Cara 3 : Kode 248 Pembahasan Transformasi SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Titik $(a,b)$ adalah hasil pencerminan titik $(0,0)$ terhadap garis $ y = 2x + 3 $. Nilai dari $ a^2 + b^2 $ adalah .....
A). $ \frac{36}{5} \, $ B). $ \frac{32}{5} \, $ C). $ \frac{28}{5} \, $ D). $ \frac{26}{5} \, $ E). $ \frac{18}{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Transformasi
*). Konsep Dasar Transformasi :
Pencerminan terhadap garis $ y = mx + c $ sama dengan Rotasi pusat $P(0,c) $ dan matriksnya $ \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{matrix} \right) $ dimana $ \tan \theta = m $
*). Rotasi dengan pusat $ (m,n) $ dan matriks rotasinya MT :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = MT . \left( \begin{matrix} x - m \\ y-n \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right) $
*). Rumus Trogonometri :
$ \sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta $
$ \cos 2 \theta = 1 - 2 \sin ^2 \theta $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 : Konsep Transformasi
*). Pencerminan terhadap garis $ y = 2x + 3 $ sama dengan Rotasi dengan pusat $(m,n) = (0,3) $ ,
$ \tan \theta = m \rightarrow \tan \theta = 2 \tan \theta = \frac{2}{1} = \frac{de}{sa} $
 

Sehingga nilai :
$ \sin \theta = \frac{de}{mi} = \frac{2}{\sqrt{5}} $
$ \cos \theta = \frac{sa}{mi} = \frac{1}{\sqrt{5}} $
*). Menentukan nilai $ \sin 2 \theta , \, \cos 2 \theta $ dan matriks transformasinya :
$ \sin 2 \theta = 2\sin \theta \cos \theta = 2 . \frac{2}{\sqrt{5}} . \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5} $
$ \cos 2 \theta = 1 - 2\sin ^2 \theta = 1 - 2 . (\frac{2}{\sqrt{5}})^2 = -\frac{3}{5} $
Matriks transformasinya :
$ MT = \left( \begin{matrix} \cos 2\theta & \sin 2\theta \\ \sin 2\theta & -\cos 2\theta \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ dari transformasinya :
Awalnya titik $A(0,0) $ dan bayangannya $ (x^\prime , y^\prime ) = (a,b) $ dengan pusat rotasi $ (m,n) = (0,3) $
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) . \left( \begin{matrix} x - m \\ y-n \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} m \\ n \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 - 0 \\ 0-3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) . \left( \begin{matrix} 0 \\ -3 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{12}{5} \\ -\frac{9}{5} \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 \\ 3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -\frac{12}{5} \\ \frac{6}{5} \end{matrix} \right) \end{align} $
artinya nilai $ a = -\frac{12}{5} $ dan $ b = \frac{6}{5} $
*). Menentukan nilai $ a^2 + b^2 $ :
$ \begin{align} a^2 + b^2 & = \left( - \frac{12}{5} \right)^2 + \left( \frac{6}{5} \right)^2 \\ & = \left( \frac{144}{25} \right) + \left( \frac{36}{25} \right) \\ & = \frac{180}{25} = \frac{36}{5} \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{36}{5} . \, \heartsuit $



Tidak ada komentar:

Posting Komentar