dunia informa: matipa kode 248 tahun 2016

Tampilkan postingan dengan label matipa kode 248 tahun 2016. Tampilkan semua postingan

Kode 248 Pembahasan Campuran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Jika $ f(x) = Ax^2 + Bx $ sehingga $ f^\prime (0), \, \int_0^2 f(x) dx $ dan $ f(2) $ berturut-turut membentuk barisan aritmatika, maka nilai $ \frac{A}{B} = ..... $
A). $ -\frac{4}{5} \, $ B). $ -\frac{5}{3} \, $ C). $ -\frac{3}{5} \, $ D). $ -\frac{4}{3} \, $ E). $ -\frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Turunan Fungsi :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = a \rightarrow y^\prime = 0 $
dengan $ a $ adalah konstanta.
*). Rumus Integral :
$ \int ax^n \, dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + c $
$ \int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $
*). Ciri-ciri barisan aritmatika : Selisih dua suku berdekatan sama
Misalkan ada tiga suku barisan aritmatika : $ u_1, \, u_2, \, $ dan $ u_3 $,
maka berlaku : $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menyusun barisan aritmatikanya :
$\begin{align} f(x) & = Ax^2 + Bx \rightarrow f(2) = 4A + 2B \\ f^\prime (x) & = 2Ax + B \rightarrow f^\prime (0) = B \\ \int_0^2 f(x) dx & = \int_0^2 (Ax^2 + Bx) dx \\ & = [\frac{A}{3}x^3 + \frac{B}{2}x^2 ]_0^2 \\ & = \frac{8}{3}A + 2B \end{align} $
Sehingga barisan aritmatikanya :
$ f^\prime (0), \, \int_0^2 f(x) dx $ dan $ f(2) $ yaitu
$ u_1 = B, \, u_2 = \frac{8}{3}A + 2B , \, u_3 = 4A + 2B $
*). Menentukan nilai $ \frac{A}{B} $ dengan ciri-ciri barisan aritmatika :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ (\frac{8}{3}A + 2B) - B & = ( 4A + 2B ) - (\frac{8}{3}A + 2B) \\ \frac{8}{3}A + B & = \frac{4}{3}A \\ \frac{8}{3}A + - \frac{4}{3}A & = -B \\ \frac{4}{3}A & = -B \\ \frac{A}{B} & = \frac{-1}{\frac{4}{3}} \\ \frac{A}{B} & = - \frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{A}{B} = - \frac{3}{4} . \, \heartsuit $

Kode 248 Pembahasan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui $ f(x) = x^3 - ax + \frac{2}{3}a $ dan $ f(x) $ memotong sumbu x di titik $ x = 1 $ . Nilai maksimum $ f(x) $ untuk $ 0 \leq x \leq 1 $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum
*). Fungsi $ f(x) $ mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ (turunan pertaman = 0) dan nilai $ x $ pada batas intervalnya.
*). Fungsi $ f(x) $ memotong sumbu X di $ x = b $, artinya $ f(b) = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ a $ :
$ f(x) = x^3 - ax + \frac{2}{3}a $ memotong sumbu X di $ x = 1 $, artinya :
$ f(1) = 0 \rightarrow 1^3 - a.1 + \frac{2}{3}a = 0 \rightarrow a = 3 $.
Sehingga fungsi $ f(x) = x^3 - 3x + 2 $.
dan $ f^\prime (x) = 3x^2 - 3 $.
*). Menentukan nilai $ x $ dengan $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3x^2 - 3 & = 0 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \\ x = -1 \vee x & = 1 \end{align} $
Karena interval yang diminta $ 0 \leq x \leq 1 $ , nilai $ x $ yang dipakai adalah $ x = 0 $ dan $ x = 1 $.
*). Menentukan nilai fungsi $ f(x) $ untuk $ x = 0 $ dan $ x = 1 $ :
$\begin{align} x = 0 \rightarrow f(x) & = x^3 - 3x + 2 \\ f(0) & = 0^3 - 3.0 + 2 = 2 \\ x = 1 \rightarrow f(x) & = x^3 - 3x + 2 \\ f(1) & = 1^3 - 3.1 + 2 = 0 \end{align} $
Jadi, nilai maksimum $ f(x) $ pada interval $ 0 \leq x \leq 1 $ adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Kode 248 Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Jika dalam suatu barisan geometri $ u_1 = \frac{1}{5} $ dan $ u_1 + u_2 + ... + u_8 = 51 $ , maka $ u_{251} : u_{250} = .... $
A). $ 2 : 1 \, $ B). $ 4 : 1 \, $ C). $ 3 : 2 \, $ D). $ 4 : 3 \, $ E). $ 5 : 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $ dan $ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1 } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai rasio ($r$) dengan $ u_1 = a = \frac{1}{5} $
$\begin{align} u_1 + u_2 + .... + u_8 & = 51 \\ s_8 & = 51 \\ \frac{a(r^8 - 1)}{r-1} & = 51 \\ \frac{\frac{1}{5}(r^8 - 1)}{r-1} & = 51 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kalikan 5)} \\ \frac{r^8 - 1}{r-1} & = 255 \end{align} $
Yang terpenuhi untuk $ r = 2 $.
*). Menentukan Hasilnya :
$\begin{align} \frac{u_{251}}{u_{250}} & = \frac{ar^{250}}{ar^{249}} = \frac{r}{1} = \frac{2}{1} \end{align} $
Jadi, nilai $ u_{251} : u_{250} = 2 : 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 : Kode 248 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Rumus Cepat Limit Trigonometri
$ 1 - \cos px = \frac{1}{2} (px)^2 \, $ sehingga :
$ 1 - cos x = \frac{1}{2} x^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} . \frac{(\sqrt{x+1} + 1)}{(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1).(\sqrt{x+1} + 1)}{(1 - cos x).(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x((x + 1) - 1)}{\frac{1}{2}x^2.(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x.x}{\frac{1}{2}x^2.(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{x+1} + 1} \\ & = \frac{2}{\sqrt{0+1} + 1} = \frac{2}{2} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Kode 248 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $
*). Rumus Trigonometri :
$ \cos p x = 1 - 2 \sin^2 \frac{1}{2} (px) \, $ sehingga :
$ 1 - \cos x = 1 - ( 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} x ) = 2 . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} . \frac{(\sqrt{x+1} + 1)}{(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1).(\sqrt{x+1} + 1)}{(1 - \cos x).(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x((x + 1) - 1)}{(2 . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x).(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x.x}{(2 . \sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x).(\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin \frac{1}{2} x } . \frac{x}{\sin \frac{1}{2} x } . \frac{1}{2 (\sqrt{x+1} + 1)} \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2} } . \frac{1}{ \frac{1}{2} } . \frac{1}{2 (\sqrt{0+1} + 1)} \\ & = 2. 2 . \frac{1}{2 (1 + 1)} \\ & = 2. 2 . \frac{1}{4} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Kode 248 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ adalah fungsi dengan sifat $ f(-x) = f(x) $ dan $ g(-x) = g(x) $. Jika sisa pembagian $(x-1)f(x) $ oleh $ x^2 - 2x - 3 $ adalah $ x + 3 $ dan sisa pembagian $ (x+2)g(x) $ oleh $ x^2 + 2x - 3 $ adalah $ x + 5 $ , maka sisa pembagian $ xf(x)g(x) $ oleh $ x^2+4x+3$ adalah .....
A). $ -10x - 8 \, $ B). $ -8x - 6 \, $
C). $ -6x - 4 \, $ D). $ -5x - 3 \, $
E). $ -4x - 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). $ (x-1)f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 - 2x - 3 $ bersisa $ s(x) = x + 3 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ (x-1)f(x) = (x^2 - 2x - 3).h_1(x) + (x + 3) $
$ (x-1)f(x) = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x-3)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = 3 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow (x-1)f(x) & = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) \\ (-1-1)f(-1) & = (-1+1)(-1-3)).h_1(-1) + (-1 + 3) \\ -2. f(-1) & = 2 \\ f(-1) & = -1 \\ x = 3 \rightarrow (x-1)f(x) & = (x+1)(x-3)).h_1(x) + (x + 3) \\ (3-1)f(3) & = (3+1)(3-3)).h_1(3) + (3 + 3) \\ 2. f(3) & = 6 \\ f(3) & = 3 \end{align} $
Karena $ f(x) = f(-x) $ , maka $ f(-3) = f(3) \rightarrow f(-3) = 3 $.

