Kode 246 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = x^3 + 2x^2 + a $ dan $ g(x) = x + a $ berpotongan di sumbu-x, dengan $ a $ bilangan bulat. Nilai minimum dari $ f(x) $ di interval $ -1\leq x \leq 2 $ adalah ....
A). $ -\frac{4}{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Nilai minimum suatu fungsi $ f(x) $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ dan untuk $ x $ pada interval batas yang diinginkan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ :
*). Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ berpotongan di sumbu X dengan $ a $ bilangan bulat, artinya $ f(x) $ dan $ g(x) $ memotong sumbu X di $ x $ yang sama.
*). $ g(x) $ memotong sumbu X, substitusi $ y = 0 $ :
$\begin{align} y = 0 \rightarrow g(x) & = x + a \\ 0 & = x + a \\ x & = -a \end{align} $
Artinya $ f(x) $ juga memotong sumbu X di $ x = -a $, substitusi $ x = -a $ ke $ f(x) $ :
$\begin{align} x = -a , \, y = 0 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 + a \\ (-a)^3 + 2(-a)^2 + a & = 0 \\ -a^3 + 2a^2 + a & = 0 \\ a^3 - 2a^2 - a & = 0 \\ a(a^2 - 2a - 1) & = 0 \\ a = 0 \vee a^2 - 2a - 1 & = 0 \end{align} $
Bentuk $ a^2 - 2a - 1 = 0 $ tidak bisa difaktorkan langsung sehingga kita harus menggunakan rumus ABC, ini artinya nilai $ a $ nya tidak bulat lagi. Sehingga nilai $ a $ yang bulat yang memenuhi adalah $ a = 0 $ .
*). Fungsi $ f(x) $ nya menjadi :
$ f(x) = x^3 + 2x^2 + a = x^3 + 2x^2 + 0 \rightarrow f(x) = x^3 + 2x^2 $
*). Menentukan $ f^\prime (x) $ dan syarat nilai minimum $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f(x) & = x^3 + 2x^2 \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x \\ \text{syarat } : \, f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 + 4x & = 0 \\ x ( 3x + 4) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = - \frac{4}{3} \end{align} $
Karena interval yang diminta $ -1 \leq x \leq 2 $ , maka $ x = 0 \, $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ f(x) $ untuk $ x = 0 $ , batas interval yaitu $ x = -1 $ dan $ x = 2 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow f(0) & = 0^3 + 2 . 0^2 \\ & = 0 \\ x = -1 \rightarrow f(-1) & = (-1)^3 + 2 . (-1)^2 \\ & = 1 \\ x = 2 \rightarrow f(2) & = (2)^3 + 2 . (2)^2 \\ & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai minimum $ f(x) $ pada interval $ -1 \leq x \leq 2 $ adalah $ 0 . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar