2009 Pembahasan Barisan Geometri UTUL UGM Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika barisan geometri $ y+1, \, 2y-2, \, 7y-1 $ mempunyai rasio positif, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ....
A). $ 108 \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ -\frac{4}{3} \, $ D). $ -108 \, $ E). $ -324 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri :
*). Rumus Suku ke-$n$ :
$ U_n = ar^{n-1} $
dengan $ a = \, $ suku pertama, dan $ r = \, $ rasio $ \, = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = ...=\frac{U_n}{U_{n-1}} $
*). Ciri-ciri barisan Geometri adalah memiliki perbandingan sama (Rasio).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Barisannya : $ U_1 = y + 1 , \, U_2 = 2y-2 , \, U_3 = 7y-1 $
Perbandingan sama (Rasio) :
$ \begin{align} \frac{U_2}{U_1} & = \frac{U_3}{U_2} \\ (U_2)^2 & = U_1.U_3 \\ (2y-2)^2 & = (y+1)(7y-1) \\ 4y^2 - 8y + 4 & = 7y^2 + 6y - 1 \\ 3y^2 + 14y - 5 & = 0 \\ (3y -1)(y + 5) & = 0 \\ y = \frac{1}{3} \vee y & = -5 \end{align} $ .
*). Menentukan barisannya :
$ \begin{align} y= -5 \rightarrow U_1 & = y + 1 = -5 + 1 = -4 \\ U_2 & = 2y - 2 = 2.(-5) - 2 = -12 \\ U_3 & = 7y - 1 = 7 .(-5) - 1 = -36 \\ r & = \frac{U_2}{U_1} = \frac{-12}{-4} = 3 \end{align} $ .
Barisan $ -4 , -12, -36 \, $ memenuhi karena rasionya positif,
Sehingga $ U_4 = ar^3 = (-4). 3^3 = -108 $
Jadi, nilai $ U_4 = -108 . \, \heartsuit $

Catatan :
Untuk $ y = \frac{1}{3} \, $ jika disubstitusi ke barisannya akan terbentuk barisan geometri dengan rasio negatif, sehingga tidak memenuhi syarat soal yang diminta. Silahkan teman-teman coba untuk $ y = \frac{1}{3} $.



Tidak ada komentar:

Posting Komentar