*). $ (x+2)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 +2x -3 $ dengan sisa $ s(x) = x + 5 $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ (x+2)g(x) = (x^2 +2x -3).h_2(x) + (x + 5) $
$ (x+2)g(x) = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x-1)(x+3)=0 \rightarrow x = 1 \vee x = -3 $
$ \begin{align} x = 1 \rightarrow (x+2)g(x) & = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) \\ (1+2)g(1) & = (1-1)(1+3).h_2(1) + (1 + 5) \\ 3.g(1) & = 6 \\ g(1) & = 2 \\ x = -3 \rightarrow (x+2)g(x) & = (x-1)(x+3).h_2(x) + (x + 5) \\ (-3+2)g(1) & = (-3-1)(-3+3).h_2(-3) + (-3 + 5) \\ -1.g(-3) & = 2 \\ g(-3) & = -2 \end{align} $
Karena $ g(x) = g(-x) $ , maka $ g(-1) = g(1) \rightarrow g(-1) = 2 $.

*). $ xf(x)g(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^2 + 4x + 3 $ misalkan sisanya $ s(x) = ax + b $ dan hasil bagi $ h_3(x) $ :
$ xf(x)g(x) = (x^2 + 4x + 3).h_3(x) + (ax+b) $
$ xf(x)g(x) = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) $
Substitusi akar-akar pembaginya yaitu $ (x+1)(x+3)=0 \rightarrow x = -1 \vee x = -3 $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow xf(x)g(x) & = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) \\ -1.f(-1)g(-1) & = (-1+1)(-1+3).h_3(-1) + (a.(-1)+b) \\ -1.(-1). 2 & = -a + b \\ 2 & = -a + b \\ b & = a + 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ x = -3 \rightarrow xf(x)g(x) & = (x+1)(x+3).h_3(x) + (ax+b) \\ -3.f(-3)g(-3) & = (-3+1)(-3+3).h_3(-3) + (a.(-3)+b) \\ -3.(3). (-2) & = -3a + b \\ -3a + b & = 18 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $

*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} b = a + 2 \rightarrow -3a + b & = 18 \\ -3a + (a + 2) & = 18 \\ -2a & = 16 \\ a & = -8 \\ \end{align} $
pers(i) : $ b = a + 2 = -8 + 2 = -6 $.
Sehingga sisa pembagian $ xf(x)g(x) $ oleh $ x^2 + 4x + 3 $ adalah $ ax + b = -8x - 6 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ -8x - 6 . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk mngerjakan soal ini bisa juga menggunakan teorema sisa.

Kode 248 Pembahasan Dimensi Tiga SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui kubus ABCD.EFGH, Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga $ AM : MD = 1 : 2 $. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga $ CN : ND = 1 : 2 $ . Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga $ DP : PH = 2 : 1 $. Jika $ \alpha $ adalah sudut antara bidang MNP dan garis PB, maka nilai $ \cos \alpha = .... $
A). $ \frac{5}{44} \sqrt{44} \, $ B). $ \frac{5}{33} \sqrt{33} \, $ C). $ \frac{5}{22} \sqrt{22} \, $ D). $ \frac{1}{13} \sqrt{13} \, $ E). $ \frac{1}{11} \sqrt{11} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus :

Dari gambar segitiga di atas berlaku aturan Cosinus yaitu :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \, $ atau
$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
Misalkan panjang rusuk kubusnya adalah 6.

$ \angle (MNP, PB) = \angle (OP, PB) = \alpha $
*). Diagonal sisi DB dibagi menjadi 6 bagian sama panjang sehingga $ BO = 4\sqrt{2} $.
Panjang PO pada $ \Delta PDO $ :
$ PO = \sqrt{PD^2 + DO^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{2})^2 } = \sqrt{16 + 8} = \sqrt{24} $
Panjang PB pada $ \Delta PDB $ :
$ PB = \sqrt{PD^2 + DB^2} = \sqrt{4^2 + (6\sqrt{2})^2 } = \sqrt{16 + 72} = \sqrt{88} $
*). Menentukan nilai $ \cos \alpha $ :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{PO^2 + PB^2 - OB^2}{2.PO.PB} \\ & = \frac{(\sqrt{24})^2 + (\sqrt{88})^2 - (4\sqrt{2})^2}{2.\sqrt{24}.\sqrt{88}} \\ & = \frac{24 + 88 - 32}{2.(2 . \sqrt{2} . \sqrt{3}).(2.\sqrt{2}.\sqrt{11})} \\ & = \frac{80}{16\sqrt{33}} = \frac{5}{\sqrt{33}} = \frac{5}{33} \sqrt{33} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{5}{33} \sqrt{33} . \, \heartsuit $

Cara 3 : Kode 248 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 2x + 3 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{36}{5} \, $ B). $ \frac{32}{5} \, $ C). $ \frac{28}{5} \, $ D). $ \frac{26}{5} \, $ E). $ \frac{18}{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Transformasi
*). Konsep Dasar Transformasi :
Pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ sama dengan Rotasi pusat $P(0,c) $ dan matriksnya $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{matrix} \right) $ dimana $ \tan \theta = m $
*). Rotasi dengan pusat $ (m,n) $ dan matriks rotasinya MT :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = MT . \left( \begin{matrix} x - m \\ y-n \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right) $
*). Rumus Trogonometri :
$ \sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta $
$ \cos 2 \theta = 1 - 2 \sin ^2 \theta $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 : Konsep Transformasi
*). Pencerminan terhadap garis $ y = 2x + 3 $ sama dengan Rotasi dengan pusat $(m,n) = (0,3) $ ,
$ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = 2 \tan \theta = \frac{2}{1} = \frac{de}{sa} $

Sehingga nilai :
$ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} $
$ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{5}} $
*). Menentukan nilai $ \sin 2 \theta , \, \cos 2 \theta $ dan matriks transformasinya :
$ \sin 2 \theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 . \frac{2}{\sqrt{5}} . \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5} $
$ \cos 2 \theta = 1 - 2\sin ^2 \theta = 1 - 2 . (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = -\frac{3}{5} $
Matriks transformasinya :
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ dari transformasinya :
Awalnya titik $A(0,0) $ dan bayangannya $ (x^\prime , y^\prime ) = (a,b) $ dengan pusat rotasi $ (m,n) = (0,3) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) . \left( \begin{matrix} x - m \\ y-n \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 - 0 \\ 0-3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{12}{5} \\ -\frac{9}{5} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{12}{5} \\ \frac{6}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
artinya nilai $ a = -\frac{12}{5} $ dan $ b = \frac{6}{5} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = \left( - \frac{12}{5} \right)^2 + \left( \frac{6}{5} \right)^2 \\ & = \left( \frac{144}{25} \right) + \left( \frac{36}{25} \right) \\ & = \frac{180}{25} = \frac{36}{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{36}{5} . \, \heartsuit $

Cara 2 : Kode 248 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jarak dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ :
Jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Jarak titik $ (p,q)$ ke garis $ mx + ny + c = 0 $ :
Jarak $ = \left| \frac{m.p + n.q + c }{\sqrt{m^2 + n^2}} \right| $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : dengan Konsep Jarak
*). Ilustrasi gambar,
garis $ y = 2x + 3 $ memotong sumbu X dan Y di $(-\frac{3}{2},0) $ dan $ (0,3) $.

Karena titik B adalah hasil pencerminan titik A terhadap garis $ y = 2x + 3 $, maka titik C adalah titik tengah antara A dan B serta jarak AC sama dengan jarak BC.
*). Jarak titik $ A(0,0) $ ke garis $ 2x - y + 3 = 0 $ (panjang AC) :
$ \begin{align} \text{Panjang AC } & = \left| \frac{2.0 - 0 + 3 }{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \right| = \left| \frac{ 3 }{\sqrt{4 + 1}} \right| = \frac{ 3 }{\sqrt{5}} \end{align} $
*). Jarak A ke B (panjang AB) :
$ \begin{align} \text{Panjang AB } & = \sqrt{ (a-0)^2 + (b-0)^2 } = \sqrt{a^2 + b^2 } \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} \text{Panjang AB } & = 2 \times \text{Panjang AC} \\ \sqrt{a^2 + b^2 } & = 2 \times \frac{ 3 }{\sqrt{5}} \\ \sqrt{a^2 + b^2 } & = \frac{ 6 }{\sqrt{5}} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{a^2 + b^2 })^2 & = \left( \frac{ 6 }{\sqrt{5}} \right)^2 \\ a^2 + b^2 & = \frac{ 36 }{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{36}{5} . \, \heartsuit $

Kode 248 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis lurus : $ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $
*). Hubungan dua garis tegak lurus :
dua garis tegak lurus, berlaku $ m_1 . m_2 = -1 $
(perkalian kedua gradien garis hasilnya $-1 $ ).
*). Titik tengah antara dua titik $(x_1,y_1)$ dan $ (x_2,y_2)$ adalah :
Titik tengah $ = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan : Cara I,
*). Ilustrasi gambar,
garis $ y = 2x + 3 $ memotong sumbu X dan Y di $(-\frac{3}{2},0) $ dan $ (0,3) $.

Karena titik B adalah hasil pencerminan titik A terhadap garis $ y = 2x + 3 $, maka titik C adalah titik tengah antara A dan B serta garis AB tegak lurus dengan garis $ y = 2x + 3 $ (sebagai cerminnya).
*). Menentukan persamaan pertama dari gradien :
-). gradien garis AB dengan $A(0,0)$ dan $ B(a,b) $ ,
$ m_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{b - 0 }{a-0} = \frac{b}{a} $
-). gradien garis $ y = 2x = 3 $ adalah $ m = 2 $.
-). Kedua garis tegak lurus sehingga :
$ m_{AB}.m = -1 \rightarrow \frac{b}{a} . 2 = -1 \rightarrow a = -2b \, $ ....pers(i)
*). Menenentukan titik tengah AB yaitu titik C yang juga dilalui oleh garis $ y = 2x + 3 $ :
$ C = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) = \left( \frac{a + 0}{2} , \frac{b +0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2} , \frac{b}{2} \right) $ .
*). Substitusi titik C ke garis $ y = 2x + 3 $ (karena dilalui) :
$ \begin{align} y & = 2x + 3 \\ \frac{b}{2} & = 2 . \frac{a}{2} + 3 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ b & = 2 a + 6 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$ \begin{align} b & = 2 a + 6 \\ b & = 2 . (-2b) + 6 \\ b & = -4b + 6 \\ 5b & = 6 \\ b & = \frac{6}{5} \end{align} $
Pers(i) : $ a = -2b = -2 . \frac{6}{5} = -\frac{12}{5} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = \left( - \frac{12}{5} \right)^2 + \left( \frac{6}{5} \right)^2 \\ & = \left( \frac{144}{25} \right) + \left( \frac{36}{25} \right) \\ & = \frac{180}{25} = \frac{36}{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{36}{5} . \, \heartsuit $

Kode 248 Pembahasan Persamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Banyaknya nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $(\sin ^2 2x + \cos ^2 2x)(\sin ^2 2x - \cos ^2 2x) = 1 $, $0 \leq x \leq 2\pi \, $ , adalah ....
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus Dasar pada Trigonometri
$ \cos 2A = \cos ^2 A - \sin ^2 A $
Sehingga :
$ \begin{align} \sin ^2 2x - \cos ^2 2x & = - ( \cos ^2 2x - \sin ^2 2x ) \\ & = - \cos 4x \end{align} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
*). Persamaan Trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta $ , solusinya yaitu :
i). $ f(x) = \theta + k 2\pi $
ii). $ f(x) = - \theta + k 2\pi $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soal :
$\begin{align} (\sin ^2 2x + \cos ^2 2x)(\sin ^2 2x - \cos ^2 2x) & = 1 \\ 1 . ( - \cos 4x ) & = 1 \\ \cos 4x & = -1 \\ \cos 4x & = \cos 180^\circ \end{align} $
artinya $ f(x) = 4x $ dan $ \theta = 180^\circ $
Solusinya :
i). $ f(x) = \theta + k 2\pi $ ,
$ \begin{align} 4x & = 180^\circ + k 2\pi \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ x & = 45^\circ + k . 90^\circ \\ k = 0 \rightarrow x & = 45^\circ + 0. 90^\circ = 45^\circ \\ k = 1 \rightarrow x & = 45^\circ + 1. 90^\circ = 135^\circ \\ k = 2 \rightarrow x & = 45^\circ + 2. 90^\circ = 225^\circ \\ k = 3 \rightarrow x & = 45^\circ + 3. 90^\circ = 315^\circ \\ \end{align} $
sehingga $ x = \{ 45^\circ , \, 135^\circ , \, 225^\circ , \, 315^\circ \} $
ii). $ f(x) = -\theta + k 2\pi $ ,
$ \begin{align} 4x & = -180^\circ + k 2\pi \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ x & = -45^\circ + k . 90^\circ \end{align} $
hasilnya sama dengan sebelumnya.
Jadi, ada 4 nilai $ x $ yang memenuhi persamaan . $\, \heartsuit $

Kode 248 Pembahasan Trigonometri Rangkap SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Misalkan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku pada titik C. JIka panjang sisi di hadapan titik A, B, C berturut-turut adalah $ a, \, b, \, c $ , maka $ \cos 2A = .... $
A). $ \frac{b^2 - a^2}{c^2} \, $ B). $ \frac{a^2 - b^2}{c^2} \, $
C). $ \frac{b^2 - c^2}{a^2} \, $ D). $ \frac{c^2 - a^2}{b^2} \, $
E). $ \frac{a^2 - b^2}{b^2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri Sudut Rangkap
$ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.

Dari gambar kita peroleh nilai :
$ \sin A = \frac{depan}{miring} = \frac{a}{c} $
$ \cos A = \frac{samping}{miring} = \frac{b}{c} $
*). Menentukan nilai $ \cos 2A $ :
$\begin{align} \cos 2A & = \cos ^2A - \sin ^2 A \\ & = (\frac{b}{c})^2 - (\frac{a}{c})^2 \\ & = \frac{b^2}{c^2} - \frac{a^2}{c^2} \\ & = \frac{b^2 - a^2}{c^2} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 2A = \frac{b^2 - a^2}{c^2} . \, \heartsuit $

Kode 248 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui $L_1 $ dan $ L_2 $ berpusat pada sumbu X dengan radius $ R_1 = 2 $ dan $ R_2 = 4 $. Suatu garis singgung dalam dari kedua lingkaran tersebut menyinggung $ L_1 $ di F dan menyinggung $ L_2 $ di G. Garis singgung tersebut memotong sumbu X di Q sehingga luas segitiga AFQ adalah 5 satuan luas dengan A sebagai titik pusat $ L_1 $. Jika garis singgung dalam tersebut mempunyai gradien positif, maka besar gradiennya adalah .....
A). $ \frac{2}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{2}{5} \, $ D). $ \frac{1}{3} \, $ E). $ -\frac{1}{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Gradien garis
*). Perhatika gambar garis berikut ini dengan sudut $ \theta $ terhadap sumbu X positif,

Gradien garis $(m)$ adalah $ m = \tan \theta $.
*). Rumus perbandingan trigonometri :
$ \tan \theta = \frac{depan}{samping} $

$\clubsuit $ Pembahasan

*). Menentukan panjang FQ dengan luas $\Delta AFQ = 5 $ :
$ \begin{align} \text{Luas } \, \Delta AFQ &= 5 \\ \frac{1}{2} . FQ . AF &= 5 \\ \frac{1}{2} . FQ . 2 &= 5 \\ FQ &= 5 \end{align} $
*). Pada gambar di atas, segitiga AFQ sebangun dengan segitiga BQG, sehingga perbandingan sisinya sama yaitu $ \frac{BG}{GQ} = \frac{AF}{FQ} = \frac{2}{5} $
*). Menentukan gradien garis singgung $ (m)$ :
Perhatikan segitiga BQG, sudut garis singgung sama dengan sudut BQG $ = \theta $
$\begin{align} m & = \tan \theta \\ & = \frac{depan}{samping} \\ & = \frac{BG}{GQ} \\ & = \frac{2}{5} \end{align} $
Jadi, gradien garis singgungnya adalah $ \frac{2}{5} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 248 Matematika IPA tahun 2016

Nomor 1

Nomor 2

Nomor 3

Nomor 4

Nomor 5

Nomor 6

Nomor 7

Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

Nomor 8

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(\sqrt{x+1} - 1)}{1 - \cos x} = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $

Nomor 9

Nomor 10

Nomor 11

Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

Nomor 12

Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ dengan $ f(x) = f(x+a) $ , $ f(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ 0 < x < a $ , dan $ g(x) = g(x+2a) $ , $ g(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ -a < x \leq a $ , dan $ \int \limits_0^a f(x) dx = b $. Nilai dari $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx $ adalah ....
A). $ 2a \, $ B). $ 3a \, $ C). $ 4b \, $ D). $ 5b \, $ E). $ 6b $

Nomor 13

Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 72 $

Nomor 14

Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $

Nomor 15

Pages - Menu