-2) \\ & = -\frac{1}{3}(6 - (-2))^{-\frac{2}{3} } \\ & = -\frac{1}{3}(8)^{-\frac{2}{3} } \\ & = -\frac{1}{3}(2^3)^{-\frac{2}{3} } \\ & = -\frac{1}{3}(2)^{-2 } \\ & = -\frac{1}{3} . \frac{1}{2^2} \\ & = -\frac{1}{12} \end{align} $
*). Menentukan PGS kurva di $(-2,2) $ dengan gradien $ m = -\frac{1}{12} $
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 2 & = -\frac{1}{12}(x-(-2)) \\ y - 2 & = -\frac{1}{12}(x+2) \end{align} $
*). Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $
$ \begin{align} y - 2 & = -\frac{1}{12}(x+2) \\ 0 - 2 & = -\frac{1}{12}(x+2) \\ - 2 & = -\frac{1}{12}(x+2) \\ 24 & = (x+2) \\ x & = 22 \end{align} $
Jadi, titik potong sumbu X nya adalah $ (22,0). \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Limit Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ \displaystyle \lim_{ x \to -1} \frac{x^2+ax+b}{x^2+3x+2} = -4$, maka nilai $ a + b \, $ adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit
*). Bentuk $ \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(k)}{g(k)} = \frac{f(k)}{0} = \infty $.
Agar $ \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} \, $ hasilnya tidak tak hingga ($\infty$), maka limitnya harus bentuk tak tentu yaitu hasilnya $ \frac{0}{0} \, $ sehingga $ f(k) = 0 $.
*). Limit bentuk tak tentu $ \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ dapat diselesaikan dengan L'Hospital (menggunakan turunan) yaitu :
$ \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan
Persamaan Pertama :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to -1} \frac{x^2+ax+b}{x^2+3x+2} & = -4 \\ \frac{(-1)^2+a(-1)+b}{(-1)^2+3(-1)+2} & = -4 \\ \frac{1-a+b}{1 -3+2} & = -4 \\ \frac{1-a+b}{0} & = -4 \, \, \, \, \, ...(1) \end{align} $
Agar nilai limitnya $ - 4 \, $ maka haruslah bentuk limitnya bentuk tak tentu agar bisa diproses lagi sehingga hasil limitnya menjadi $ -4 $. Agar menjadi bentuk tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} \, $ maka dari (1) di atas haruslah $ 1 - a + b = 0 $.
Sehingga : $ 1 - a + b = 0 \rightarrow -a + b = -1 \, $ ...pers(i).

Persamaan kedua :
Karena bentuk tak tentu, maka bisa kita terapkan dalil L'Hospital (turunan),
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to -1} \frac{x^2+ax+b}{x^2+3x+2} & = -4 \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ \displaystyle \lim_{ x \to -1} \frac{2x+a}{2x+3} & = -4 \\ \frac{2(-1)+a}{2(-1)+3} & = -4 \\ \frac{-2+a}{1} & = -4 \\ -2+a & = -4 \\ a & = -4 + 2 \\ a & = -2 \end{align} $
Pers(i) : $ - a + b = -1 \rightarrow -(-2) + b = -1 \rightarrow b = -3 $.
*). Menentukan hasilnya :
$ a + b = (-2) + (-3) = -5 $.
Jadi, nilai $ a + b = -5. \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Fungsi Komposisi Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diberikan fungsi f dan g dengan $ f (x-2) = 3x^2 - 16x + 26 \, $ dan $ g(x) = ax - 1$. Jika $( f \circ g)(3) = 61, $ maka nilai $a$ yang memenuhi adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ \frac{8}{9} \, $ C). $ \frac{9}{8} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Fungsi Komposisi
*). Definisi fungsi komposisi dua fungsi :
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
*). Untuk menentukan fungsi $ f(x) \, $ dari $ f(g(x))$, kita misalkan dengan $ p = g(x)$

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menetukan fungsi $ f(x) \, $ dari $ f(x-2) $.
Misalkan $ p = x -2 \, $ maka $ x = p+ 2 $.
Kita substitusikan ke bentuk fungsi $ f(x - 2 ) $ :
$ \begin{align} f (x-2) & = 3x^2 - 16x + 26 \\ f (p) & = 3(p+2)^2 - 16(p+2) + 26 \\ & = 3(p^2 + 4p + 4) - 16p - 32 + 26 \\ & = 3p^2 + 12p + 12 - 16p - 32 + 26 \\ f(p) & = 3p^2 -4p + 6 \end{align} $
Sehingga $ f(x) = 3x^2 - 4x + 6 $.
*). Dari fungsi $ g(x) = ax - 1 $ ,
maka $ g(3) = 3a - 1 $.
Sehingga bentuk $ ( f \circ g)(3) \, $ yaitu :
$ \begin{align} ( f \circ g)(3) & = f(g(3)) \\ & = f(3a - 1) \\ & = 3(3a - 1)^2 - 4(3a - 1) + 6 \\ & = 3(9a^2 - 6a + 1) - 12a + 4 + 6 \\ & = 27a^2 - 18a + 3 - 12a + 4 + 6 \\ & = 27a^2 - 30a + 13 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a \, $ dari komposisinya :
$ \begin{align} ( f \circ g)(3) & = 61 \\ 27a^2 - 30a + 13 & = 61 \\ 27a^2 - 30a + 13 - 61 & = 0 \\ 27a^2 - 30a - 48 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 9a^2 - 10a - 16 & = 0 \\ (9a+8)(a-2) & = 0 \\ a = -\frac{8}{9} \vee a & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = 2 \, $ yang ada dipilihan . $\, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Peluang Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Panitia jalan sehat akan membuat kupon bernomor yang terdiri dari empat angka berbeda yang disusun dari angka 0, 1, 3, 5, 7. Jika angka pertama atau terakhir tidak boleh nol, maka banyak kupon yang dapat dibuat adalah ....
A). $ 48 \, $ B). $ 72 \, $ C). $ 96 \, $ D). $ 108 \, $ E). $ 120 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
*). Permutasi
Banyak cara memilih $ r $ unsur berbeda dari $ n $ unsur yang ada (juga berbeda) adalah : $ P^n_r = \frac{n!}{(n-r)!} $
dengan $ n! = n.(n-1).(n-2)...3.2.1 $.
Contoh : $ 5! = 5.4.3.2.1 = 120 $
*). Untuk kasus penyusunan angka, penghitungannya menggunakan permutasi karena urutan diperhatikan.
*). Konsep himpunan :
Misalkan ada kejadian A dan kejadian B, serta irisan keduanya $(A\cap B)$, maka banyak kejadian A atau B adalah :
$ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) $.
dengan $ n(A) = \, $ menyatakan banyak anggota kejadian A.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Akan dibentuk kupon terdiri dari empat angka berbeda yang dipilih dari $\{0, 1,3,5,7\} $.
*). Kita misalkan :
A = kejadian angka pertama tidak nol.
B = kejadian angka terakhir (angka keempat) tidak nol.
Sehingga :
$ A \cap B = \, $ kejadian angka pertama dan terakhir tidak boleh nol.
$ A \cup B = \, $ kejadian angka pertama tidak nol atau angka terakhir tidak nol.
*). Menentukan $ n(A), \, n(B), \, $ dan $ n(A \cap B) $ :
*). Kejadian A,
-). angka pertama tidak nol, berarti yang boleh antara {1,3,5,7} dengan banyak cara $ P_1^4$.
-). tiga angka sisanya bebas bisa dipilih dari 4 angka tersisa karena satu angka sudah digunakan untuk angka pertama, denga banyak cara $ P_3^4 $.
Sehingga $ n(A) = P_1^4 \times P_3^4 = \frac{4!}{(4-1)!} . \frac{4!}{(4-3)!} = 4. (4.3.2) = 96 $
*). Kejadian B,
-). angka terakhir tidak nol, berarti yang boleh antara {1,3,5,7} dengan banyak cara $P_1^4$.
-). tiga angka sisanya bebas bisa dipilih dari 4 angka tersisa karena satu angka sudah digunakan untuk angka pertama, denga banyak cara $ P_3^4 $.
Sehingga $ n(B) = P_1^4 \times P_3^4 = \frac{4!}{(4-1)!} . \frac{4!}{(4-3)!} = 4. (4.3.2) = 96 $
*). Kejadian $ A \cap B $ (angka pertama dan terakhir tidak nol)
-). angka pertama dan terakhir tidak nol, berarti angka yang boleh antara {1,3,5,7}. Kita memilih 2 angka dari angka tersebut dengan banyak cara $P_2^4$.
-). dua angka sisanya bebas bisa dipilih dari 3 angka yang tersisa karena dua angka sudah dipakai untuk mengisi angka pertama dan terakhir. Kita memilih dua angka dari tiga angka tersisa dengan banyak cara $ P_2^3 $.
Sehingga $ n(A \cap B) = P_2^4 \times P_2^3 = (4.3).(3.2) = 72 $.
*). Menentukan $ n(A \cup B) $ :
$ \begin{align} n(A \cup B) & = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\ & = 96 + 96 - 72 \\ & = 120 \end{align} $
Jadi, banyak kupon yang dapat dibuat teridiri dari empat angka dengan angka pertama tidak nol atau angka terakhir tidak nol sebanyak 120 kupon . $\, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Trigonometri Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ \cos ^2 x = \sqrt{3} \sin x $ , maka $ \sin x = .... $
A). $ \frac{1 - 2\sqrt{3}}{2} \, $ B). $ \frac{1 - \sqrt{3}}{2} \, $
C). $ \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \, $ D). $ \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2} \, $
E). $ \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
sehinnga : $ \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Rumus ABC pada persamaan kuadrat :
persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $ dengan :
$ \begin{align} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{align} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan kuadrat dengan memisalkan $ p = \sin x $
$ \begin{align} \cos ^2 x = \sqrt{3} \sin x \, \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ 1 - \sin ^2 x = \sqrt{3} \sin x \\ \sin ^2 x - \sqrt{3} \sin x + 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(permisalan)} \\ p^2 - \sqrt{3} p - 1 & = 0 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ p $ ( $\sin x $) dengan rumus ABC
$ \begin{align} p^2 - \sqrt{3} p - 1 & = 0 \\ a = 1, \, b = \sqrt{3} , \, c & = -1 \\ p_{1,2} & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ & = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4.1.(-1)}}{2.1} \\ & = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 4}}{2} \\ & = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{7}}{2} \\ p = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} \vee p & = \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{7}}{2} \end{align} $
Sehingga nilai $ \sin x \, $ sama dengan nilai $ p $ yaitu :
$ \sin x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} \vee \sin x = \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{7}}{2} $.
*). Karena rentang nilai $ \sin x \, $ adalah $ -1 \leq \sin x \leq 1 \, $ , maka yang memenuhi adalah $ \sin x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} $ . Sedangankan nilai $ \frac{-\sqrt{3} - \sqrt{7}}{2} < -1 \, $ tidak ada pada rentang $ -1 \leq \sin x \leq 1 \, $ sehingga tidak memenuhi.
Jadi, nilai $ \sin x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}. \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Statistika Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Mimi mendapatkan nilai rata-rata 6 untuk 3 kali ulangan Matematika, nilai rata-rata 7 untuk 3 kali ulangan Biologi dan nilai rata-rata 8 untuk 4 kali ulangan Bahasa Inggris, dan masih ada 5 ulangan lagi dari ketiga pelajaran tersebut yang akan diikuti Mimi. Agar Mimi mendapatkan nilai rata-rata untuk tiga mata pelajaran minimal 7, 2, maka Mimi harus mendapatkan nilai rata-rata 5 ulangan minimal ....
A). $ 7,2 \, $ B). $ 7,3 \, $ C). $ 7,4 \, $ D). $ 7,5 \, $ E). $ 7,6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Statistika
*). Rata-rata gabungan :
$ \begin{align} \overline{x}_{gb} = \frac{n_1.\overline{x}_1 + n_2.\overline{x}_2 + n_3.\overline{x}_3 + n_4.\overline{x}_4}{n_1+n_2+n_3+n_4} \end{align} $
Keterangan :
$ n_1 = \, $ banyak kelompok 1,
$ \overline{x}_1 = \, $ rata-rata nilai kelompok 1,
$ \overline{x}_{gb} = \, $ rata-rata gabungan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui :
$ n_1 = 3, \overline{x}_1= 6, n_2 = 3, \overline{x}_2 = 7, n_3 = 4, $
$ \overline{x}_3 = 8, n_4 = 5, \overline{x}_4 = a , \overline{x}_{gb} = 7,2 $
*). Menentukan nilai $ a $ (minimalnya)
Nilai rata-rata gabungan minimal 7,2 :
$ \begin{align} \overline{x}_{gb} & \geq 7,2 \\ \frac{n_1.\overline{x}_1 + n_2.\overline{x}_2 + n_3.\overline{x}_3 + n_4.\overline{x}_4}{n_1+n_2+n_3+n_4} & \geq 7,2 \\ \frac{3 . 6 + 3 . 7 + 4.8 + 5.a}{3 + 3 + 4 + 5} & \geq 7,2 \\ \frac{71 + 5a}{15} & \geq 7,2 \\ 71 + 5a & \geq 7,2 \times 15 \\ 71 + 5a & \geq 108 \\ 5a & \geq 108 - 71 \\ 5a & \geq 37 \\ a & \geq \frac{37}{5} \\ a & \geq 7,4 \end{align} $
Jadi, nilai rata-rata 5 ulangannya minimal $ 7,4. \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Matriks Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Jika A memenuhi $ \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) A + \left( \begin{matrix} -1 & -2 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) $ , maka det(A) = ....
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Misalkan ada matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Determinan : $ |A| = ad - bc $
Inversnya : $ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers :
$ BA = C \rightarrow A = B^{-1} C $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks A dari persamaan
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) A + \left( \begin{matrix} -1 & -2 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) A & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} -1 & -2 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right) A & = \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{2.1 - 1.1} \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ A & = \frac{1}{1} \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{matrix} \right)^{-1} \left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menentukan determinan matriks A :
$ \begin{align} A & = \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right) \\ |A| & = -1. 2 - 2. 0 \\ & = -2 - 0 \\ & = -2 \end{align} $
Jadi, determinan matriks A adalah $ -2 . \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Barisan Geometri kedua Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui barisan geometri dengan jumlah suku ke-1 dan ke-3 adalah 100 dan jumlah suku-2 dan ke-4 adalah 75, maka suku pertama barisan tersebut adalah ....
A). $ 24 \, $ B). $ 27 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 48 \, $ E). $ 64 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ u_n = a^{r-1} $
Keterangan :
$ u_n = \, $ suku ke-$n$
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
persamaan pertama : jumlah suku ke-1 dan ke-3 = 100
$ \begin{align} u_1 + u_3 & = 100 \\ a + ar^2 & = 100 \\ a(1 + r^2) & = 100 \\ a & = \frac{100 }{(1 + r^2)} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua : jumlah suku-2 dan ke-4 = 75
$ \begin{align} u_2 + u_4 & = 75 \\ ar + ar^3 & = 75 \\ ar(1 + r^2) & = 75 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} ar(1 + r^2) & = 75 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ \frac{100 }{(1 + r^2)} \times r(1 + r^2) & = 75 \\ 100r & = 75 \\ r & = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai suku pertama ($ a $) dari pers(i)
$ \begin{align} a & = \frac{100 }{(1 + r^2)} \\ & = \frac{100 }{(1 + (\frac{3}{4} )^2)} \\ & = \frac{100 }{1 + \frac{9}{16} } \\ & = \frac{100 }{\frac{16}{16} + \frac{9}{16} } \\ & = \frac{100 }{\frac{25}{16} } \\ & = 100 \times \frac{16}{25} \\ & = 64 \end{align} $
Jadi, suku pertamanya adalah 64 $. \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Barisan Geometri Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Jika jumlah suku ke-1 dan ke-3 deret geometri adalah $-5$ dan suku ke-2 dikurangi suku ke-3 sama dengan 6, maka jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 deret tersebut adalah ....
A). $ -18 \, $ atau $ -12 $
B). $ -9 \, $ atau $ -4 $
C). 18 atau 12
D). 9 atau 4
E). 18 atau 4

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ u_n = a^{r-1} $
Keterangan :
$ u_n = \, $ suku ke-$n$
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
persamaan pertama : jumlah suku ke-1 dan ke-3 = -5
$ \begin{align} u_1 + u_3 & = -5 \\ a + ar^2 & = -5 \\ a(1 + r^2) & = -5 \\ a & = \frac{-5 }{(1 + r^2)} \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
persamaan kedua : suku ke-2 dikurangi suku ke-3 = 6
$ \begin{align} u_2 - u_3 & = 6 \\ ar - ar^2 & = 6 \\ a(r - r^2) & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ \begin{align} a(r - r^2) & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \\ \frac{-5 }{(1 + r^2)} \times (r - r^2) & = 6 \\ -5(r - r^2) & = 6 (1 + r^2) \\ -5r + 5 r^2 & = 6 + 6r^2 \\ r^2 + 5r + 6 & = 0 \\ (r+2)(r+3) & = 0 \\ r = -2 \vee r & = -3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dan hasil $ u_3 + u_4 $ :
Untuk $ r = -2 \, $ dan pers(i) :
$ \begin{align} a & = \frac{-5 }{(1 + r^2)} = \frac{-5 }{(1 + (-2)^2)} = \frac{-5 }{5} = -1 \\ u_3 + u_4 & = ar^2 + ar^3 \\ & = -1 \times (-2)^2 + -1 \times (-2)^3 \\ & = -4 + 8 \\ & = 4 \end{align} $
Untuk $ r = -3 \, $ dan pers(i) :
$ \begin{align} a & = \frac{-5 }{(1 + r^2)} = \frac{-5 }{(1 + (-3)^2)} = \frac{-5 }{10} = -\frac{1}{2} \\ u_3 + u_4 & = ar^2 + ar^3 \\ & = -\frac{1}{2} \times (-3)^2 + -\frac{1}{2} \times (-3)^3 \\ & = -\frac{9}{2} + \frac{27}{2} \\ & = \frac{18}{2} \\ & = 9 \end{align} $
Jadi, nilai $ u_3 + u_4 \, $ adalah 4 atau 9 $. \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Program Linear Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Pada gambar di bawah ini, daerah yang diarsir memenuhi sistem pertidaksamaan ....

A). $ y \geq 0, \, 2y - x \leq 1, \, x+y \leq 4 \, $
B). $ y \geq 0, \, 2y - x \leq 2, \, x+y \leq 4 \, $
C). $ y \geq 0, \, 2y - x \geq 2, \, x+y \leq 4 \, $
D). $ y \geq 0, \, 2y + x \leq 2, \, x+y \geq 4 \, $
E). $ y \geq 0, \, 2y + x \leq 2, \, x+y \leq 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program Linear dan garis lurus
*). Persamaan garis memotong sumbu-sumbu :

Persamaannya : $ ax + by = ab $.
*). Menentukan ketaksamaan dengan uji titik.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan persamaan garisnya dari gambar

$ \begin{align} \text{garis I : } \, 4x + 4y & = 4 \times 4 \\ 4x + 4y & = 16 \\ x + y & = 4 \\ \text{garis II : } \, -2y + 1.x & = -2 \times 1 \\ -2y + x & = -2 \\ 2y - x & = 2 \\ \text{garis III : } \, y & = 0 \\ \end{align} $
*). Kita uji titik pada daerah arsiran yaitu titik $(0,0) \, $ dan $ (0,1) $
$ \begin{align} (x,y)=(0,0) \rightarrow x + y & = 4 \\ 0 + 0 & ... 4 \\ 0 & < 4 \\ \text{sehingga } \, x + y & \leq 4 \\ (x,y)=(0,0) \rightarrow 2y - x & = 2 \\ 2.0 - 0 & ... 2 \\ 0 & < 2 \\ \text{sehingga } \, 2y - x & \leq 2 \\ (x,y)=(0,1) \rightarrow y & = 0 \\ 1 & ... 0 \\ 1 & > 0 \\ \text{sehingga } \, y & \geq 0 \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ y \geq 0, \, 2y - x \leq 2, \, x + y \leq 4. \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Pertidaksamaan Pecahan Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ \frac{1+\sqrt{4 -x^2}}{x^2-x} > 0 $ adalah .....
A). $ -2 \leq x < 0 \vee 1 < x \leq 2 \, $
B). $ -2 < x < 0 \vee 1 < x < 2 \, $
C). $ -2 \leq x < -1 \vee 0 < x \leq 2 \, $
D). $ x < 0 \vee x > 1 \, $
E). $ 0 < x < 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Pecahan dan Bentuk Akar
*). Syarat bentuk akar :
Jika $ y = \sqrt{f(x)} \, $ , maka $ f(x) \geq 0 $.
*). Syarat Pecahan :
Jika $ \frac{f(x)}{g(x)} \, $ , maka $ g(x) \neq 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan solusi syarat :
Diketahui : $ \frac{1+\sqrt{4 -x^2}}{x^2-x} > 0 $
Syarat dalam akarnya (bentuk $ \sqrt{4 - x^2}$) :
$ \begin{align} 4 - x^2 & \geq 0 \\ (2 + x)(2 - x) & \geq 0 \\ x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $

Sehingga solusi syaratnya :
$ HP_1 = \{ -2 \leq x \leq 2 \} $.
*). Menyelesaikan Pertidaksamaan :
Bnetuk $ 1 + \sqrt{4 - x^2} \, $ nilainya akan selalu positif untuk $ x $ yang memenuhi HP1, sehingga tidak berpengaruh pada pertidaksamaan pecahannya. Tinggal kita selesaikan bentuk penyebutnya saja.
$ \begin{align} \frac{1+\sqrt{4 -x^2}}{x^2-x} & > 0 \\ \frac{1+\sqrt{4 -x^2}}{x(x-1)} & > 0 \end{align} $
Akar-akar penyebutnya adalah $ x = 0 \, $ dan $ x = 1 $.

HP2 $ = \{ x < 0 \vee x > 1 \} $.
*). Menentukan solusi akhir :
$ \begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ -2 \leq x < 0 \vee 1 < x \leq 2 \} \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah $ \{ -2 \leq x < 0 \vee 1 < x \leq 2 \} . \, \heartsuit $

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow \frac{1+\sqrt{4 -2^2}}{2^2-2} & > 0 \\ \frac{1+0}{2} & > 0 \\ \frac{1}{2} & > 0 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=2$ BENAR, opsi yang salah adalah B dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow \frac{1+\sqrt{4 -3^2}}{3^2-2} & > 0 \\ \frac{1+\sqrt{-5}}{7} & > 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
dalam akar harus positif.
yang ada $x=3$ SALAH, opsi yang salah adalah D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=1 \Rightarrow \frac{1+\sqrt{4 -1^2}}{1^2-2} & > 0 \\ \frac{1+\sqrt{3}}{0} & > 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
Penyebut pecahan tidak boleh bernilai 0.
yang ada $x=1$ SALAH, opsi yang salah adalah C.
Jadi, opsi yang benar adalah A (yang tersisa) yaitu
$HP= \{ -2 \leq x < 0 \vee 1 < x \leq 2 \} . \heartsuit$

Kode 371 Pembahasan Sistem Persamaan Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Jika $(x, y)$ adalah salah satu solusi sistem persamaan $ x^2 + y^2 - 16x + 39 = 0, \, x^2 - y^2 - 9 = 0 $ maka $ x + y = .... $
A). 9 B). 6
C). 5 D). $ -1 $
E). $ -3$

$\spadesuit $ Konsep Dasar Sistem Persamaan
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, ada beberapa cara yaitu teknik substitusi, eliminasi, atau teknik gabungan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ x^2 + y^2 - 16x + 39 = 0 \, $ ....pers(i)
$ x^2 - y^2 - 9 = 0 \rightarrow y^2 = x^2 - 9 \, $ ....pers(ii)
*). Substitusikan pers(ii) ke pers(i) :
$ \begin{align} x^2 + y^2 - 16x + 39 & = 0 \\ x^2 + (x^2 - 9) - 16x + 39 & = 0 \\ 2x^2 - 16x + 30 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 - 8x + 15 & = 0 \\ (x - 3)(x-5) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = 5 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ x = 3 \, $ dan $ x = 5 \, $ ke pers(ii) dan
menentukan nilai $ x + y $ :
$ \begin{align} x = 5 \rightarrow y^2 & = x^2 - 9 \\ y^2 & = 5^2 - 9 \\ y^2 & = 25 - 9 \\ y^2 & = 16 \\ y & = \pm \sqrt{16} \\ y & = \pm 4 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ x + y = 5 + 4 = 9 \, $ atau $ x + y = 5 + (-4) = 1 $
$ \begin{align} x = 3 \rightarrow y^2 & = x^2 - 9 \\ y^2 & = 3^2 - 9 \\ y^2 & = 9 - 9 \\ y^2 & = 0 \\ y & = \pm \sqrt{0} \\ y & = 0 \end{align} $
Sehingga nilai :
$ x + y = 3 + 0 = 3 $
Sehingga nilai $ x + y \, $ adalah $ \{ 1, \, 3, \, 9 \} $.
Jadi, nilai $ x + y \, $ adalah $ 9 \, $ yang ada dipilihan gandanya . $ \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Fungsi Kuadrat Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui parabola $ y = x^2 - 4x +6 $ dipotong oleh garis $ l $ di dua titik berbeda. Jika garis $ l $ melalui titik $(3, 2)$ dan mempunyai gradien $m$, maka . . .
A). $ -4 < m < 0 \, $ B). $ 0 < m < 4 \, $
C). $ m < 0 \vee m > 4 \, $ D). $ m < 1 \vee m > 4 \, $
E). $ m < -4 \vee m > 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Parabola dan garis lurus
*). Syarat garis dan parabola berpotongan adalah $ D > 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
Dimana nilai $ a, \, b \, $ dan $ c \, $ diperoleh dari $ ax^2 + bx + c = 0 $.
*). Persamaan garis lurus dengan gradien $ m $ adalah $ y = mx + c $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan garis $ l $ :
Garis $ l $ melalui titik $(3,2) $, substitusi titik tersebut ke persamaan umum garis :
$ \begin{align} (x,y) = (3,2) \rightarrow y & = mx + c \\ 2 & = m.3 + c \\ 2 & =3m + c \\ c & = 2 - 3m \end{align} $
Sehingga persamaan garis $ l $ :
$ y = mx + c \rightarrow y = mx + (2 - 3m) $.
*). Kita samakan persamaan garis dan parabola
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 4x + 6 & = mx + 2 -3m \\ x^2 -4x + 6 - mx - 2 + 3m & = 0 \\ x^2 - ( m+4)x + (3m + 4) & = 0 \end{align} $
Kita peroleh : $ a = 1, \, b = -(m+4) \, $ dan $ c = 3m + 4 $.
*). Syarat berpotongan dua titik berbeda : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ b^2 - 4ac & > 0 \\ [-(m+4)]^2 - 4.1.(3m+4) & > 0 \\ m^2 + 8m + 16 - 12m - 16 & > 0 \\ m^2 - 4m & > 0 \\ m(m-4) & = 0 \\ m = 0 \vee m & = 4 \end{align} $
gambar garis bilangannya :

Sehingga solusinya :
$ \{ m < 0 \vee m > 4\} $.
Jadi, solusinya adalah $ \{ m < 0 \vee m > 4\} . \, \heartsuit $

Kode 371 Pembahasan Persamaan Kuadrat Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui persamaan kuadrat
$ x^2 - 2x - 3 = 0 \, \, \, \, \, $ (1)
$ x^2 - ax + b = 0 \, \, \, \, \, $ (2)
Jika jumlah kedua akar persamaan (2) sama dengan tiga kali jumlah kedua akar persamaan (1) dan kuadrat selisih kedua akar persamaan (1) sama dengan kuadrat selisih kedua akar persamaan (2), maka $ b = .... $
A). $ b = 4 \, $ B). $ b = 5 \, $
C). $ b = 6 \, $ D). $ b = 7 \, $
E). $ b = 8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK)
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat :
Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memisalkan akar-akarnya dan operasinya :
PK (1). $ x^2 - 2x - 3 = 0 \, $ akar-akarnya $ x_1 $ dan $ x_2 $.
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1} = 2 $
$ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 . 1. (-3) = 4 + 12 = 16 $
$ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{16}}{1} = \sqrt{16} $
PK (2). $ x^2 - ax + b = 0 \, $ akar-akarnya $ y_1 \, $ dan $ y_2 $.
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-a)}{1} = a $
$ D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4.1.b = a^2 - 4b $
$ y_1 - y_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} = \frac{\sqrt{ a^2 - 4b}}{1} = \sqrt{ a^2 - 4b} $
*). Menyusun persamaan dan menyelesaikannya
Pertama :
Jumlah akar-akar PK (2) sama dengan tiga kali jumlah akar-akar PK(2)
$ \begin{align} y_1 + y_2 & = 3(x_1 + x_2) \\ a & = 3 \times 2 \\ a & = 6 \end{align} $
Kedua :
Kuadrat selisih akar-akar PK(1) sama dengan kuadrat selisih akar-akar PK(2)
$ \begin{align} (x_1-x_2)^2 & = (y_1-y_2)^2 \\ (\sqrt{16})^2 & = (\sqrt{ a^2 - 4b})^2 \\ 16 & = a^2 - 4b \\ 16 & = 6^2 - 4b \\ 16 & = 36 - 4b \\ 4b & = 36 - 16 \\ 4b & = 20 \\ b & = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ b = 5 . \, \heartsuit $

Pages - Menu