Kode 247 Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ antara $ 0 $ dan $ \pi $ yang memenuhi pertidaksamaan $ 2\cos x + \sin x \geq 1 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{3} $
B). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3} $
C). $ \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
D). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
E). $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Identitas Trigonometri
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
i). Mencari akar-akarnya dengan mengubah tanda ketaksamaan menjadi persamaan,
ii). Buat garis bilangan dan tanda daerahnya ( + atau $ - $ ),
iii). Arsir daerah yang diinginkan,
jika $ > 0 $ , maka daerah positif, dan
jika $ < 0 $ , maka daerah negatif.
iv). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar dengan pengkuadratan :
$\begin{align} 2\cos x + \sin x & \geq 1 \\ 2\cos x + \sin x & = 1 \\ 2\cos x & = 1 - \sin x \\ (2\cos x)^2 & = (1 - \sin x )^2 \\ 4\cos ^2 x & = 1 - 2 \sin x + \sin ^2 x \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ 4(1 - \sin ^2 x ) & = 1 - 2 \sin x + \sin ^2 x \\ 5 \sin ^2 x - 2\sin x - 3 & = 0 \\ (5\sin x + 3)(\sin x - 1 ) & = 0 \\ \sin x = -\frac{3}{5} \vee \sin x & = 1 \end{align} $
*). Karena $ x $ pada interval $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka nilai $ \sin x $ positif, sehingga $ \sin x = 1 $ yang memenuhi.
$ \sin x = 1 \rightarrow x = \{ ... , -270^\circ , 90^\circ , 450^\circ , ... \} $
*). Garis bilangan untuk $ 2\cos x + \sin x \geq 1 $ :
 

karena nilai $ x $ pada interval $ 0 \leq x \leq \pi $ ,
maka solusinya adalah $ 0 \leq x \leq 90^\circ $ atau $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
Jadi, HP $ = \{ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar