Soal yang Akan Dibahas
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 2x + 3 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{36}{5} \, $ B). $ \frac{32}{5} \, $ C). $ \frac{28}{5} \, $ D). $ \frac{26}{5} \, $ E). $ \frac{18}{5} \, $
A). $ \frac{36}{5} \, $ B). $ \frac{32}{5} \, $ C). $ \frac{28}{5} \, $ D). $ \frac{26}{5} \, $ E). $ \frac{18}{5} \, $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis lurus : $ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $
*). Hubungan dua garis tegak lurus :
dua garis tegak lurus, berlaku $ m_1 . m_2 = -1 $
(perkalian kedua gradien garis hasilnya $-1 $ ).
*). Titik tengah antara dua titik $(x_1,y_1)$ dan $ (x_2,y_2)$ adalah :
Titik tengah $ = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) $
*). Gradien garis lurus : $ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $
*). Hubungan dua garis tegak lurus :
dua garis tegak lurus, berlaku $ m_1 . m_2 = -1 $
(perkalian kedua gradien garis hasilnya $-1 $ ).
*). Titik tengah antara dua titik $(x_1,y_1)$ dan $ (x_2,y_2)$ adalah :
Titik tengah $ = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) $
$\clubsuit $ Pembahasan : Cara I,
*). Ilustrasi gambar,
garis $ y = 2x + 3 $ memotong sumbu X dan Y di $(-\frac{3}{2},0) $ dan $ (0,3) $.
Karena titik B adalah hasil pencerminan titik A terhadap garis $ y = 2x + 3 $, maka titik C adalah titik tengah antara A dan B serta garis AB tegak lurus dengan garis $ y = 2x + 3 $ (sebagai cerminnya).
*). Menentukan persamaan pertama dari gradien :
-). gradien garis AB dengan $A(0,0)$ dan $ B(a,b) $ ,
$ m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{b - 0 }{a-0} = \frac{b}{a} $
-). gradien garis $ y = 2x = 3 $ adalah $ m = 2 $.
-). Kedua garis tegak lurus sehingga :
$ m_{AB}.m = -1 \rightarrow \frac{b}{a} . 2 = -1 \rightarrow a = -2b \, $ ....pers(i)
*). Menenentukan titik tengah AB yaitu titik C yang juga dilalui oleh garis $ y = 2x + 3 $ :
$ C = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) = \left( \frac{a + 0}{2} , \frac{b +0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2} , \frac{b}{2} \right) $ .
*). Substitusi titik C ke garis $ y = 2x + 3 $ (karena dilalui) :
$ \begin{align} y & = 2x + 3 \\ \frac{b}{2} & = 2 . \frac{a}{2} + 3 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ b & = 2 a + 6 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ \begin{align} b & = 2 a + 6 \\ b & = 2 . (-2b) + 6 \\ b & = -4b + 6 \\ 5b & = 6 \\ b & = \frac{6}{5} \end{align} $
Pers(i) : $ a = -2b = -2 . \frac{6}{5} = -\frac{12}{5} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = \left( - \frac{12}{5} \right)^2 + \left( \frac{6}{5} \right)^2 \\ & = \left( \frac{144}{25} \right) + \left( \frac{36}{25} \right) \\ & = \frac{180}{25} = \frac{36}{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{36}{5} . \, \heartsuit $
*). Ilustrasi gambar,
garis $ y = 2x + 3 $ memotong sumbu X dan Y di $(-\frac{3}{2},0) $ dan $ (0,3) $.
Karena titik B adalah hasil pencerminan titik A terhadap garis $ y = 2x + 3 $, maka titik C adalah titik tengah antara A dan B serta garis AB tegak lurus dengan garis $ y = 2x + 3 $ (sebagai cerminnya).
*). Menentukan persamaan pertama dari gradien :
-). gradien garis AB dengan $A(0,0)$ dan $ B(a,b) $ ,
$ m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{b - 0 }{a-0} = \frac{b}{a} $
-). gradien garis $ y = 2x = 3 $ adalah $ m = 2 $.
-). Kedua garis tegak lurus sehingga :
$ m_{AB}.m = -1 \rightarrow \frac{b}{a} . 2 = -1 \rightarrow a = -2b \, $ ....pers(i)
*). Menenentukan titik tengah AB yaitu titik C yang juga dilalui oleh garis $ y = 2x + 3 $ :
$ C = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) = \left( \frac{a + 0}{2} , \frac{b +0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2} , \frac{b}{2} \right) $ .
*). Substitusi titik C ke garis $ y = 2x + 3 $ (karena dilalui) :
$ \begin{align} y & = 2x + 3 \\ \frac{b}{2} & = 2 . \frac{a}{2} + 3 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ b & = 2 a + 6 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ \begin{align} b & = 2 a + 6 \\ b & = 2 . (-2b) + 6 \\ b & = -4b + 6 \\ 5b & = 6 \\ b & = \frac{6}{5} \end{align} $
Pers(i) : $ a = -2b = -2 . \frac{6}{5} = -\frac{12}{5} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = \left( - \frac{12}{5} \right)^2 + \left( \frac{6}{5} \right)^2 \\ & = \left( \frac{144}{25} \right) + \left( \frac{36}{25} \right) \\ & = \frac{180}{25} = \frac{36}{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{36}{5} . \, \heartsuit $
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.