Kode 371 Pembahasan Persamaan Logaritma Matematika Dasar UM UGM tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi $ {}^2 \log x^2 + {}^3 \log \frac{1}{y^3} = 4 $ dan $ {}^2 \log x + {}^3 \log y^4 = 13 $ , maka ${}^4 \log x - {}^y \log 9 = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{3}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma dan Eksponen
*). Sifat-sifat Logaritma :
$ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
$ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b $
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
*). Sifat Eksponen : $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk persamaan pada soal :
Persamaan Pertama :
$ \begin{align} {}^2 \log x^2 + {}^3 \log \frac{1}{y^3} & = 4 \\ {}^2 \log x^2 + {}^3 \log y^{-3} & = 4 \\ 2 . {}^2 \log x + (-3).{}^3 \log y & = 4 \\ 2 . {}^2 \log x - 3 . {}^3 \log y & = 4 \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
Persamaan kedua :
$ \begin{align} {}^2 \log x + {}^3 \log y^4 & = 13 \\ {}^2 \log x + 4. {}^3 \log y & = 13 \\ {}^2 \log x & = 13 - 4. {}^3 \log y \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$ \begin{align} 2 . {}^2 \log x - 3 . {}^3 \log y & = 4 \\ 2 . (13 - 4. {}^3 \log y ) - 3 . {}^3 \log y & = 4 \\ 26 - 8. {}^3 \log y - 3 . {}^3 \log y & = 4 \\ - 11. {}^3 \log y & = 4 - 26 \\ - 11. {}^3 \log y & = -22 \\ {}^3 \log y & = \frac{-22}{-11} = 2 \end{align} $
Pers(ii) : $ {}^2 \log x = 13 - 4. {}^3 \log y = 13 - 4 . 2 = 13 - 8 = 5 $
*). Menentukan hasil dari nilai $ {}^3 \log y = 2 \, $ dan $ {}^2 \log x = 5 $
$ \begin{align} {}^4 \log x - {}^y \log 9 & = {{}^2}^2 \log x^1 - {}^y \log 3^2 \\ & = \frac{1}{2} . {}^2 \log x - 2 . {}^y \log 3 \\ & = \frac{1}{2} . 5 - 2 . \frac{1}{2} \\ & = \frac{5}{2} - 1 \\ & = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{3}{2} \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar